精品解析：浙江省杭州市三墩中学2024-2025学年下学期九年级3月质量检测数学试题

杭州市三墩中学2024学年第二学期九年级3月质量检测 数学试题卷 出卷人：九年级数学备课组 审核人：九年级数学备课组 难度系数：0.7 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分．共30分） 下面每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相对应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案． 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数比较大小．有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴四个城市中某天中午12时气温最低的城市是太原． 故选：C． 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简：．根据分别对A、B、C、D进行判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 若，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键． 先将代数式变形后，再整体代入即可得结论． 【详解】解：， 故选：A． 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 7. 如图，E是正方形对角线上一点，点F在上且，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键在于利用正方形的性质和全等三角形的知识，找到各个角之间的关系，最终求出结果． 由正方形的性质可得，，是对角线，所以．根据（边角边）可以证明，所以，．因为，所以，，是等边三角形，由三角形外角的性质得到，是等腰直角三角形，根据平角的性质即可求解． 【详解】解：在正方形中，，是对角线， ∴，， 在和中， ∴， ∴，，， ∵，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 8. 若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数及一次函数交点问题．根据题意利用交点坐标及图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵双曲线与直线的一个交点坐标为， ∴反比例函数经过二，四象限，一次函数经过二，四象限，另一个交点为， ∴的解集为：或， 故选：C． 9. 如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、， ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 12. 已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵已知关于的方程有一个根是， 所以由得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的侧面积．根据圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算． 【详解】解：这个圆柱的侧面积． 故答案为：． 14. 若满足，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程与含绝对值的方程；方程两边同乘，得， 再变形得，由此即可求解，注意验证分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 即， ∴或， ∴或； 对于，则， 解得：或； 当时，，此时分母为0，分式无意义，故舍去； 综上，a的值为或． 15. 已知，是抛物线上两点，则正数__________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；把点A的坐标代入中，求得的值；把点B的坐标代入中，求得的值，由此即可求解． 【详解】解：∵是抛物线上点， ∴， ∴， ∵是抛物线上点， ∴， ∴； 当时，则或，显然都不符合题意； 当时，则（不合题意）或； 综上，; 故答案为：8． 16. 如图是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接．设与直径交于点E．若，则__________度；__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据等边对等角和圆周角定理证明，再由折叠的性质得到，进一步由等边对等角得到，设，则，，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案．证明，由相似三角形的性质得出，设，，得出，求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将该圆形纸片沿直线对折， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：36，． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有些困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. （1）计算：； （2）解不等式组 【答案】（1）1（2） 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，负整数指数幂，算术平方根，零指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用负整数指数幂，算术平方根定义及零指数幂定义分别化简，再计算加减法； （2）分别解不等式，根据不等式组解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） （2） 解不等式①得， 解不等式②得 ∴不等式组的解集为． 18. 张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）小明，小红 （2） 解： ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用异分母分式加减法的法则进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用异分母分式加减法的法则进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 小明计算错误， 小红计算错误； 【小问2详解】 略 19. 已知二次函数，顶点为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标即可求解； （2）由题意知，C、D两个点关于抛物线的对称轴对称，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，解得：， ∴； 把点代入上式中，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵点，在这个函数图像上，且纵坐标相等， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴． 20. 某校开展找寻校园的项目式主题学习．某组为了解学生对这五项活动的喜爱情况（足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类社团活动），随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）__________，__________，并补全条形统计图． （2）若全校有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． （3）现从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名参加训练，请用列表法或画树状图法求同时选中甲的概率． （4）某调查小组关注到校园垃圾分类问题，为积极相应，现将垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a、b、c并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A、B、C，若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率是多少？ 【答案】（1） 100，5； 补全条形统计图如图所示： （2）全校2000名学生中约有400名学生喜爱打乒乓球； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）从两个统计图可知，样本中，喜欢“篮球”的有30人，占被调查人数的，根据频率=频数÷总数即可求出被调查的人数，即m的值，进而求出样本中，喜欢“排球”的学生人数所占的百分比，确定n的值，求出样本中学生喜欢“足球”的人数即可补全条形统计图； （2）样本估计总体，求出样本中喜欢“乒乓球”的学生所占的百分比，估计总体中喜欢的学生所占的百分比，由频率=频数÷总数即可求出答案； （3）画树状图法，列举出所有等可能出现的结果，根据概率的定义进行计算即可； （4）列举出将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，所有等可能出现的结果，根据概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：（名）， ，即， 被调查的学生中，喜欢“足球”的人数为（名）， 故答案为：100，5； 【小问2详解】 解：（名）， 答：全校2000名学生中约有400名学生喜爱打乒乓球； 【小问3详解】 解：从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中同时选中甲的有6种， 所以同时选中甲的概率为； 【小问4详解】 解：将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中三类垃圾都投放正确的只有1种， 所以将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，样本估计总体以及列表法与树状图法，掌握频率=频数÷总数以及列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键． 21. 