27.2 相似三角形 第2课时 课件 2024-2025学年人教版九年级 数学下册

27.2.2 相似三角形的性质 理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 能够运用相似三角形性质进行简单的计算与证明. 经历相似三角形性质的探索过程，体会从特殊到一般、类比等数学思想方法. 1 2 3 4 学习目标 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 重点：熟练运用相似三角形的性质解决简单的数学问题. 难点：在复杂的几何图形中，准确识别相似三角形，并巧妙运用其性质解决问题. 学习目标 全等三角形有哪些性质？ ①全等三角形对应角相等、对应边相等； ②全等三角形对应边的高、中线、角平分线分别相等； （全等三角形的对应线段相等） ③全等三角形的周长相等； ④全等三角形面积相等； 复习导入 如图，小王依据图纸上的△ABC,以1︰2的比例建造了模型房的房梁△ A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱. （1）△ ACD和△ A′ C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比. （2）如果CD=1.5m,那么模型房的房梁立柱有多高？ 相似；三边对应成比例；相似比为1:2. 3cm 情境导入 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ A B C A' B' C' 知识点一：相似三角形对应线段的比 新知讲解 ∴△ABD ∽ △A' B' D' ∴ 解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A'D' 则∠ADB =∠A' D' B' = 90° ∵△ABC ∽ △A′B′C′ ∴∠B =∠B' A B A' B' D' D C' C 两角对应相等的两个三角形相似 结论：相似三角形对应高的比等于相似比 新知讲解 解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的角平分线 AD 和 A'D'，则∠BAD =∠B' A' D' ∵△ABC ∽△A′B′C′ ∴∠B=∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' ∴ 两角对应相等的两个三角形相似 结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比 A B C D A' B' C' D' 新知讲解 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 解：如图，分别作出 △ABC 和△ A′B′C′的中线 AD 和 A'D'， 则 ∵△ABC ∽△A′B′C′ ∴∠B =∠B' ， ∴△ABD ∽△A' B' D' ∴ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 结论：相似三角形对应中线的比等于相似比 A B C A' B' C' D' D 新知讲解 A' B' A B C D' D F F' E E' 符号语言 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比，对应中线的比都相等，且都等于相似比. ∵△ABC∽△ A′B′C′ ，相似比是 k 且 AD、A′D′是对应边的高线， 应BF、B′F′是对应边的中线， CE、C′E′是对角的角平分线， ∴ C' 要点归纳 1. 如果两个相似三角形的对应角平分线的比为 4 : 7，那么对应高的比是 ，对应边上的中线的比是______. 2. △ABC 与 △DEF 的相似比为2: 3，若 BC 边上的高12 cm，则 EF边上的高 ＝_______ . 4∶7 4∶7 18 cm 基础练习 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 相似三角形的周长有什么关系呢？ 解：如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么 因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'， 从而 A B C A' B' C' 结论：相似三角形周长的比等于相似比 知识点二：相似三角形周长的比 新知讲解 3．如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 A 基础练习 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 知识点三：相似三角形面积的比 相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' 新知讲解 A B A' B' D' D C' C 由前面的结论，得 结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方 作三角形的高 新知讲解 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 例3.如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE ，AC = 2DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. A B C D E F 典型例题 16 A B C D E F 解：在 △ABC 和 △DEF 中，∵ AB = 2DE，AC = 2DF， 又 ∵∠D =∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3， 面积为 ∴ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 17 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 4. 如果一个三角形边长扩大为原来的 3 倍，那么面积扩大为原来的______倍； 5. 如果一个三角形面积扩大为原来的 64 倍，那么边长扩大为原来的______倍. 9 8 基础练习 相似三角形的性质 对应线段 周长 面积 等于相似比 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 课堂小结 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 1.如图，D是△ABC中AB边上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E，已知AD：DB＝2：3，则 =（　　） A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．4：25 D 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（    ）． A．2∶1 B．1∶2 C．1∶ D. ∶2 B 查漏补缺 随堂小练 3.两个相似三角形的对应边上的高之比是3:5,，周长之和是136，那么这俩个三角形的周长分别是多少？ 解：∵两个相似三角形的对应边上的高之比是3 ：5， ∴这两个三角形周长比为：3：5． 又∵周长之和是136 ∴这两个三角形周长分别为：，. 查漏补缺 随堂小练 解决圆内接四边形相关问题时，总结是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要提问的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决换元思想相关问题时，计算是必不可少的步骤。 4．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且∠A＝∠BCD， ，CD＝4，则AC长为多少？   解：∵S△ADC：S△CBD＝5：4， ∴S△CDB：S△ACB＝4：9， ∵∠A＝∠BCD，∠ABC＝∠CBD， ∴△ABC∽△CBD， ∴ ∴ ∴AC＝6 提升能力 随堂小练 5. 如图，AB∥CD，AO∶AD＝2∶5.若△AOB的周长为12，求△COD的周长． 解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC， ∴. ∵，∴， ∴， 故△COD的周长为18. 提升能力 随堂小练 $$