第二章 平面解析几何初步（单元分层自测·基础通关卷）高二数学湘教版选择性必修第一册

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 2．直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 4．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 10．若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线 被圆 截得的弦长为______. 13．点关于直线：的对称点的坐标为______． 14．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16．（15分）已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 17.（15分）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 18．（17分）已知圆及直线． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交； (3)求直线被圆截得的最短弦的长． 19.（17分）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 平面解析几何初步·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C B C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BCD ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，............1分 由于过点，代入，解得，............3分 可得，............5分 所以直线方程为：．............6分 （2）由题意知，，则线段的中点，............7分 直线的斜率，............8分 因为直线与直线垂直，则有，所以，............10分 再由直线经过点，............11分 则由点斜式方程可得直线的方程为：，............12分 化为一般式为：．............13分 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则，............2分 直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为，............4分 故其直线方程为：，即；............6分 （2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即，............9分 由解得：，............12分 即圆心为，圆的半径为：,............14分 故圆的方程为：.............15分 17．（15分） 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离为：，............3分 解得或（舍），所以圆的标准方程为：.............7分 （2）由（1）知圆心到直线的距离为：，............10分 则直线被圆截得的弦长为：，............14分 解得：或.............15分 18．（17分） 【答案】(1)和 (2)， (3) 【详解】（1）由题意圆的方程为：，............1分 所以圆心，则，点在圆外，............2分 当切线斜率不存在时，其方程为，满足题意，............3分 当切线有斜率时，设切线斜率为，则切线方程为，............4分 则圆心到直线的距离为，............5分 所以直线方程为，即．............6分 综上可得：切线方程为和............7分 （2）证明如下： 可变形为，............8分 令，解得，所以直线恒经过点，............9分 因为，所以点在圆内部，............10分 所以直线l与圆C恒相交.............11分 （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直，............12分 设弦的斜率为，则，............13分 弦方程为，即，............15分 所以圆心到直线的距离为，............16分 所以弦长为.............17分 19．（17分） 【答案】(1)或. (2)①； ②略 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，............1分 则圆心到直线的距离，............2分 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意；............3分 若直线的斜率存在，设直线，即，............4分 则，解得，............5分 所以直线；............6分 综上所述：直线的方程为或.............7分 （2）①若线段的中点为，由可得，即，............8分 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，............9分 所以点的轨迹方程；............10分 ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在，............11分 设直线的方程为，即，点............12分 联立方程，消去可得， 则，解得，............13分 由韦达定理可得，............14分 则 ............15分 ，............16分 所以为定值.............17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 2．直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 4．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 10．若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 11．已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线 被圆 截得的弦长为______. 13．点关于直线：的对称点的坐标为______． 14．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 16．（15分）已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 17.（15分）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 18．（17分）已知圆及直线． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交； (3)求直线被圆截得的最短弦的长． 19.（17分）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 平面解析几何初步·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A．0° B．45° C．90° D．135° 【答案】C 【详解】直线等价于,该直线的斜率不存在，所以倾斜角为90°. 2．直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 3．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 4．经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 5．已知直线：和直线：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知直线：，可变形为，其斜率为， 直线：，可变形为，其斜率为， 因为， 所以，解得． 6．已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 7．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 8．全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点， 可得， 当最小时，最小，又最小时，即为到直线的距离， 即此时，又，所以， 又因为，所以此时直线的方程为，即， 由，得，所以巡检无人机此时的坐标应为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当直线斜率不存在时可判断A，利用圆的标准方程可判断B，利用两点式直线方程可判断C，利用直线的斜率和截距满足的条件可判断D. 【详解】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 10．若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 11．已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若过原点作的切线，则其中一条切线的方程为 B．若是上一点，则的最大值为 C．若直线与相交，且交点为，，则有最小值 D．若上到直线（）的距离为的点有且仅有个，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A,圆由一般方程化为标准方程即可判断；对于B，可以利用圆的参数方程判断；对于C，直线即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，C错误；对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，通过点到直线的距离公式即可判断. 【详解】对于A,将配方得标准方程，显然圆心到轴距离为1，一条切线为，A正确； 对于B，令，，则，其中，所以的最大值为16，B正确； 对于C，直线，亦即，恒过定点，恰在上，所以，两点可以无限接近，但不能重合，所以没有最小值，C错误； 对于D，若上到直线（）的距离为1的点有且仅有2个，等价于圆心到直线的距离小于2，即，解得，所以的取值范围是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 13．点关于直线：的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意得到，求解可得. 【详解】因为点关于直线：的对称点为， 设点的坐标为，则，的中点为， 由题意得，即，解得：， 即对称点的坐标为. 14．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 【答案】 【分析】根据的坐标画出线段AB，可知的几何意义为与连线斜率，所以可由斜率公式求解. 【详解】根据题意画出线段AB如下图所示： 的几何意义为与连线的斜率. 又， 所以结合图象可得，. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 16.（15分）已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即； （2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即， 由解得：， 即圆心为，圆的半径为：, 故圆的方程为：. 17．（15分）已知圆的半径为，圆心在直线上，，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若直线 被圆截得的弦的长度为，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由题意知圆心到直线的距离为：， 解得或（舍），所以圆的标准方程为：. （2）由（1）知圆心到直线的距离为：， 则直线被圆截得的弦长为：， 解得：或. 18．（17分）已知圆及直线． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论取什么实数时直线恒经过的点，并证明：直线与圆恒相交； (3)求直线被圆截得的最短弦的长． 【答案】(1)和 (2)， (3) 【详解】（1）由题意圆的方程为：， 所以圆心，则，点在圆外， 当切线斜率不存在时，其方程为，满足题意， 当切线有斜率时，设切线斜率为，则切线方程为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线方程为，即． 综上可得：切线方程为和 （2）证明如下： 可变形为， 令，解得，所以直线恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 19．（17分）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)①； ②略 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $