3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　抛物线的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 了解并掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点等);能利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程;会求抛物线的焦点弦问题. 1.四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 图象 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x=- x= y=- y= 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e=1 通径长 2p |微|点|助|解| (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直. (3)当焦点弦垂直于对称轴时,其长度为2p,为最短焦点弦长,称为通径. 2.直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0. (1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. (2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点. 　　基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴. (　　) (2)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同. (　　) (3)抛物线x2=4y,y2=4x的x,y的范围是不同的,但是其焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同. (　　) (4)若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切. (　　) (5)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是 (　　) A.(-m,-n) B.(m,-n) C.(-m,n) D.(-n,-m) 解析:选B　由抛物线关于x轴对称易知,点(m,-n)一定在该抛物线上. 3.已知抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),则抛物线的焦点坐标为 (　　) A.(-1,0) B.(0,-1) C.(1,0) D.(0,1) 解析:选D　∵抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1,-1),∴-=-1,即p=2,∴抛物线的焦点坐标为(0,1). 4.过点(0,1)与抛物线y2=2px(p>0)只有一个公共点的直线的条数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选D　易知点(0,1)在抛物线y2=2px(p>0)外,过(0,1)可作抛物线的两条切线,过(0,1)与对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点.故满足题意的直线共有3条. 题型(一)　由抛物线的性质求其标准方程 [例1]　抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解:椭圆的方程可化为+=1,其短轴在x轴上,∴抛物线的对称轴为x轴, ∴设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即=3, ∴p=6, ∴抛物线的标准方程为y2=12x或y2=-12x, 其准线方程分别为x=-3和x=3. 　　|思|维|建|模| 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1. 　　[针对训练] 1.(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程; (2)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程. 解:(1)因为顶点在原点,焦点在y轴上,点M(m,-3)位于第三或第四象限,故可确定所求抛物线的开口向下. 设所求抛物线方程为x2=-2py(p>0),则焦点为F. 因为M(m,-3)在抛物线上且|MF|=5, 故解得 故m=±2,抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2. (2)由题意,可设抛物线的方程为y2=2ax(a≠0),则焦点为F,直线l:x=,所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为,,所以|AB|=2|a|.因为△OAB的面积为4,所以··2|a|=4,所以a=±2.故所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x. 题型(二)　抛物线几何性质的简单应用 [例2]　已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点. (1)过F作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,△AOB的面积为2.求抛物线C的标准方程; (2)抛物线上有M,N两点,若△MON为正三角形,求△MON的边长. 解:(1)由抛物线方程知F,AB为抛物线的通径,则|AB|=2p,∴S△AOB=|OF|·|AB|=××2p=p2=2,解得p=2(舍负), ∴抛物线C的标准方程为y2=4x. (2)∵△MON为正三角形,∴|OM|=|ON|=|MN|,由抛物线对称性可知MN⊥x轴, 设MN:x=t,则y2=2pt,解得y1=,y2=-,∴|MN|=2,∴tan 30°===,解得t=6p, ∴|MN|=4p,即△MON的边长为4p. 　　|思|维|建|模| 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围:解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点:解决焦点弦问题. 　　[针对训练] 2.F为抛物线C:y2=12x的焦点,直线x=1与抛物线交于A,B两点,则∠AFB为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　抛物线C:y2=12x中x=1时可得y=±2,且F(3,0),则A(1,2),B(1,-2),取H(1,0)(如图), ∴tan∠AFH===,∴∠AFH=60°,由对称性可知∠AFB=120°. 3.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点,则满足|MP|=|MO|=|MF|的点M的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　将点P的坐标代入抛物线中得(2p)2=2p×2,解得p=1,则P(2,2),所以OP的斜率为1,且OP的中点为(1,1),则OP的垂直平分线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.又OF的垂直平分线方程为x=,|MP|=|MO|=|MF|,则点M为OP的垂直平分线和OF的垂直平分线的交点,所以点M的坐标为. 题型(三)　直线与抛物线的位置关系 [例3]　当k为何值时,直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点?仅有一个公共点?无公共点? 解:由得k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0. 当k=0时,方程化为一次方程-4x+4=0, 该方程只有一解x=1,原方程组只有一组解, ∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点; 当k≠0时,二次方程的判别式Δ=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1), 当Δ>0时,得k2-2k-1<0,1-<k<1+, ∴当1-<k<0或0<k<1+时,直线与抛物线有两个公共点; 由Δ=0得k=1±,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点;由Δ<0得k<1-或k>1+,此时直线与抛物线无公共点. 综上,当k=0或k=1±时,直线与抛物线仅有一个公共点;当1-<k<0或0<k<1+时,直线与抛物线有两个公共点; 当k<1-或k>1+时,直线与抛物线无公共点. 　　|思|维|建|模| 判断直线与抛物线的位置关系的方法 　　联立方程组消元,当二次项系数不等于零时,用判别式Δ来判定;当二次项系数等于零时,直线与抛物线相交于一点. 　　[针对训练] 4.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线有一个或两个公共点 D.直线与抛物线可能没有公共点 解析:选C　∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过定点(1,0).∴当k=0时,直线y=0与抛物线有一个公共点,即顶点;当k≠0时,点(1,0)在抛物线的内部,所以直线与抛物线有两个公共点,综上所述,直线与抛物线有一个或两个公共点. [课时检测] 1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是 (　　) A.开口向上,焦点为(0,1) B.开口向上,焦点为 C.开口向右,焦点为(1,0) D.开口向右,焦点为 解析:选B　由抛物线y=4x2,得抛物线标准方程为x2=y,2p=,故焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为. 2.[多选]以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 (　　) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:选CD　设抛物线方程为x2=2py(p>0)或x2=-2py(p>0),2p=8,p=4.∴抛物线方程为x2=8y或x2=-8y. 3.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.∪ C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(,+∞) 解析:选B　由题意知过A(0,-4)和B(t,0)两点的直线斜率kAB=,∴过A,B的直线方程为y=x-4,与抛物线方程联立得x2-x+2=0,Δ=-8<0,∴t<-或t>,故选B. 4.设倾斜角为α的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=2,则cos α的值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　过A,B分别作准线的垂线交准线于M,N,过B作BD⊥AM于D,则|AD|=|AM|-|BN|,由抛物线的性质可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,因为=2,所以|AB|=3|BF|,所以= ====cos∠DAB,即cos α=. 5.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为 (　　) A.2x-y-3=0 B.2x-y-5=0 C.x-2y=0 D.x-y-1=0 解析:选A　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则⇒(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2). 又AB的中点为M(2,1),所以y1+y2=2, 所以直线l的斜率k==2, 因此直线l的方程为y-1=2(x-2), 整理,得2x-y-3=0.故选A. 6.[多选]已知抛物线C:y2=4x,焦点为F,过焦点的直线l与抛物线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则下列说法一定正确的是 (　　) A.|AB|的最小值为2 B.以线段AB为直径的圆与直线x=-1相切 C.x1x2为定值 D.若M(-1,0),则∠AMF=∠BMF 解析:选BCD　抛物线C:y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,过焦点的弦中通径最短,所以|AB|的最小值为2p=4,故A不正确;如图,设线段AB的中点为D,过点A,B,D作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,D1,由抛物线的定义可知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以|DD1|=(|AA1|+|BB1|)=|AB|,所以以线段AB为直径的圆与直线x=-1相切,故B正确;设直线AB的方程为x=ny+1,由消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y2=-4,x1x2==1,故C正确;由C得y1+y2=4n,kAM+kBM=+===0,故D正确. 7.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|,则|BF|等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线方程l:x=-1,设准线l与x轴交于点H,不妨设点A在第四象限,过A和B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,如图,由抛物线的定义可知|AF|=|AD|,|BF|=|BE|,又|AC|=2|AF|,所以|AC|=2|AD|,则∠ACD=.所以直线AB的倾斜角为,因为|HF|=p=2,==,所以|AF|=|AD|=.在Rt△CEB中,∠ECB=,设|BE|=|BF|=x,则2|BE|=|BC|,即2x=++x,解得x=4,所以|BF|=4. 8.(5分)已知抛物线y2=2px(p>0),直线x=m与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y1+y2=　　　　.  解析:因为抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,x=m与x轴垂直,故y1=-y2,即y1+y2=0. 答案:0 9.(5分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,则抛物线的方程为　　　　　　　　.  解析:设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),与圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),由对称性,知x1=x2,y2=-y1,则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2y1=2,所以y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=. 于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x. 答案:y2=3x或y2=-3x 10.(5分)过抛物线x2=4y的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为　　　　.  解析:抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,直线l的倾斜角为,设直线l与抛物线交于M,N两点,则直线l的方程为y=-x+1,代入x2=4y得y2-6y+1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=6,故所求弦长为|MN|=|MF|+|NF|=y1+y2+2=8. 答案:8 11.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为　　　　. 解析:由y2=4x知焦点F(,0),准线x=-.设P点坐标为(x0,y0),则x0+=4,∴x0=3,∴=4 ×3 =24,∴|y0|=2,∴S△POF=××2=2. 答案:2 12.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上任意一点P(x,y)到焦点的距离比它到y轴的距离大1. (1)求抛物线C的方程;(3分) (2)若过点F(1,0)的直线l与曲线C相交于不同的A,B两点,求·的值.(7分) 解:(1)依题意,P(x,y)到抛物线C焦点的距离为x+,则x+-x=1,解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)显然直线l不垂直于y轴,设直线l的方程为x=ty+1, 由消去x得y2-4ty-4=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1y2=-4,x1x2=·=1, 所以·=x1x2+y1y2=-3. 13.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1). (1)求抛物线C的方程;(2分) (2)O为坐标原点,A,B为抛物线C上异于原点O的不同两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求证:直线AB过定点.(8分) 解:(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1),所以1=2p,解得p=, 所以抛物线C的方程为y2=x. (2)证明:设点A,B的坐标分别为(,y1),(,y2), 所以k1==,k2==, 所以k1k2==-2,即y1y2=-. 当直线AB的斜率不存在时,y1=-y2,直线AB的方程为x=; 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0), 联立消去x整理,得ky2-y+m=0, 故y1y2==-,得k=-2m, 则直线AB的方程为y=-2mx+m, 可化为y=-2m,所以直线过点. 综上,直线AB过定点. 14.(10分)如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程;(3分) (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.(7分) 解:(1)由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.∴抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,∴m2=4×2,解得m=±2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),得直线AF的方程为y=2(x-1),由 得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,∴B. 又G(-1,0),∴kGA=,kGB=-, ∴kGA+kGB=0,∴∠AGF=∠BGF. ∴GF为∠AGB的平分线. 学科网（北京）股份有限公司 $$