精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高二下学期4月半检测数学试题

江苏省海门中学高二数学4月半检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数单调增区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的展开式中，不含的项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项或第项 4. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为128 B. 展开式中含的系数为 C. D. 展开式中系数的绝对值最大是672 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 异面直线，所成角的取值范围是 D. 点到平面距离的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式. 13. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 16. 已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． （1）求证：为棱中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. DeepSeek是由中国杭州DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学高二数学4月半检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再利用导数求函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以， 令，即，所以，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则，即充分性成立； 由为平面的一个法向量，为直线的方向向量，若，则或，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 的展开式中，不含的项是（ ） A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项或第项 【答案】C 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【详解】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 4. 正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线所成角余弦值即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可. 【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D， 设，则， 所以当时，；当时，，即， 所以当时，，可排除A；当，，可排除A， 综上，C为正确选项. 故选：C 6. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 7. 现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合数公式求得总的取法数，再求得符合条件的取法数，由古典概型概率公式可求解. 【详解】从标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲抽取两张卡片有，乙抽取两张卡片有， 所以共有种不同的取法， 仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的取法为： 甲抽时，乙可抽与两种，甲抽时，乙可抽与两种， 所以共有4种不同的抽法， 所以仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为. 故选：A. 8. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题（本题共3题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意求出，再根据二项分布分别求出，和判断即可 【详解】根据随机变量，且，根据二项分布的性质， 可得，计算得，故A正确； 根据二项分布的期望和方差公式，可得，，故B正确，C错误； 由二项分布可知，故D错误. 故选：AB. 10. 若，则下列选项是正确的有（ ） A. 二项式系数之和为128 B. 展开式中含的系数为 C. D. 展开式中系数的绝对值最大是672 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的相关性质结论，计算二项式系数之和、特定项系数、各项系数绝对值之和以及系数绝对值最大项，分别对各选项进行分析判断. 【详解】对于选项A，根据二项式系数之和为.在中，，所以二项式系数之和为，故选项A正确. 对于选项B，在中，其展开式的通项为.令，则，故选项B错误. 对于选项C，表示的各项系数之和. 令，可得，即，故选项C正确. 对于选项D，设第项系数的绝对值最大，则. 由得，即，解得. 由得：，即，解得. 所以，又因为，所以. 当时，，其绝对值为672，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为1的正方体中，点在棱上运动，则（ ） A. 若点为的中点，则平面平面 B. C. 异面直线，所成角的取值范围是 D. 点到平面距离的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建系求得相应平面法向量，及直线方向向量，通过法向量位置关系及夹角距离公式逐个判断即可. 【详解】 如图建系易得： 对于A：若点为的中点，则， 设平面的法向量为，， 则即， 设，可得， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 设，则， 所以，显然不平行，即平面平面不成立，故错误； 对于B：设， 则， 则， 所以，故B正确； 对于C： 设异面直线，所成角为， 则， 因为，易得：， 所以， 所以，又， 所以，C正确； 对于D：由A知平面的一个法向量为， 所以点到平面距离为：， 因为， 所以当时，取得最小值为，故D错误； 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，若一人得4本，另外两人每人得1本，则有__________种不同的分配方式. 【答案】90 【解析】 【分析】先在6本书中选择4本分给1人，最后两本平均分再倍缩，最后组成一个的全排列，由此可算得答案. 【详解】先在6本书中选择4本分给1人，然后把最后2本平均分成两组，再倍缩， 3组和3人组成全排列，故有种不同的分配方式. 故答案为：90. 13. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，连接，通过证明，从而证明点到的距离为，再结合已知条件求出即可. 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； △中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 14. 已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解. 【详解】不等式，可化为，， 令，则， 所以在上单调递增， 因为，，所以，，则， 所以不等式，即为， ，即对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， ，则，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算过程） 15. 已知在 的展开式中满足，且常数项为 求： （1）a的值; （2）展开式中的系数（用数字作答）： （3）从展开式中的所有项任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法. （用数字作答） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项并令的指数为0，利用常数项为即可求得； （2）利用通项公式，令，得，即可得解； （3）由通项可知展开式中有理项共有6项，无理项有5项，再利用分类分步计数原理即可求得结果. 【小问1详解】 根据展开式的通项可得， 令，解得， 即时，常数项， 解得； 【小问2详解】 由（1）知， 令，解得， 故展开式中的系数为； 【小问3详解】 令，，解得， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项； 所以从展开式中的所有项中任取三项， 取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有种. 16. 已知函数. （1）若在处有极小值，求的单调递增区间； （2）若函数的图象与直线相切，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点的性质可得或6，并结合单调性检验即可得结果； （2）根据导数的几何意义求切线方程，结合题意列方程求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为在处有极小值，则，解得或6， 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极小值，符合题意； 当时，则， 令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 可知在处有极大值，不符合题意； 综上所述：，的单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）可知：， 设与切于， 则切线斜率， 可得切线方程为， 它与重合，则，显然， 整理可得，解得， 代入可得，所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． （1）求证：为棱的中点； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解，或者利用线面角的几何法，得为直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． 【小问2详解】 方法一：由直三棱柱得平面， 又平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角直二面角，所以． 如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系． 设，则，， 所以，，． 设为平面的法向量，则即 不妨取，则是平面的一个法向量， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 解之得，即． 方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． （1）此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 【答案】（1）分布列见解析，1 （2）（ⅰ）；（ⅱ）1100 【解析】 【分析】（1）服从超几何分布，利用即可求解； （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，求出合格人数的数学期望，即可求解 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． 【小问2详解】 （ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19. 设，定义为的“函数”. （1）设为的“函数”，若，，求曲线在点处的切线方程； （2）设为的“函数”. （ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围； （ⅱ）若，方程有两个根，，且，求证：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义确定的解析式，求导利用导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）求导，并根据极值的定义判断求解；（ⅱ）根据题意得方程有两个正根，，由韦达定理可得，且，求出，构造函数，利用导数求出最大值得证. 【小问1详解】 由题意，得，则，所以切点为， 又因为，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由题，可得，定义域为， 则， 因为是的极小值点，则， 则 ， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极大值点，不满足题意； 若，则， 所以在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则上单调递增，在，上单调递减， 所以是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，的取值范围为. （ⅱ）由题， 设，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个正根，，所以，解得， 由题意知，得. 因为，，所以， ， 令， 则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 因，所以， 由，，得， 因为，所以，所以，则， 所以，所以，所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $