第31章 圆 单元练习 2025-2026学年人教版（五四制）数学九年级上册

第31章 圆 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如果一个多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是(    ) A. B. C. D. 2.一条弧所对的圆心角为，弧长等于半径为的圆的周长的倍，则这条弧的半径为(    ) A. B. C. D. 3.如图，四边形内接于，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 4.如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点点不与点重合，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，点是的劣弧上一点，连接，，，，交于点，若，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，是的直径，、是上的两点，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，将绕直角顶点逆时针旋转得，则点转过的路径长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，的半径为，弦的长度是，，垂足为，则的长度为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.在中，弦，圆心角，则的直径为          ． 10.已知圆的内接正六边形周长为，则圆的面积是          结果保留． 11.已知的内接正六边形周长为，则这个圆的半径是________． 12.颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为米的正六边形，那么这个地基的周长是          米． 13.如图，，，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是          ． 14.如图，矩形中，，以为圆心，的长为半径画弧交边于点，则图中的弧长是          ． 15.如图，的半径为，点，，都在上，若，则的长为          结果用含有的式子表示． 16.数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径，如图所示，小东首先在内圈圆上取点、，再作弦的垂直平分线，垂足为，交于点，经测量，，，那么这个齿轮内圈圆的半径为          ． 三、解答题：本题共7小题，共52分。 17.本小题分 如图，已知，是以为直径的上的两点，连接，，，若，求证：为的中点． 18.本小题分 一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆孤两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？结果精确到 19.本小题分 已知直线过上点，点、点是上的两点，． 求证：直线是的切线． 20.本小题分 如图，中，，为的中点，以为圆心的圆与相切于点，求证：与相切． 21.本小题分 如图，的三个顶点都在上，直径，，求的长． 22.本小题分 如图，是的弦，的半径垂足为若，，求的半径长． 23.本小题分 如图，中，弦与相交于点，，连接、． 求证：；           ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】解：设弧所在圆的半径为， 由题意得， 解得． 故选B． 本题考查弧长的计算． 设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为的圆的周长的倍，所以根据所给出的等量关系，列出方程，解方程即可． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．运用圆内接四边形对角互补计算即可． 【解答】 解：四边形内接于，， ， 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出中心角的度数． 连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：由圆周角定理得：， ，， ； 故选：． 由圆周角定理求出，由三角形的外角性质求出，再由三角形的外角性质即可得出答案． 本题主要考查圆周角定理、三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质． 根据圆周角定理得出，，再根据直角三角形的性质求出即可． 【解答】解：， ， 是的直径， ， ， 故选C． 7.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， ， 将绕直角顶点逆时针旋转得， ， 点转过的路径长为： 故选：． 利用锐角三角函数关系得出的长，进而利用旋转的性质得出，再利用弧长公式求出即可． 此题主要考查了旋转的性质以及弧长公式应用，得出点转过的路径形状是解题关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．根据的半径为，弦的长度是，，可以求得的长，从而利用勾股定理可以求得的长． 【解答】 解：由题意可得， ，，， ， ， 故选A． 9.【答案】  【解析】解：如图所示， 在中，圆心角，， 是等边三角形， ， 的直径． 故答案为：． 根据题意画出图形，再由等边三角形的性质即可得出结论． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形和圆． 首先求出，进而证明为等边三角形，问题即可解决．  【解答】 解：如图， 的内接正六边形的周长为， 边长为， ，且， 为等边三角形， ， 即该圆的半径为， 圆的面积为． 11.【答案】  【解析】解：如图，   正六边形周长为， 正六边形边长为， ，且， 为等边三角形， ， 即该圆的半径为， 故答案为． 首先求出，进而证明为等边三角形，问题即可解决． 本题考查正多边形和圆的关系，以及等边三角形的判定与性质． 12.【答案】  【解析】【分析】 由正六边形的半径为米，则米；由，得出是等边三角形，则米，即可得出结果． 本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决． 【解答】 解：如图所示： 正六边形的半径为米， 米， 正六边形的中心角， 是等边三角形， 米， 正六边形的周长为：米； 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 14.【答案】  【解析】【分析】 根据题意以及勾股定理，得出的长度，再根据矩形的性质，可以求得的度数，然后根据弧长公式即可解答本题． 本题考查弧长的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】 解：在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧交边于点， ，， ， ， ， ， 图中的弧长是：， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了弧长的计算，圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长的计算公式；根据圆周角定理求出的度数，再利用弧长的计算公式列式计算即可． 【解答】 解：， ， 又的半径为， 的长为． 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：如图，设这个齿轮内圈圆的圆心为，半径为，连接、，则、、三点共线，， 直线是线段的垂直平分线，， ， 在中，由勾股定理得，，解得， 即这个齿轮内圈圆的半径为，故答案为． 17.【答案】证明：， ， ， ，， ， ，即为的中点．  【解析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出，，，推出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质等知识点，能推出是解此题的关键． 18.【答案】解：由垂径定理推论可得：， 设圆的半径为，则，， ， 即． 解得：． 答：这个车轮的半径为．  【解析】设圆的半径为，然后根据勾股定理列方程求解即可． 本题主要考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握相关定理是解题的关键． 19.【答案】证明：如图，连接，延长交于，连接， ，，， ，， ，， 是的直径， 直线是的切线．   【解析】见答案． 20.【答案】证明：作于，连接、． 是的切线， ， ，是的中点， 平分 又，， ， 是的切线．  【解析】本题考查的是切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质有关知识过点作，根据是等腰三角形，是边的中点，以及是的切线，得到，说明是的一条半径，根据切线的判定定理证明是的切线． 21.【答案】解：如图，连接， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ．  【解析】先连接，根据，判定是等边三角形，进而得到． 本题主要考查了圆周角定理以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形． 22.【答案】解：的弦，半径， ， 设的半径为，则，连接， 在中， ，即，解得．  【解析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，再连接，在中利用勾股定理求出的值即可． 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 23.【答案】证明， ，即， ； ， ， 在和中， ， ．  【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等；也考查了圆周角定理即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 由知，即，据此可得答案； 由知，结合，可证，从而得出答案． 第8页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$