如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题： （1）甲车经过 秒追上乙车， ． （2）设相遇后两车之间的距离为，求与x的函数关系式． （3）两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 【答案】（1）3，8 （2） （3）1秒或5秒 【解析】 【分析】本题考查一次函数实际应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程等． （1）根据图2可知甲车经过3秒追上乙车，再根据题意列式即可得到的值； （2）设与x的函数关系式为，再将和代入即可求出； （3）先设相遇前两车之间的距离与x的函数关系式，待定系数法求出，再分两种情况列式求出一元一次方程的根即为本题答案． 【小问1详解】 由图2可知：甲车经过3秒追上乙车， ∴， 故答案为：3，8； 【小问2详解】 解：设相遇后两车之间的距离与x的函数关系式为， 把和代入中得： ，解得：， ∴， 【小问3详解】 解：设与x的函数关系式为， 把和代入中得： ，解得：， ∴； ①当时，，即：， ②当时，，即：， 综上：两遥控车出发后1秒或5秒，它们之间的距离为4米． 22. 如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）若，点是的中点，求线段的长； （2）连接，若， ①求证：点为边的中点； ②求的值． 【答案】（1）； （2） ①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为边的中点； ②． 【解析】 【分析】（1）根据正方形可得，由点是的中点，可求，根据勾股定理在中，，由平分与，可得即可； （2）①证明即可证明点为边的中点； ②设，则，由①知，可证，可得可求，再求即可． 【小问1详解】 解：在正方形中，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①略 解：②∵点为边的中点； 设，则， 由①知， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，中点定义，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握以上知识是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中， （1）设一次函数与反比例函数的图象交于点． ①求k的值，并写出函数与的表达式． ②设函数的图象与x轴的交点为B，将点B先向右平移t个单位，再向上平移2个单位后，恰好落在函数的图象上，求t的值． （2）已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1）①，，；②5 （2） 【解析】 【分析】（1）①把点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求得k的值，从而可求得两个函数解析式； ②由一次函数解析式可求得点B的坐标，由平移性质求得平移后点B的坐标，再代入反比例函数解析式中，即可求得t的值； （2）确定抛物线的对称轴为直线，求得最小值及当时的函数值，即可确定n的取值范围． 【小问1详解】 解：①由题意知，把点代入，得：， 解得：； 当时，，； ②对于，令，得， 即； 点B先向右平移t个单位，再向上平移2个单位后的坐标为， 把代入得：， 解得： 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，； 当时，， ∴； ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为， ∴； 由抛物线的对称性知，当时，， ∴， 综上，． 故当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则n的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数的对称性等知识，掌握这些函数知识是解题的关键． 24. 在内接于，点在上，连结，分别交于点，，． （1）求证：． （2）若． ①求证：． ②若，，求的长． 【答案】（1） 证明：延长交于点，连结，如图，     为的直径， ， ． ， ， ． 又， ， 即， ． （2）①证明：， ， ， ． ，， ， ． ② 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连结，利用圆周角定理，三角形外角的性质和垂直的定义解答即可； （2）①利用平行线的性质，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可； ②利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，， ， ． 设，则， 由①知：， ． 设，则， ，， ， ， ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线和利用勾股定理列出方程解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市三墩中学2024学年第二学期九年级3月质量检测 数学试题卷 出卷人：九年级数学备课组 审核人：九年级数学备课组 难度系数：0.7 考生须知： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 2．必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效，答题方式详见答题纸上的说明． 3．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分．共30分） 下面每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的，请把正确选项前的字母在答题卡中相对应的方框内涂黑．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案． 1. 以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ） 北京 济南 太原 郑州 A. 北京 B. 济南 C. 太原 D. 郑州 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 5. 若，则代数式的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，E是正方形对角线上一点，点F在上且，连结，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若双曲线与直线的一个交点坐标为，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案． 11. 因式分解：_______________________． 12. 已知关于的方程有一个根是，则方程的另一个根_____． 13. 如果圆柱的母线长为，底面半径为，那么这个圆柱的侧面积是__________． 14. 若满足，则__________． 15. 已知，是抛物线上两点，则正数__________． 16. 如图是以点O为圆心，为直径的圆形纸片，点C在上，将该圆形纸片沿直线对折，点B落在上的点D处（不与点A重合），连接．设与直径交于点E．若，则__________度；__________． 三、解答题 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有些困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17. （1）计算：； （2）解不等式组 18. 张老师设计了一个数学接力游戏，由学生合作完成分式的计算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子． （1）这个“接力游戏”中计算错误的同学有 ； （2）请你写出正确的解答过程． 19. 已知二次函数，顶点为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 20. 某校开展找寻校园的项目式主题学习．某组为了解学生对这五项活动的喜爱情况（足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五项球类社团活动），随机调查了m名学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一项），并根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）__________，__________，并补全条形统计图． （2）若全校有2000名学生，求该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． （3）现从喜欢羽毛球运动的甲、乙、丙、丁4人中，随机选取2名参加训练，请用列表法或画树状图法求同时选中甲的概率． （4）某调查小组关注到校园垃圾分类问题，为积极相应，现将垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a、b、c并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A、B、C，若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，三类垃圾都投放正确的概率是多少？ 21. 如图1，是一段遥控车直线双车道跑道．甲、乙两遥控车分别从A，B两处同时出发，7秒后甲车先到达C点．设两车行驶时间为x（秒），两车之间的距离为y（米），根据图象解决下列问题： （1）甲车经过 秒追上乙车， ． （2）设相遇后两车之间的距离为，求与x的函数关系式． （3）两遥控车出发后多长时间，它们之间的距离为4米？ 22. 如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． （1）若，点是的中点，求线段的长； （2）连接，若， ①求证：点为边的中点； ②求的值． 23. 在平面直角坐标系中， （1）设一次函数与反比例函数的图象交于点． ①求k的值，并写出函数与的表达式． ②设函数的图象与x轴的交点为B，将点B先向右平移t个单位，再向上平移2个单位后，恰好落在函数的图象上，求t的值． （2）已知二次函数，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 24. 在内接于，点在上，连结，分别交于点，，． （1）求证：． （2）若． ①求证：． ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $