微专题5 因式分解及其应用-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

微专题5因1 堡型①运用提公因式法因式分解 1.分解因式： (1)3a2-6ab: (2)5.x(x-2y)-20y(2y-x). 堡型②运用公式法因式分解 2.分解因式： (1)9a2p2-bg2: (2)(a+b)2-4(a+b)+4: (3)x(x-1)-3.x+4: (4)(2m+3)-m2: (5)x'-2x2y2+y. 35探究在线八年级数学（上）·HD 分解及其应用 类型③先提公因式后运用公式法因式分解 3.分解因式： (1)6.xy2-9xy-y2; (2)3m(2x-y)2-3m2. 类型④运用特殊方法因式分解 方法1十字相乘法 4.阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很 容易计算：(x+2)(x+3)=x2+5x+6:(x 1)(x+3)=x2+2x一3.而因式分解是与整式 乘法方向相反的变形，利用这种关系可得x十 5x+6=(x+2)(x+3):x2+2x-3=(x-1)(x十 3).通过这样的关系我们可以将某些二次项系 数是1的二次三项式分解因式.如将式子x十 2x一3分解因式.这个式子的二次项系数是 1=1×1,常数项一3=（一1）×3，一次项系数 2=(一1)+3，可以用下图十字相乘的形式表 示为 (x-1) 1入、3 (+3) 1×3+1×(-1 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左 上角和左下角：再分解常数项，分别写在十字 交叉线的右上角和右下角：然后交叉相乘，求 和，使其等于一次项系数，然后横向书写 这样，我们就可以得到：.x2十2x一3=(x一1)(x+3). 利用这种方法，将下列多项式分解因式： (1)x2+7x+10: (2)x2-2x-3: (3)y2-7y+12; (4).x2+7x-18. 方法2分组分解法 5.(郑州期末)分组分解也是因式分解的一种方 法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后 分别进行因式分解的方法，如 分解因式：x2十x2十x+1=(x2十x)+(x十1) x(x+1)+(x+1)=(x+1)(x2+1): x2-4x+4-y=(x-2)2-y2=(x-2+y)(x -2-y) 问题1：通过分析，你认为下面哪种说法才是 分组分解的关键？ (填序号)： ①分组后组内能提取公因式：②分组后组内能 运用公式：③分组后组间还能继续分解.。 问题2：请你利用分组分解法分解因式： (1)x2-xy+2x-2y: (2)4x2+4xy+y-4x-2y+1: 问题3：若a、b、c是△ABC的三边，当b一ab +bc-ac=0时，判断△ABC的形状. 堡型⑤因式分解的应用 6.计算：19992-20002+20012-20022+…+ 20232-2024+20252-20262. 7.(南阳阶段练习)观察下列各式：(2十3)2一2 =7×3:(4+3)-42=11×3:(6+3)2-62= 15×3,不难发现规律：比任意一个偶数大3的 数与此偶数的平方差能被3整除。 (1)(8+3)一8的结果是3的 倍： (2)设偶数为21，试说明比21大5的数与2n 的平方差能被5整除： (3)比任意一个整数大5的数与此整数的平方 差被10整除的余数是几？说明理由， 第11章3614.由题意：得22一42+1x一1=M×2x十x一1， 做两个已知正整数之和与这特个正整数之差的平 斯以M-[22-4x+7x1-(x-1)]+2: 方和一定是倒数： (2x-42+6+)+2r■x2-2z+3 且该偶数2(+》的一半，甲（四+）是正整 甲多项式M为3-2x十3 数n,青的平方和 1[(+告x'H+(侵×'x网 【新版】：x+y-10,(x十y)*=100 且由探究知.(x+)+(x一y)=2(x2+y2). =(什+H)+(合】 .(￥-y)2=22+y)-r+y)=2×58 100-16. -名k+2H 4.(1)2+41+-4+16+36-56-4×14, 容：一共需要（学+2H)个遮样的杯子 2+4+6产的结果是4的14倍. (2)这三个壶续朝数分别为2w一2,2m,2e十2（其 拓展在线 中w是整数)，则(2m一2)+(2e)月十(2w+2)°一 16.出题意，有两种精花： 42一8n+4+4n2十42+8w+4=12+8= ①殿式是-32+6红”-豆y 4(3w2+2》, ,三个连候侧数的平方和是4的倍数 此时被除式超（忙y-y+6)·（一豆y (3)三个连候奇数的平方和不是12的倍数，它整 1z除，余数是1L.理山如下， -2ry+2y-3 这三个连装奇数分别为2u一1,2m+1,2m中3（其 六这通习题为圳如+2以-亚到)+(2可 中是整数)，则(2m-1)十《2n十1十(2m十3) =4w2-4n+1十4m+4m+1十4n2+12w十9 ②除式是-3xy÷(-33y)=r: 12+12x十11-12+m2+11, 此时被除式是(4ry一3xy十6》·x=4ry :三个连候青数的平方和不是2的倍数，被2 3y十6， 除，余数是1L 这道习题为4xy十6x-8y)÷ 1山.5因式分解 第上新运，这道习题为（一2ry+是ry 第1深时视会裂真条和公式清 就在线 ar)+(-y)减(4ry+r-ar)÷x L.B2.x(x十3)1C4.D 限专题（整式的化简与求值 5,0)扇式-sxy(2x-J). 1.(0原式-a3-2a十3w十w一2a十3 (2)算式--5hc2a一k十4ab》. -a3-a十a十 6-7t）2-2y 2源式--4w一7b+4w-- 7,C&D 3原式=-3x+4y-y4y+￥ B.(1)原式=(6m+2m)(5n-2w). =-22-￥， ag式=(-}，（原式=(+3 2(1)原式=a°+11 当a如一8，b=一1时， a.(2++吉)e-】 原式=(-8)+11×(-1=75 能力在裁 (2》原式=1-3(a2+0). 11,212,B13.B14,D 将a十-子代人，得 15,(1)原式=1.《2象式=0， 16,因为m十3一(w-1=(u+3+w-1)(w+3- 原式-1-3×号--1 8十1》=B(n+1), 所以当和为任意正整数时，(u+3)”一《n一1)饱 3.【0门片×20-10-3+1 被8数除 【探究】m十n)户+（一n)'=m+2mw+灯2十m 后展在线 -2mn十2=2(m°十n2), 17,(1》设二火三项式+x一户的另一个因式为 20 一探究在线·八年 (x十1)，+5=一=(x-1)(x十)， 之.(1》原式■(3ap十g)(3aP一y) 即士2+5x一nx+《一1x一4 (2)原式=(a十6一2) 〔3)原式(x一2)， (4)原式=3(m十1)（四+3）. 单的值为6 〔)原式m(x十y'《一y)' 《)设关于士的多项式2+3x一k的另一个因 三1)原式=-y(3x一y)' 式是（±+），侧2x+3z一-(2红十5)(x+): (2)原式=3m(2红一y十)(2士一y一n》, 2x+ax-k=22+(2s+5》x+3五 4.1)期式=(x+20(x+5) (2)复式=x一3)(x十1) (3)氨式=(y一3)(y-4) 美于￥的多项式2x2+3x一的月一个因式 (4)氟式mx+十0)（一2）， 是（红一1）.k-5. 5,阿题1：少 《3)设关于的多项式2十5x2一1十6的另 问超3： 个因式为(22+Mz+N), (1)期式-x(x-y)+2(x一y》-(xr-y)(+2). 群2x2+52-x+b-(x+2)22++N), 〔2)夏式=(4+4ry十y)-2(2x+y)+1 即22+5x2-x+6=22+(M+4)x2+ (2x+y)-2(2r+y)+1-(2x+y-1), (2M+Nx+2N, 问题3：△ABC是等餐三角形.现由如下： M+4-5, /M-1, 8一b十—ar-0. 42M+N--1,5N=-3 b=2N. 6=- b-a)十《w-a》=0, 即女的氧为一6. (6-a)(6十r)=0, 第多课时临合视会园式法和会义陆 a、b,c是△AC的三边，十《不可能是0. 基陆在线 .b一a一0，平一a.ABC是等要三角形 I.A 2.C 6.原式-(1999+2000)×1990-2003)+(200 3.11a(g+2)a-2)(2》3a(r-y1 +2G02)×(2001-2002)++(2023+2021) .山原式-一月 ×(20-2024)+(2025十202)×(2025- 2026)=-41999+2000)-(2001十2002)一… 《2原式=xy(x+y)一2 -(20内+2024)-(2025+262w)=一(1999+ 《3)原式=(x-y》'(x+y). 2000+2001+…+202a+2024+20254 能力在战 2026)=-56350. 5.A6.D 1.119 7.11原式=《x一2y)(x+2y)5, (2)偶数为2x,比2m大5的数为2m+5 《2)原式=(x-y》(3+2b)《3a一) ,(2n+5)1-(2nw)5-(2m+5-2w)(2n+5十2n) 《3)原式=2y(x+1)(x-1)2 =5(4n+5). 8.-x+42y-4x2y=-'y2(2-4y+4y2 “4n十5为整数， =-2y(x-2y2. ,5(4n+5)能被5整除， 7w=--y= ,比2m大5的数与2：的平方差能被5整隐 原式=一xy)·z-2y)■-《-3)× (3)余数为5.理h如下， (广- 设这个数为，比n大5的数为n十5， ,(x+6)-(n)=《n十3-w)(n+5+u)=5(2w 括展在线 +5》=10w+25. (10w+25)=10(m+2)+5, 微专题5因式分解及其应用 10m十25被10整除的余数是5 1,1)原式=3u(u一2》, 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差皱 (2)原式=5(x-2y)3〔x十4x). 10整除的余数是5， 数学上)·HD