专题4.1 函数（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题4.1 函数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：函数的概念 1 知识点梳理02：函数的三种表示方法 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：函数的概念 2 考点2：求自变量的值或函数值 3 考点3：函数的三种表示方法 3 考点4：函数解析式 4 考点5：函数图象识别 5 考点6：从函数的图象获取信息 6 考点7：动点问题的函数图象 7 中考真题 实战演练 9 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 14 知识点梳理01：函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 知识点梳理02：函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 【微点拨】 1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2. 考点1：函数的概念 【典例精讲】（20-21七年级下·山东济南·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）观察图形，填写下表： 链条节数/x（节） 2 3 4 … 链条长度/y（cm） 4.2 　 　 　 　 … （2）上表的两个变量中，自变量是　 　；因变量是　 　； （3）请你写出y与x之间的关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？ 【变式训练】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：求自变量的值或函数值 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式训练】（23-24八年级下·河北·期末）已知一次函数． (1)补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)求时的取值范围． 考点3：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【变式训练】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40． (1)求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）； (2)当时，求y的值； (3)当时，该长方形的面积是多少? 考点4：函数解析式 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【变式训练】（20-21八年级下·山东临沂·期末）下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 考点5：函数图象识别 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系． (1)求甲、乙两人骑车速度； (2)求，对应的函数关系式； (3)求经过多少小时后小时后两人相遇． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 考点6：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列图象中，y是关于x的函数的是（   ）． A．B．C．D． 【变式训练】（21-22七年级下·广东深圳·期末）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航（始终保持同一航线）．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离（千米）随时间（小时）的变化的图象．图象上的点表示货船当日顺流航行到达丙港．（顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度） (1)根据图象回答下列问题：甲乙两港之间的距离为______千米；货船在乙港停留的时间为______小时； (2)______，______； (3)当为何值时这艘货船在往返途中距甲港80千米？ 考点7：动点问题的函数图象 【典例精讲】24-25八年级上·广西贺州·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图②所示．则图②中的 ． 【变式训练】（24-25八年级上·山西运城·期中）某小区图书馆面向会员和非会员采用两种收费方式，借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系如图所示，其中非会员的借阅费对应，会员的借阅费对应，办理会员卡需花费20元，并可享受免费借阅5本的优惠． (1)非会员借阅一本图书的费用为元； (2)当借用数量超过5本时，请直接写出两种方式借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系式； (3)若借阅图书的数量为45本，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 40．（19-20八年级上·广东深圳·期中）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 41．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出 ， ， ； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 2．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 3．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 5．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列图象中，是的函数的是（   ） A．B． C．D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，图中两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的路程 s（米）和时间 t（秒）的关系图象，已知甲的速度比乙快．下面给出四种说法：①射线 表示甲的运动路程与时间的函数关系；②0 秒时，甲与乙相距 12 米；③甲的速度比乙快 米/秒；④8秒后，甲超过了乙；正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）“五四”青年节前夕，城南初中团支部组织入团积极分子乘汽车赴外红色教育基地，接受革命传统教育．全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示则： （1）汽车在高速公路上的行驶速度为 ； （2）该汽车在出发后 到达目的地． 7．（24-25八年级下·山东东营·期中）函数，则的算术平方根是 ． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）若的底长，高为． (1)写出的面积y与x之间的函数关系式? (2)当时，的面积为多少? 9．（24-25八年级上·河北保定·期中）科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系． 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量． (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______． (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，则小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 10．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 培优拔高 11．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回，乐乐继续前行，分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（       ） A．两人前行过程中的速度为米分 B．的值是，的值是 C．姐姐返回时的速度为米分 D．运动分钟时，两人相距米 14．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（     ） A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿 运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为 ．    18．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点． (1)当点到达点时，的面积为，求的长； (2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围． 19．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 函数 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：函数的概念 1 知识点梳理02：函数的三种表示方法 1 优选题型 考点讲练 2 考点1：函数的概念 2 考点2：求自变量的值或函数值 4 考点3：函数的三种表示方法 6 考点4：函数解析式 7 考点5：函数图象识别 9 考点6：从函数的图象获取信息 11 考点7：动点问题的函数图象 13 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 21 基础夯实 21 培优拔高 27 知识点梳理01：函数的概念 函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 知识点梳理02：函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 【微点拨】 1.判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 2.对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当y的值为4时，的值为±2. 考点1：函数的概念 【典例精讲】（20-21七年级下·山东济南·期中）如图，某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm． （1）观察图形，填写下表： 链条节数/x（节） 2 3 4 … 链条长度/y（cm） 4.2 　 　 　 　 … （2）上表的两个变量中，自变量是　 　；因变量是　 　； （3）请你写出y与x之间的关系式； （4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么链条的总长度是多少？ 【答案】（1）5.9，7.6；（2）链条节数；链条长度；（3）y＝1.7x+0.8；（4）这辆自行车链条的总长为102cm． 【思路引导】（1）根据图形找规律，即可求得； （2）根据函数的知识，链条的长度随着链条的节数变化而变化，即可求得； （3）根据（1）的结论写出解析式即可； （4）根据（3）解析式代入求解，最后根据实际情况，减去一个交叉重叠部分的圆的直径． 【规范解答】（1）根据图形可得： 2节链条的长度为2.5×2﹣0.8＝4.2（cm）， 3节链条的长度为2.5×3﹣0.8×2＝5.9（cm）， 4节链条的长度为2.5×4﹣0.8×3＝7.6（cm）， 故答案为：5.9，7.6； （2）链条的长度随着链条的节数变化而变化 自变量是链条节数，因变量是链条长度； 故答案为：链条节数；链条长度； （3）由（1）可得x节链条长为： y＝2.5x﹣0.8（x﹣1）＝1.7x+0.8， ∴y与x之间的关系式为y＝1.7x+0.8； （4）∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要减少0.8cm， ∴这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8﹣0.8＝102（cm）． 【考点剖析】本题考查了函数的表示方法，求函数的解析式，函数的定义，掌握函数的相关知识是解题的关键． 【变式训练】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列关系式：（1），（2），（3），（4），（5），y不是x的函数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据函数的定义，对于每个自变量x的值，因变量y有且只有一个值与之对应．依次对每个关系式进行分析，判断其是否满足函数的定义．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义（对于每个自变量的值，因变量有且只有一个值与之对应）是解题的关键． 【规范解答】解：对于 ∵对于任意非零的，有唯一确定的值 ∴是函数． 对于 ∵每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 对于 ∵变形为，每个对应唯一的值 ∴是函数． 对于 ∵当时，可取，即一个对应两个值 ∴不是函数． 综上，不是的函数的关系式有个， 故选：B． 考点2：求自变量的值或函数值 【典例精讲】（23-24八年级上·广东梅州·期中）函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件及函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数非负，确定自变量的取值范围． 【规范解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即． 解不等式，得． 因此，自变量的取值范围是， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·河北·期末）已知一次函数． (1)补全表中自变量对应的函数值后，画出该函数的图象； 0 1 (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积； (3)求时的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)的面积 (3) 【思路引导】题目主要考查一次函数的作图及性质，交点问题，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）将与代入函数求解即可，然后描点、连线即可； （2）根据题意确定交点坐标，然后结合图形求解即可； （3）分别求出对应的自变量的值，然后结合图象即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，，当时，， 补全表格如下： 0 1 4 6 描点、连线，画出函数图象，如图所示． , （2）当时，， 解得， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为， 的面积． （3）当时，． 当时，． ， 随的增大而增大， 当时，的取值范围是． 考点3：函数的三种表示方法 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩余油量为， (1)你能写出与之间的关系式是______． (2)当汽车行驶的路程为，油箱中还有多少油？ (3)汽车最多能行驶多远？ 【答案】(1) (2)油箱中还有油 (3)汽车最多能行驶千米 【思路引导】本题考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值； （1）根据油箱容量为升的汽车，加满汽油后行驶了千米时，油箱中的汽油大约消耗了升，可以求出每千米的耗油量，从而可以得到与之间的函数关系式． （2）将代入关系式，即可求解； （3）令，代入关系式，即可求解． 【规范解答】（1）解： 每千米耗油量为：（升）， 由题意得：， 即与之间的函数关系式是：． 故答案为：． （2）当时，， （3）当时， 解得： 汽车最多能行驶千米 【变式训练】（21-22八年级下·河北石家庄·期中）已知一个长方形的长为x，宽为y，周长为40． (1)求出y关于x的函数解析式（不用写出自变量x的取值范围）； (2)当时，求y的值； (3)当时，该长方形的面积是多少? 【答案】(1) (2)7 (3)96 【思路引导】（1）根据长方形的周长公式化简即可得出答案； （2）把x=13代入函数解析式即可； （3）把y=8代入函数解析式求出x，再求长方形的面积即可． 【规范解答】（1）∵长方形的周长为40， ∴2（x+y）=40， ∴y=-x+20； （2）当x=13时， y=20-13 =7； （3）当y=8时，20-x=8， ∴x=12， ∴长方形的面积=12×8=96． 【考点剖析】本题考查了函数关系式，函数值，根据长方形的周长公式化简得到y关于x的函数解析式是解题的关键． 考点4：函数解析式 【典例精讲】（2024七年级下·全国·专题练习）声音在空气中的传播速度（简称声音速度）与空气温度的关系如下表： 空气温度 0 10 20 30 声音速度 318 324 330 336 342 348 时，声音在空气中的传播速度为 ． 【答案】354 【思路引导】本题考查了用列表法表示函数，根据表中的数据可得空气温度每升高，声音速度就增加，从而计算当空气温度为时的声音速度即可，掌握自变量、函数的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由表中的数据可得，空气温度每升高，声音速度就增加， 由表得空气温度为时，声音速度为， 所以空气温度为时，声音在空气中的传播速度为， 故答案为：354． 【变式训练】（20-21八年级下·山东临沂·期末）下面是探究函数y＝的图象与性质的过程，请补充完成： （1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； （2）画出该函数的图像； 列表： x … … y … … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）结合函数图象，请写出该函数的两条性质． 【答案】（1）， ；（2）见解析；（3）函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是 【思路引导】（1）根据题意，化简函数解析式，进而写出函数解析式； （2）根据（1）的结论，列表即可，进而描点，连线画出函数图象； （3）通过观察函数图象经过的象限以及最小值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）当x≥3时， ，当x＜3时， ； 故答案为：， （2）列表： x … 1 3 5 … y … 1 … 描点，连线，得到该函数的图象： （3）当x≥3时，函数y的值为常数；x＜3时，函数y随x的增大而减小；函数图象经过一、二、四象限；函数的最小值是等等，答案不唯一，写出两条即可． 【考点剖析】本题考查了分段函数的解析式，画函数图象，掌握作函数图像的基本步骤是解题的关键． 考点5：函数图象识别 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习），两地相距，甲、乙两人骑车分别从，两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑车时间的函数关系． (1)求甲、乙两人骑车速度； (2)求，对应的函数关系式； (3)求经过多少小时后小时后两人相遇． 【答案】(1)甲骑车速度为，乙骑车速度为 (2)，对应的函数关系式分别为， (3)小时 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式： （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （3）联立（2）中的函数解析式，即可求解． 【规范解答】（1）解：甲骑车速度为， 乙骑车速度为，； （2）解：对应的函数关系式为， 对应的函数关系式为； （3）解：根据题意得：， 解得：， 即经过小时后两人相遇． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为一组有规律的图案，第1个图案是由4个组成的，第2个图案是由7个组成的，第3个图案是由10个组成的，……．设第n个图案是由y个组成的． (1)求y与n之间的函数表达式； (2)第100个图案是由多少个组成的？ 【答案】(1) (2)第100个图案是由301个成的 【思路引导】本题考查了整式——图形类规律探究，解题的关键是读懂题意，找出图案间的规律，并列出代数式． 【规范解答】（1） 解：根据题意：第1个图案由4个组成， 第2个图案由7个组成，； 第3个图案由10个组成，； 设第n个图案由y个组成， 则； （2）当时，， 故第100个图案是由301个组成的． 考点6：从函数的图象获取信息 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列图象中，y是关于x的函数的是（   ）． A．B．C．D． 【答案】B 【思路引导】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【规范解答】解：A、C、D中的图象，不是关于的函数； B、是关于的函数． 故选：B． 【变式训练】（21-22七年级下·广东深圳·期末）一艘货船在甲、乙两港之间承接往返运输任务．某日货船从甲港顺流出发，途经丙港并不做停留，抵达乙港停留一段时间后逆流返航（始终保持同一航线）．货船在行驶过程中保持自身船速（即船在静水中的速度）不变，已知水流速度为8千米/时，如图记录了当日这艘货船出发后与乙港的距离（千米）随时间（小时）的变化的图象．图象上的点表示货船当日顺流航行到达丙港．（顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度） (1)根据图象回答下列问题：甲乙两港之间的距离为______千米；货船在乙港停留的时间为______小时； (2)______，______； (3)当为何值时这艘货船在往返途中距甲港80千米？ 【答案】(1)96，1 (2)8，10 (3)或5 【思路引导】对于（1），根据图象填空即可； 对于（2），先求出货船在静水中的速度，根据路程÷速度=时间即可求出m和n的值； 对于（3），这艘货船在往返途中距甲港80千米，分两种情况：①货船从甲港到乙港的途中，②货船从乙港返回甲港的途中，分别列方程，求出解即可． 【规范解答】（1）根据图象可知甲乙两港之间的距离是96千米，货船在乙港停留的时间为4-3=1（小时）． 故答案为：96，1； （2）根据题意，可知货船在顺水中的航行速度为96÷3=32（千米/小时）， ∴水流的速度时8千米/时， ∴货船在静水中的速度时32-8=24（千米/小时）， ∴货船的逆水速度为24-8=16（千米/时）， ∴m=4+64÷16=8，n=4+96÷16=10． 故答案为：8，10； （3）这艘货船在往返途中距甲港80千米，分两种情况： 货船从甲港到乙港的途中，根据题意，得32t=80， 解得； 货船从乙港回甲港的途中，根据题意，得16（t-4）=96-80， 解得t=5． 综上所述，当或5时，这艘货船距甲港80千米． 【考点剖析】本题主要考查了函数图象的应用，理解图象上各点的含义并根据题意求出货船在静水中的速度是解题的关键． 考点7：动点问题的函数图象 【典例精讲】24-25八年级上·广西贺州·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与x之间的函数图象如图②所示．则图②中的 ． 【答案】45 【思路引导】本题考查了一次函数的实际应用，函数图象，速度与时间的关系，从函数图象获取信息是解题关键． 由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度．在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出． 【规范解答】解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了， 故提速前的速度为， ∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍， ∴慧慧提速后的速度为， 由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了， ∴慧慧在线段的过程中所用的时间为， ∴的值为， 即聪聪从处行走到了时，用了， ∴慧慧的速度为， ∴慧慧行走用的时间为， 即， 故答案为：. 【变式训练】（24-25八年级上·山西运城·期中）某小区图书馆面向会员和非会员采用两种收费方式，借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系如图所示，其中非会员的借阅费对应，会员的借阅费对应，办理会员卡需花费20元，并可享受免费借阅5本的优惠． (1)非会员借阅一本图书的费用为元； (2)当借用数量超过5本时，请直接写出两种方式借阅费（元）与借阅图书数量（本）之间的函数关系式； (3)若借阅图书的数量为45本，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 【答案】(1)3； (2)；； (3)选择会员的借阅方式更省钱 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是会用待定系数法求函数关系式． （1）由函数图像求解即可； （2）用待定系数法求函数关系式即可； （3）将分别代入函数关系式求解，再进行比较即可． 【规范解答】（1）解：由函数图像可得，非会员借阅一本图书的费用为（元）； （2）解：设非会员借阅费用的函数表达式为：， 将代入可得：，解得， 非会员借阅费用的函数表达式为：； 设会员借阅费用的函数表达式为：， 将代入可得： ，解得， 会员借阅费用的函数表达式为：； （3）解：当时，代入，可得； 代入，可得； ， 选择会员的借阅方式更省钱. 40．（19-20八年级上·广东深圳·期中）如图（），点为边的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图（）的边运动，运动路径为，相应的的面积（）关于运动时间（）的函数图象如图（），若，则下列结论正确的个数有（　　） ①图（）中长； ②图（）中的长是； ③图（）中点表示4秒时的值为； ④图（）中的点表示12秒时值为． A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【思路引导】本题考查了动点函数问题，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 【规范解答】解：由图象可得：0～2秒，点在上运动，则， 点是中点， ， 故①不合题意； 由图象可得：4～7秒，点在上运动，则， 故②符合题意； 第7秒时，点在处，， 故③不符合题意； 由图象可得：当第12秒时，点在处， ， ， ， ， 故④不符合题意， 正确的是②， 故选：D． 41．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图1，长方形中，，点从B出发，沿方向运动，经过D，C，到B停止，点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图2是点出发t秒后的面积与t（秒）的关系图象． (1)直接写出 ， ， ； (2)设点离开点B的路程为，求出路程与运动时间t（秒）的关系式； (3)直接写出，当点出发多少秒后，． 【答案】(1)5；；4 (2) (3)或 【思路引导】本题考查动点问题的函数图象，一元一次方程的实际应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据a秒时的面积可求a的值，由6.5秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； （2）分为点P速度为每秒和点P速度为每秒，两种情况由路程速度时间，列出关系式即可； （3）分为点P在上和点P在上，两种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解：根据图象可得：a秒时的面积为12，即， ， ， ； 6.5秒时，点P与点D重合， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ； （2）解：点P速度为每秒时：； 点P速度为每秒时：； 综上，； （3）解：点P在上时， 当点P加速前： ， （舍去，不符合题意）， 当点P加速后： ， ； 当点P运动到点C时，所需时间为：（秒）， 点P在上时，， ， ， 综上，当点出发或时，． 1．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【思路引导】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【规范解答】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 2．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【思路引导】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【规范解答】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【思路引导】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【规范解答】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【思路引导】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 5．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【思路引导】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【规范解答】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列图象中，是的函数的是（   ） A．B． C．D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义判断是否为的函数，函数的定义为对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【规范解答】解：A、当取一个正数时，有两个值与之对应，不满足对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应的函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； B、当取一个正数时，可能有六个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； C、当取一个值时，可能有两个值与之对应，不满足函数定义，所以不是的函数，故选项不符合题意； D、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数的定义，所以是的函数，故选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（   ） A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间 C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数． 【规范解答】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意； B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题意； C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意； D、正方形的面积等于，是函数关系，故选项不合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知等腰三角形的周长为，将底边长表示为，腰长表示为，、的关系式是，则其自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．一切实数 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围． 【规范解答】解：根据三角形的三边关系得： ， 解得：． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，图中两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的路程 s（米）和时间 t（秒）的关系图象，已知甲的速度比乙快．下面给出四种说法：①射线 表示甲的运动路程与时间的函数关系；②0 秒时，甲与乙相距 12 米；③甲的速度比乙快 米/秒；④8秒后，甲超过了乙；正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一次函数的图象应用，准确分析计算是解题的关键． 由图可得，横轴表示时间，纵轴表示路程，由纵坐标看出，乙在甲的前面，且0秒时乙在甲前面12米，分别算出甲的速度和乙的速度即可判断； 【规范解答】解：①由纵坐标看出，乙在甲的前面，射线表示乙的运动路程与时间的函数关系，故①错误； ②由纵坐标看出，0秒时乙在甲前面12米，故②正确； ③甲的速度米/秒，乙的速度是米/秒， 甲的速度比乙的速度快（米/秒），故③正确； ④由纵坐标看出8秒后，甲在乙的前面，故④正确； 正确的有：②③④， 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）某物理学习小组探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是 ． 【答案】甲 【思路引导】本题考查了从函数的图象获取信息以及密度等于质量除以体积，据此逐个计算，即可作答． 【规范解答】解：由图象得， ∵， ∴四种物质中密度最大的是甲， 故答案为：甲． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）“五四”青年节前夕，城南初中团支部组织入团积极分子乘汽车赴外红色教育基地，接受革命传统教育．全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示则： （1）汽车在高速公路上的行驶速度为 ； （2）该汽车在出发后 到达目的地． 【答案】 90 5 【思路引导】本题主要考查函数与图象． （1）观察图象，根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）求出汽车在乡村公路的行驶速度，即可求解． 【规范解答】解：（1）根据题意得：汽车在高速公路上的行驶速度为； 故答案为：90 （2）汽车在乡村公路的行驶速度为， 所以汽车到达目的地所用的时间为， 即该汽车在出发后到达目的地． 故答案为：5 7．（24-25八年级下·山东东营·期中）函数，则的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查函数的自变量取值范围，求一个数的算术平方根，根据二次根式有意义的条件，可求出x的值，进而可求出y值，然后再根据算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：∵，且 解得：， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）若的底长，高为． (1)写出的面积y与x之间的函数关系式? (2)当时，的面积为多少? 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了函数关系式，三角形面积公式，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的面积等于乘底乘高，进行列式化简，即可作答． （2）依题意，把代入，得，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵的底长，高为 则 ∴的面积y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 即的面积为 9．（24-25八年级上·河北保定·期中）科学家通过实验发现，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律地变化．通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系． 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 (1)在这个变化过程中，______是自变量． (2)声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______． (3)某日的气温为，小乐看到烟花燃放5s后才听到声响，则小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】(1)气温（） (2) (3) 【思路引导】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由表格可设函数解析式为，然后代入两个值进行求解即可； （3）根据（2）中解析式可进行求解． 【规范解答】（1）解：由题意可知在这个变化过程中，气温（t）是自变量； 故答案为气温（）； （2）解：设函数解析式为，由表格得： ， 解得：， ∴传播速度与气温的关系式可以表示为； （3）解：由（2），可知，由题意得： ∴， 所以小乐与燃放烟花所在地大约相距． 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距． 10．（23-24八年级上·江西吉安·期末）为践行“低碳环保、绿色出行”的理念，周末小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以的速度骑行一段时间，休息了，再以的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程与时间的关系如图． 请结合图象，解答下列问题． (1)________；________；______； (2)若小军的速度是，小军出发后多少分钟在途中与爸爸第二次相遇． 【答案】(1)10，15，200 (2)分钟 【思路引导】本题主要考查了函数图象的识别，解题的关键是明确题意，从图象中获取信息． （1）根据题意和函数图象可知爸爸以150米/分的速度行驶了1500米，即可求a，再根据休息了5分钟得出b即可，根据图象中的数据，可以计算出的值； （2）根据题意，由路程相等得出方程，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可得， ，； ； （2）解：设小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是第分钟， ， 解得， 答：小军在图中与爸爸第二次相遇时的时间是在第分钟． 培优拔高 11．（2024·山西·二模）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【思路引导】根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【规范解答】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，则下列说法正确是（    ） A．甲步行的平均速度为32米/分． B．乙步行的平均速度为20米/分． C．当t时，乙到达终点． D．乙比甲提前分钟到达终点． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象，求出甲、乙的速度，再求出它们到达终点的时间即可求解，看懂函数的图象是解题的关键． 【规范解答】解：由图可得，甲的速度为米分，故选项A错误，不符合题意； 设乙的速度为米分， 由图可得，， 解得， ∴乙的速度为米分，故选项B说法错误，不符合题意； ∴甲到达终点的时间为分钟， 乙达到终点的时间为分钟， ∵甲先出发分钟，∴当t时，乙到达终点．故选项C错误； ∴乙先到终点原地休息了分钟，故选项D符合题意． 故选D． 13．（24-25八年级上·四川成都·期中）乐乐和姐姐一起出去运动，两人同时从家出发．沿相同路线前行，途中姐姐有事返回，乐乐继续前行，分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，乐乐和姐姐在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间（分）之间的函数关系如图所示．下列结论中错误的是（       ） A．两人前行过程中的速度为米分 B．的值是，的值是 C．姐姐返回时的速度为米分 D．运动分钟时，两人相距米 【答案】D 【思路引导】本题考查了函数图象，根据题意和图象中的数据可以判断各选项中的说法是否正确，从而可以求解，明确题意，利用数形结合的思想解答是解题的关键． 【规范解答】解：、由图可得，两人前行过程中的速度为（米分），故选项不合题意； 、的值是，的值是，故选项不合题意； 、姐姐返回时的速度为：（米分），故选项不合题意； 、运动分钟时两人相距：（米），故选项符合题意， 故选：． 14．（2024·贵州贵阳·一模）如图1，某容器由A，B两个长方体组成，其底面积分别为，，容器B的容积是整个容器容积的（容器各面的厚度忽略不计），现以速度均匀地向容器注水，直至注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度与注水时间的函数图象．下列判断中正确的是（     ） A．注满整个容器至少需要 B．容器B的容积为 C．容器B的高度是容器A的高度的3倍 D．注水速度v为 【答案】D 【思路引导】根据函数的图象得到注满整个容器至少需要，容器A的高为，时注满容器A；再根据容积公式来解答． 本题考查了函数的图象，解题的关键是从图象中获得信息，再计算出容器的容积来进行分析解答． 【规范解答】解：根据函数图象得到注满整个容器至少需要，故A不符合题意； 根据函数图象得到容器A的高度是，所以容器A的容积是，容器B的容积是容器A的容积：，所以容器B的容积是，故B选项不符合题意； ，，故C不符合题意； ，故D符合题意， 故选：D 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）《九章算术》中有一题大意为：走路快的人走100步时，走路慢的人只能走60步．若走路慢的人先走100步，则走路快的人要走多少步才能追上对方？如图是走路快的人与走路慢的人行走的路程s（步）与走路快的人的行走时间t之间的函数关系，则两图象的交点P的纵坐标是 ． 【答案】250 【思路引导】本题主要考查了函数图象、一元一次方程的应用等知识点，从函数图象上获得信息成为解题的关键． 设走路快的人要走时间t才能追上对方，然后根据题意列方程求得，易得走路快的人要追上对方需走，再结合函数图象即可确定点P的纵坐标． 【规范解答】解：设走路快的人要走时间t才能追上对方， 由题意可得：，解得：， 所以走路快的人要追上对方需走． 所以点P的纵坐标为250． 故答案为250． 16．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在长方形中，，是边上的动点，且不与点，重合．设，梯形的面积为，则与之间的关系式是 ．（写出自变量的取值范围） 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，熟知梯形的面积等于上底加下底乘高除以是解答的关键．根据是长方形知，，，若设，则，在梯形中，上底为，下底为，高为，根据梯形的面积计算公式即可得到答案，并根据不与、重合求出的范围． