阶段质量评价 第2章 平面解析几何初步(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

[阶段质量评价]第2章　平面解析几何初步 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若直线l经过两点A(2,m),B(-m,2m-1)且l的倾斜角为45°,则m的值为 (　　) A. B.2 C.1 D.- 解析:选D　由斜率的定义可得kAB=tan 45°,即=1,解得m=-. 2.已知直线l1:2x+2y-5=0,l2:4x+ny+1=0,若l1∥l2,则n的值为 (　　) A.-6 B.6 C.4 D.-4 解析:选C　因为l1∥l2,所以=≠,解得n=4,故选C. 3.圆心为M(2,-1),且与直线x-2y+1=0相切的圆的方程为 (　　) A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-2)2+(y+1)2=5 C.(x-2)2+(y+1)2=25 D.(x-2)2+(y-1)2=25 解析:选B　由题意知,r==,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=5. 4.一条沿直线传播的光线经过点P(-2,5)和Q(1,1),然后被x轴反射,则反射光线所在直线的方程是 (　　) A.4x+3y-7=0 B.4x+3y+7=0 C.4x-3y-7=0 D.4x-3y+7=0 解析:选C　由题意P,Q两点关于x轴的对称点分别为P1(-2,-5),Q1(1,-1),直线P1Q1方程为=,化简得4x-3y-7=0即为反射光线所在直线方程. 5.圆x2+y2-6y=0在点P(,1)处的切线方程为 (　　) A.x-2y-3=0 B.x-2y+3=0 C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0 解析:选A　因为()2+12-6×1=0,所以P(,1)在圆x2+y2-6y=0上,x2+y2-6y=0的圆心为A(0,3),故kAP==-,设圆x2+y2-6y=0在点P(,1)处的切线方程斜率为k,故kkAP=-1,解得k=,所以圆x2+y2-6y=0在点P(,1)处的切线方程为y-1=(x-),即x-2y-3=0. 6.已知直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　由k=1时,圆心到直线l:y=x+1的距离d=,所以弦长为.所以S△OAB=××=,所以充分性成立.由图形的对称性当k=-1时,△OAB的面积也为,所以必要性不成立.故选A. 7.已知圆C1:x2+y2=r2(r>0),圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1与C2有公共点,则r的最小值为 (　　) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:选B　已知圆C1:x2+y2=r2(r>0),则圆心C1(0,0),半径为r1=r,圆C2:(x+3)2+(y-4)2=4,则圆心C2(-3,4),半径r2=2.又|C1C2|==5,C1与C2有公共点,所以|r-2|≤|C1C2|≤r+2,又r>0,所以3≤r≤7,即r的最小值为3. 8.已知圆C:x2+y2-4x-4y-1=0,AB是圆C上的一条动弦,且|AB|=4,O为坐标原点,则|+|的最小值为 (　　) A.4-2 B.2-1 C.2 D.4 解析:选A　圆C:x2+y2-4x-4y-1=0,即(x-2)2+(y-2)2=9,圆心C(2,2),半径r=3,设弦AB的中点为H,则CH⊥AB,|+|=|2|,且|AB|=4,所以|CH|==1,所以点H在以C为圆心,1为半径的圆上,所以|OH|≥|OC|-1=2-1,所以|+|的最小值为4-2. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分) 9.对于直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的是 (　　) A.直线l2一定过定点 B.若l1⊥l2,则a= C.若l1∥l2,则a=3 D.点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为 解析:选AB　l2:3x+(a-1)y+3-a=0变形为l2:3x-y+3+a(y-1)=0,令解得故直线l2一定过定点,A正确;若l1⊥l2,则3a+2(a-1)=0,解得a=,B正确;若l1∥l2,则解得a=3或a=-2,C错误;l1:ax+2y+3a=0恒过点Q(-3,0),点P(1,3)到直线l1的距离的最大值为P,Q两点间距离,其中|PQ|==5,D错误. 10.已知圆C1:x2+y2=9,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=9,且C1与C2交于P,Q两点,则下列结论正确的是 (　　) A.圆C1与圆C2关于直线PQ对称 B.线段PQ所在直线的方程为6x-8y-7=0 C.圆C1与圆C2的公切线方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 D.若A,B分别是C1与C2上的动点,则|AB|的最大值为11 解析:选AD　两圆的半径均为3,则PQ为线段C1C2的垂直平分线,故圆C1与圆C2关于直线PQ对称,A正确;因为圆C1与圆C2相交,所以两个方程相减可得直线PQ的方程为6x-8y-25=0,B错误;因为圆C1与圆C2相交,所以有两条公切线,又两圆的半径相等,所以公切线与C1C2平行,即公切线的斜率k==-,设公切线方程为y=-x+b,即4x+3y-3b=0,所以3=,解得b=±5,所以C1与C2的公切线方程为4x+3y-15=0或4x+3y+15=0,C错误;|AB|的最大值为|C1C2|+r1+r2= +3+3=11,D正确. 11.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,点A(4,0),B(0,3),P为圆C上一点,Q为直线AB上一点,则 (　　) A.|PQ|的最大值为 B.|PQ|的最小值为 C.当∠BAP最小时,|AP|=4 D.当∠BAP最大时,|AP|=4 解析:选BCD　由题意可知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径r=1,点A(4,0),B(0,3),所以直线AB的方程为+=1,即3x+4y-12=0,设圆心C到直线AB的距离为d==,则有|PQ|≥|CQ|-|CP|≥d-r=-1=,所以|PQ|的最小值为,没有最大值,故A错误,B正确; 如图,当直线AP与圆相切时∠BAP取到最大值∠BAP2和最小值∠BAP1,则此时切线长|AP|=|AP1|=|AP2|===4,故C、D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知点P(1,m)到直线l:3x+4y-2=0的距离等于3,则m的值为　　　　　　.  解析:由已知得d==3,解得m=-4或m=. 答案:-4或 13.(5分)阿波罗尼奥斯(古希腊数学家,约公元前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.现有△ABC,AC=6,sinC=2sin A,则当△ABC的面积最大时,BC的长为　　　　.  解析:如图所示,以AC的中点为原点,AC边所在直线为x轴建立直角坐标系,∵AC=6,∴A(-3,0),C(3,0),设点B(x,y),∵sin C=2sin A,由正弦定理可得c=2a,即|AB|=2|BC|,∴(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2,化简得(x-5)2+y2=16,且x≠1,x≠9,圆的位置如图所示,圆心为(5,0),半径r=4,观察可得,三角形底边长AC不变的情况下,当B点位于圆心D的正上方时,AC边上的高最大,此时△ABC的面积最大,B点坐标为(5,4), ∴BC==2. 答案:2 14.(5分)过直线x-y-6=0上一点P作圆C:(x-1)2+(y-3)2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB的面积的最小值为　　　　.  解析:根据题意可得C(1,3),半径为2,∵直线x-y-6=0,∴点C到直线的距离为=4>2,即直线与圆C相离,∵点P为直线上的动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B,∴四边形PACB的面积为S四边形PACB=2S△PAC=2|PA|=2,∵圆心C到直线的距离为4,∴|PC|min=4,即(|PC|2)min=32,则四边形PACB的面积最小值为4. 答案:4 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1). (1)判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由;(5分) (2)已知点D到直线AC的距离d=3,求△ACD的面积.(8分) 解:(1)由点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1)得kAB==2,kBC==2,即kAB=kBC. 因为kAB=kBC且直线AB与直线BC有公共点B,所以A,B,C三点共线. 故A,B,C,D四点不能围成四边形. (2)因为点D到直线AC的距离d=3为△ACD中在边AC上的高, 又|AC|==4,所以△ACD的面积S△ACD=|AC|d=×4×3=30. 16.(15分)已知Rt△ACB的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点C的轨迹方程;(7分) (2)直角边BC的中点M的轨迹方程.(8分) 解:(1)法一　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1. 又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0. 因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). 法二　设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2. 由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆,由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 法三　设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以·=0. 因为A(-1,0),B(3,0),C(x,y), 所以=(x+1,y),=(x-3,y), 所以·=(x+1)(x-3)+y2=x2-2x-3+y2=0,所以直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0). (2)设M(x,y),C(x0,y0), 因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y. 由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0), 将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1. 因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0). 17.(15分)已知圆C的圆心在直线l:y=x上,并且经过点A(2,1)和点B(3,2). (1)求圆C的标准方程;(5分) (2)若直线m:x+y+t=0上存在点P,过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N,且∠MPN=90°,求实数t的取值范围.(10分) 解:(1)因为AB的中点为D,且kAB=1,所以AB的垂直平分线为y-=-,即x+y-4=0, 由得所以圆心C(2,2),则半径r=|AC|=1,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1. (2)如图,由∠MPN=90°得∠CPM=45°,所以|CP|=, 所以圆心C(2,2)到直线m的距离d=≤,则|4+t|≤2,解得-6≤t≤-2, 所以实数t的取值范围为[-6,-2]. 18.(17分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),直线l:kx-y-4k=0,当k=时,直线l与圆O恰好相切. (1)求圆O的方程;(5分) (2)若直线l上存在距离为2的两点M,N,在圆O上存在一点P,使得·=0,求实数k的取值范围.(12分) 解:(1)当k=时.圆心O到直线l的距离为=2,则r=2, 所以圆O的方程为x2+y2=4. (2)圆心O到直线l的距离d=, 当直线l与圆O有公共点,即d=≤r=2,解得-≤k≤, 若点P与点M(或N)重合,则满足·=0,符合题意. 当直线l与圆O无公共点,即d=>r=2,解得k<-或k>, 由·=0,可知点P在以MN为直径的圆上,设线段MN的中点为Q(x0,y0), 则圆Q的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=1, 又圆Q与圆O有公共点,设圆Q的半径r2=1,圆O的半径r1=2, 则1=r1-r2≤|OQ|=≤r1+r2=3, 只需点O到直线l的距离d=≤3, 所以-≤k<-或<k≤. 综上,实数k的取值范围为. 19.(17分)已知直线l:y=k(x-2)(k∈R)交圆M:(x-1)2+(y-3)2=5于不同的A,B两点,|AB|=4. (1)求直线l的方程;(6分) (2)若Q为圆O:x2+y2=1上一动点,求·的最小值.(11分) 解:(1)圆心为M(1,3),圆心M到直线l的距离为d==,由题意可知,圆M的半径为r=,由勾股定理可得+d2=r2,即22+=5,整理可得6k+8=0,解得k=-,因此,直线l的方程为y=-(x-2),即4x+3y-8=0. (2)设线段AB的中点为S,由垂径定理可知MS⊥AB,且|MS|=d==1, ·=(+)·(+)=-=-4,因为kAB=-,则kMS=-=, 所以直线MS的方程为y-3=(x-1),即3x-4y+9=0, 联立 解得即点S, 则|OS|==, 所以||≥|||-|||=-1, 当且仅当点Q为线段OS与圆O的交点时,等号成立, 所以·=-4≥-4=,故·的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$