13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

13.2.2　三角形的中线、角平分线、高 问题： (1)如何作一个三角形的中线？ (2)一个三角形有几条中线？ (3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？ C A B (三角形的中线) A B C 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D. 所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线. D ∵ BD = CD = BC ， ∴ AD 是△ABC 的中线. 几何符号语言： F 你能画出几条中线？ E 三角形有3条边，所以一个三角形有3条中线. (三角形的中线) 画出直角三角形和钝角三角形的中线 A B C D F E A B C A B C F D E F D E 你发现了什么？ 三角形的三条中线相交于三角形内一点 三角形的重心 三角形的重心的实际意义 图中框架能被手指托起后保持平衡，是因为手指恰好托在了框架的重心上. 一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块木板的重心. 问题： (1)如何作一个三角形的角平分线？ (2)一个三角形有几条角平分线？ (3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？ (4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？ C A B (三角形的角平分线) 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D. B C F 几何符号语言： 你能画出几条角平分线？ D E 三角形有3个内角，所以可以画3条角平分线 ∵ ∠1=∠2 = ∠BAC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 1 2 提示：可以折一折或用量角器 (三角形的角平分线) A 角的平分线是一条______， 三角形的角平分线是一条_______. 射线 线段 1 2 A O C A B C P 1 2 注意区分 画出直角三角形和钝角三角形的角平分线 A B C A B C 你发现了什么？ 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点 F D E F D E A B C F D E 探究新知 问题： (1)如何作三角形的高？ (2)一个三角形有几条高？ (3)能用折纸的方法折出你准备好 的三角形的高吗？ (4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？ C A B (三角形的高) 过一点画已知直线的垂线 A B C 垂线在三角形内是什么？ (三角形的高) 如图，从△ABC的顶点 A 向它所对的边 BC 所在直线画垂线，垂足为 D. A B C 几何符号语言： D ∴AD是△ABC 的高 ∵AD⊥BC (∠BDA =∠CDA = 90°) 所得线段 AD 叫作△ABC 边 BC 上的高线. 三角形的高线简称三角形的高 A B C D E F O 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高交于三角形内一点. 这个点叫作三角形的垂心. 画出锐角三角形的三条高，你有什么发现？ 探 究 画出直角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C 直角边BC边上的高是_____； 直角边AC边上的高是_____； AC BC 斜边AB边上的高是_____； D CD 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边，三条高的交点在直角顶点处. 探 究 画出钝角三角形的三条高，你有什么发现？ A B C D E F 三条高的交点在三角形外部. O 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上. 探 究 3．从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作____，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高． 2．在三角形中，一个内角的_______和它所对的边相交于一点，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线．的高． 归 纳 1．在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的____，所得线段叫作三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的____． 中点 重心 平分线 垂线 例题与练习 例1 下列说法正确的是 ( ) ①平分三角形内角的射线叫作三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．③④　 B．③　 C．②③ D．①④ B (1)画BC边上的高； (2)画∠C的平分线； (3)将△ABC分成面积相等的两部分． 解: A B C (1)线段AD即为所求； (2)CE即为∠ACB的平分线； (3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(答案不唯一). D E F 课堂小结 三角形的重要线段 A B C E D F A B C D A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F A B C E D F 中线 角平分线 高 1.画△ABC的边AB上的高,下列画法中,正确的是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 如图,在△ABC中,D,E是AC边上两点,BE⊥AB,BD⊥BC,则下列三角形中,BD为其高的是 (　　) A. △BCD B. △ABC C. △ABE D. △BDE 3. 如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法中,不一定正确的是 (　　) A. DE是△BCD的中线 B. BD是△ABC的中线 C. AD=DC,BE=EC D. AD=EC,DC=BE A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 D 10 11 12 13 4. 有下列说法:① 三角形的角平分线是射线;② 三角形的三条角平分线都在三角形内部且相交于一点;③ 三角形的三条高都在三角形的内部;④ 三角形的一条中线把该三角形分成两个等底同高的小三角形.其中,正确的是　　　　(填序号).  5. 在锐角三角形ABC中,AB=12,AC=10,BE,CD分别是△ABC的边AC,AB上的高,且BE=6,则CD的长为　　　　. ②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 5 10 11 12 13 6. (教材P10习题13.2第7题变式)如图,在△ABC中,∠BAC是钝角,按要求画图,并用适当的符号在图中表示. (1) 画出△ABC的高BM,AN,CH; (2) 若BM=3,AN=2,CH=4,求AB∶AC∶BC. (1) 如图,线段BM,AN,CH即为所求作的高　 (2) ∵ S△ABC=AC·BM=BC·AN=AB·CH,∴ 3AC=2BC =4AB.可设4AB=3AC=2BC=k,则AB=k,AC=k,BC=k. ∴ AB∶AC∶BC==3∶4∶6 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 10 11 12 13 7. 如图,AD,AE分别是△ABC的高和中线,∠CAB=90°,AB=6cm,AC=8cm, BC=10cm.求: (1) AD的长; (2) △ABE的面积; (1) ∵ 在△ABC中,∠CAB=90°,AD是边BC上的高, ∴ S△ABC=AB·AC=BC·AD.∵ AB=6cm,AC=8cm, BC=10cm,∴ AD=4.8cm　 (2) ∵ AE是△ABC的中线,∴ BE=BC.∴ S△ABE=BE·AD=·BC·AD= BC·AD=×10×4.8=12(cm2) 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 10 11 12 13 (3) △ACE和△ABE的周长差. (3) ∵ AE是△ABC的中线,∴ BE=CE.将△ACE和 △ABE的周长分别记为C△ACE和C△ABE,则C△ACE- C△ABE=AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6= 2(cm) 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 10 11 12 13 8. 如图,如果把△ABC沿AD折叠,使点C落在边AB上的点E处,那么折痕(线段AD)是△ABC的 (　　) A. 中线 B. 角平分线 C. 高 D. 既是中线,又是角平分线 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 10 11 12 13 9.如图,D是BC的中点,AE,AF分别是△ABC的角平分线、高,则下列结论正确的是 (　) A. AD=CD B. ∠CAE=∠BAC C. ∠AEB=90° D. DF=CF B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 [易错分析]对三角形的角平分线、中线、高的概念理解不透彻致错. 10 11 12 13 10. 如图,AB⊥BD于点B,AC⊥CD于点C,且AC与BD相交于点E,则△ADE的边DE上的高是　　　 　,边AE上的高是　　 　　;若AE=5DE=2,D =,则AB=　　　　.  　 　　　 11. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则 S阴影=　　　　. 线段AB 线段DC 1cm2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 10 11 12 13 12. 若线段AP,AQ分别是△ABC的高和中线,则AP　　　　AQ(填“>”“<” “≥”或“≤”).  13. 如图,在△ABC中,AD是边BC上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多5cm,AB与AC的长度之和为13cm,则AC的长为　　　　cm. ≤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 15 9 10 11 12 13 $$