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，∴， ∴ ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，点为的中点，动点从点出发沿 运动到点，设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为 ．    【答案】10 【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理．由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12，此时，所以，再结合勾股定理，利用完全平方公式变形求得即可． 【规范解答】解：由题意可知，当点运动到点时，点到的距离最大，此时的面积有最大值12． 点是的中点， 当点运动到点时，， ， ， ， 故答案为：10． 18．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，长方形中，，，，，点从点出发（不含点）以的速度沿的方向运动到点停止．点出发后，点从点出发以的速度沿的方向运动到停止，当点到达点时，点恰好到点． (1)当点到达点时，的面积为，求的长； (2)在（）的条件下，设点运动时间为，运动过程中的面积为（），请用含的式子表示面积（），并直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）求出点到达点时运动的时间，即得点运动的时间，再根据的面积列方程求出的值，设点点从运动到点的时间为，根据点到达点时，点恰好到点列出方程求出即可求解； （）分、和三种情况，分别画出图形，根据图形的面积列出函数关系式即可； 本题考查了一元一次方程的应用，函数的动点应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，点到达点时，运动的时间为， 此时点运动的时间为， ∴， ∵当点到达点时，的面积为， ∴， ∴， 设点从点从运动到点的时间为， 则， 解得， ∴； （2）解：当时，，点在点位置，如图， 此时，； 当时，点在上，如图，，， ∴，， 则 ， 即； 当时，点在上，如图，，， ∴， 则， 即； 综上，． 19．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）某快递公司推出一项新的快递业务，其收费标准：快递起步费为元，即快递物品质量不超过千克时收费a元，超过部分每千克收费c元．快递费与物品质量之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)观察图象填空： ， ， ； (2)若顾客快递物品的质量为千克，快递费为y元，请写出y与x之间的函数表达式； (3)当某顾客快递物品的质量为21千克时，他应付多少元快递费？若他共付快递费元，求他快递物品的质量为多少千克？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克 【思路引导】本题主要考查了从函数图象获取信息，求函数关系式，求函数的函数值和自变量的值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据函数图象可得快递物品质量不超过3千克时收费8元，据此可得a、b的值，再根据质量为15千克时快递费为26元可求出c的值； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出当时y的值，当时，x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据图象可得：快递起步费为8元，即快递物品质量不超过3千克时收费8元，超过部分每千克收费（元）， ∴，，， 故答案为：8；3；； （2）解：当时，y与x之间的关系式为； （3）解：当时，； 当时，得， 解得：． 答：该顾客快递物品的质量为21千克时，他应付35元快递费；若他共付快递费元，他快递物品的质量为12千克． 20．（24-25八年级上·山东青岛·期中）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：      (1)该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为______万元； (2)点B的实际意义是什么？ (3)求y与x之间的关系式； (4)目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种方案： 方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元； 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， 如果分别按照上述两种方案运营，那么收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系均发生了变化． ①分别写出方案1和方案2的收支差额y（万元）与乘客数量x（万人）之间的函数关系式，； ②当乘客数量是多少万人时，两种方案的收支差额相等？ 【答案】(1) (2)当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； (3) (4)①，  ②乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等 【思路引导】本题考查一次函数的应用，理解横纵坐标的含义是解本题的关键． （1）计算当时，，即可得到前期投入的资金数量； （2）根据B的坐标含义可得B表示的实际意义； （3）设y与x之间的关系式为，再利用待定系数法求解解析式即可， （4）①先分别求解两种方案下的函数解析式； ②令，建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴该公共汽车线路运营前即乘客数量为0时的前期投入为万元， 故答案为：； （2）解：点B的实际意义是当乘客数量为万人时，公共汽车线路收入万元； （3）解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， （4）解：①方案1：票价不变，将运营前的前期投入降低为0.6万元， ∴函数关系式为：， 方案2：运营前的前期投入不变，将票价提高为0.9元/人， ∴函数关系式为：， ②令，则， 解得：， ∴当乘客数量是万人时，两种方案的收支差额相等． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$