精品解析： 辽宁省抚顺市清原县红透山矿中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市清原县红透山矿中学 九年级3月数学月考 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看有两层两列，从左到右第一层有三个正方形，第二层有一个正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2. 刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：零上温度记作“”，零下温度记作“”，由此求解． 【详解】解：气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为， 故选：C． 3. 红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为：，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为：，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形；如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：根据轴对称图形以及中心对称图形的定义可知，选项D的图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：； 检验：当时，， ∴是原方程的解； 故选A． 6. 如图，直线，，．若，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此即可作答，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据题意得到，然后代数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 解得， 故选：C． 7. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 1和 B. 5和 C. 4和 D. 5和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 9. 某市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，挖掘的管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象中获取信息，从图象可以看出甲队完成工程的时间为6天，故工作效率为每天100米，乙队挖2天后还剩300米，4天完成了200米，故每天是50米，当时，甲队完成400米，乙队完成400米，甲队完成所用时间是6天，乙队是8天，通过以上的计算就可以得出结论． 【详解】解：①甲队完成工程的时间为6天， ∴甲队每天挖（米/天），故①正确； ②乙队开挖两天后，每天挖的长度为： （米/天），故②正确； ③甲队4天完成的工作量是：（米）， 乙队4天完成的工作量是：（米）， ∵， ∴当时，甲、乙两队所挖管道长度相同，故③正确； ④由图象得甲队完成600米的时间是6天， 乙队完成600米的时间是：（天）， ∵（天）， ∴甲队比乙队提前2天完成任务，故④正确； 综上分析可知，正确的有4个，故D正确． 故选：D． 10. 如图，中，，D为的中点，，面积为10，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点M、N，直线上有一动点P，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，得；根据两点之间直线段最短的性质，得最小值等于；再根据等腰三角形三线合一的性质，得AD为的高，从而完成求解． 【详解】连接、AD，如下图： ∵分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点M、N ∴为AB的垂直平分线 ∴ ∴ 当点A、P、D在一条直线上时，最短，且 ∵，D为的中点， ∴ ∵，面积为10 ∴ ∴ ∴的最小值为5 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、两点之间直线段最短、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、两点之间直线段最短、垂直平分线的性质，从而完成求解． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】x>-4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件解答 【详解】解：由题意得， 函数中，， 故答案为： 【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 12. 把多项式分解因式结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查分解因式．熟练利用提公因式法和平方差公式综合分解因式是解答本题的关键． 13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由有2根和1根构成的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，利用概率计算公式求解即可． 【详解】解：由图得 由2根和1根构成的卦有种结果， 由2根和1根构成的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可求出，，则有点为的中点，是的中线，再证，根据三角形相似的性质可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：∵正方形中，为的中点，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴点为的中点， 在中，是的中线， ∴， ∵，即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形的全等的判定和性质，三角形的相似的判定和性质，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等，相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 15. 如图，矩形对角线交于点O，点G在延长线上，连接，E为中点，连接交于点F，，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可推出为的中位线，为的中位线，进一步可证得；求得即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为中点，E为中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，， ∵，E为中点， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去负值） ∴ 故答案为： 【点睛】本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线定理以及斜中半定理，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础以及严密的逻辑思维. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）原式先化简绝对值、二次根式以及立方根，然后再进行外挂； （2）原式先计算括号内的，再把除法转化为乘法，再进行约分即可． 【详解】解：（1） = = =； （2） = = =． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的加减乘除混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票．若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票． （1）问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）为控制实际购票费用不超过10000元，要求所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 【答案】（1）在需要购票的师生中，学生的人数为414人，老师的人数为6人 （2）至少还需14名学生背出《滕王阁序》 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设在需要购票的师生中，学生的人数为x人，老师的人数为y人．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由（1）知有414名学生不能背出《滕王阁序》．设还需m名学生背出《滕王阁序》．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设在需要购票的师生中，学生的人数为x人，老师的人数为y人． 由题意，得． 解得． 答：在需要购票的师生中，学生的人数为414人，老师的人数为6人． 【小问2详解】 解：由（1）知有414名学生不能背出《滕王阁序》． 设还需m名学生背出《滕王阁序》． 由题意，得， 解得． 答：至少还需14名学生背出《滕王阁序》． 18. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98． 八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94． 抽取的七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比 七 89.4 89 a 八 89.4 b 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数． 【答案】（1）、、； （2）七年级的学生测试成绩更好， 理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键． （1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值； （2）根据中位数或众数分析即可； （3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可． 【小问1详解】 解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为， 即， 由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人， “合格”等级有人， 八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、， 中位数为，即，， 故答案为：、、； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：人， 答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人． 19. 某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． （1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； （2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 【答案】（1） （2）当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）将代入两个解析式结合利润相等得出，解一元二次方程即可得解； （2）先求出二月份这两种商品的成本，设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元，求出关于的关系式，再由二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 整理得， 解得， （舍去）， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）可得一月份的利润为（万元）． ∴（万元）． 设投入乙商品的成本万元，则投入甲商品的成本万元，二月份获利万元． 由题意得， ∴当时，取得最大值，（万元）． ∴当投入甲、乙两种商品的成本均为9万元时，二月份获利最大，最大值利润为万元． 20. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 【答案】（1）米 （2）骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理： （1）如图所示，过点K作于H，由题意得，，则，先解得到米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先解得到米，米，进而分别计算出两条路线的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点K作于H， 由题意得，， ∴ 在中，米， 米， 在中，由勾股定理得米， ∴米； 【小问2详解】 解：在中，米， 米， ∴米， ∴路线②的时间为分钟； ∵米， ∴路线①的时间为分钟， ∵， ∴骑手选择②的送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点， ∵是的外接圆， ∴点是三边中垂线的交点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，根据是的外接圆，得到，由平行线的性质，得到，即可得证． （2）连接，等边对等角，求出的度数，圆周角定理求出度数，得到为等边三角形，求出半径和的度数，利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长． 【答案】（1）50；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形邻角互补的性质即可求得答案； （2）由等腰直角三角形性质可得，，可证得，利用证得，即可得出； （3）连接、，延长交于，可证得，得出，，，进而证得四边形是圆内接四边形，得出，推出是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可得， 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：50； （2），理由如下： 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）如图，连接、，延长交于， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 故小路的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆内接四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 23. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，F（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； 【小问2详解】 解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和、不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县红透山矿中学 九年级3月数学月考 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若 其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应表示为（ ） A. B. C. D. 3. 红树林、海草床和滨海盐沼组成三大滨海“蓝碳”生态系统．相关数据显示，按全球平均值估算，我国三大滨海“蓝碳”生态系统的年碳汇量最高可达约3080000吨二氧化碳．将3080000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 5. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，，．若，则的长为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 7. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 1和 B. 5和 C. 4和 D. 5和 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 某市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，挖掘的管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，中，，D为的中点，，面积为10，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，交于两点M、N，直线上有一动点P，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 把多项式分解因式结果是_____________． 13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由有2根和1根构成的概率是______． 14. 如图，在正方形中，为的中点，为的中点，的延长线与的延长线交于点，与相交于点，若，则的长为_____． 15. 如图，矩形对角线交于点O，点G在延长线上，连接，E为中点，连接交于点F，，若，，则线段的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 16. 计算： （1） （2） 17. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在五一期间成为了热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，能背出王勃的《滕王阁序》就可免门票．若某学校共有520名师生参观滕王阁，其中有100人能背出《滕王阁序》，需花费10650元购买门票． （1）问在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）为控制实际购票费用不超过10000元，要求所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需多少名学生背出《滕王阁序》？ 18. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98． 八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94． 抽取的七、八年级学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比 七 89.4 89 a 八 89.4 b 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数． 19. 某商家销售甲、乙两种商品，经调查，甲每月的利润（万元）与成本（万元）满足，乙每月的利润（万元）与成本（万元）满足． （1）今年一月初，商家对甲、乙两种商品投入相同的成本万元，一个月后两商品的利润相等，求的值； （2）该商家在（1）的条件下，将今年一月份甲、乙商品的全部利润追加后作为二月份这两种商品的成本，当甲、乙两种商品二月份成本分别为多少万元时，二月份的利润最大？并求最大利润． 20. 随着移动互联网的普及，外卖已经成为了人们日常生活中不可或缺的一部分．某天，小惠在位于点A处的家中购买了位于点K处某商家的外卖食品，外卖骑手收到商家派单后，立即赶往点K处取餐，然后进行配送．根据导航显示，点K在点A的南偏西方向米处，点A在点B的北偏东方向，B、K两地相距米，点C在点K的正西方向，点D分别在点K、点A的正东方向和正南方向．（参考数据：） （1）求的长度； （2）骑手在点C处收到派单后立即赶往点K处取餐并开始配送，由于道路正在维修，骑手有两条送餐路线可选择：①，速度为每分钟320米：②，速度为每分钟240米．请通过计算说明，骑手选择哪条送餐路线才能更快地将外卖送到小惠家？ 21. 如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 22. 【问题背景】 （1）如图1，四边形是平行四边形，，则的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，是等腰直角三角形，，，连接，延长至点E，使得，连接，那么与相等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，四边形是某公园的一片空地，在上的点D处有一凉亭，公园规划人员计划铺设四条小路（小路宽度忽略不计），将这块空地分割成四部分，分别种植不同的鲜花供游客欣赏，已知，，，，其中四边形区域是平行四边形，求小路的长． 23. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，F（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $