28.1 二次函数的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版（五四制）九年级数学上册

28.1 二次函数的图象和性质 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.将二次函数的图象向下平移个单位，则平移后的二次函数解析式为(    ) A. B. C. D. 2.若抛物线经过第二、三、四象限，则，，的取值范围分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在二次函数的图象中，若随的增大而增大，则下列的取值范围正确的是(    ) A. B. C. D. 4.在抛物线的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 5.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过      A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 6.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是(    ) A. B. C. D. 7.若二次函数的图象如图所示，则(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 8.已知，是非零实数，，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象不可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是          ． 10.已知二次函数的图象是由抛物线向左平移个单位长度得到的，则________，________． 11.将二次函数化成的形式是          ，其图象开口向          ，对称轴是          ，顶点坐标是          ． 12.已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，那么这个二次函数的解析式可以是          只需写一个 13.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点坐标为，且过点，则关于的函数表达式为          ． 14.已知抛物线如图所示，则其对应的函数关系式为          ． 15.如图，抛物线的对称轴为直线，点，是抛物线与轴的两个交点若点的坐标为，则点的坐标为          ． 16.某市“安居工程”新建成的一批楼房都是层高，房子的价格元平方米随楼层数楼的变化而变化，已知点都在一个二次函数的图象上如图所示，则楼房子的价格为          元平方米． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 抛物线是由抛物线怎样平移得到的并说明： 平移前后顶点坐标、对称轴及值随的变化情况 平移前后函数的最值． 18.本小题分 如图，一辆宽为的货车要通过跨度为，拱高为的单行抛物线隧道从正中间通过抛物线的函数表达式为为保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，那么货车的限高应是多少 19.本小题分 已知抛物线． 写出抛物线的对称轴：           完成下表： 在如下的平面直角坐标系中描点画出抛物线． 20.本小题分 如图，二次函数的图像与轴交于、两点，交轴于点． 根据图像确定、、的符号 如果，，分别求出点、、的坐标． 21.本小题分 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，已知点的坐标为 求该抛物线的解析式； 求梯形的面积． 22.本小题分 已知二次函数． 求二次函数图象的顶点坐标 在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象 当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确记忆平移规律是解题关键．直接利用二次函数平移规则“上加下减”进而得出答案．  【解答】 解：将二次函数的图象向下平移个单位，  则平移后的二次函数的解析式为：  故选：  2.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是根据图象经过第二、三、四象限，画出二次函数的大致图象． 解答此题先根据题意画出图象，然后根据开口方向，对称轴，与轴的交点情况判定，，的取值范围即可． 【解答】解：抛物线经过第二、三、四象限，如图所示： 由图可得开口向下， ， 对称轴在轴的左侧， ，同号， ， 与轴交于原点或负半轴， ， 故选B． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及一次函数图象与系数的关系，弄清题意是解本题的关键． 由抛物线顶点在第二象限，判断出与的正负，利用一次函数性质即可确定出经过的象限． 【解答】 解：根据图象得：抛物线的顶点在第二象限， ，，即，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：． 6.【答案】  【解析】略 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数一般形式中各系数的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴判断的符号即可． 【解答】 解：抛物线的开口向下， ， 轴的交点为在轴的负半轴上， ， 对称轴为， 、异号，即． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 根据二次函数与一次函数可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题． 【解答】 解：解得或． 故二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的交点在轴上为或点． 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，，故选项A有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，由，则，故选项B有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，，，故选项C有可能； 在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，由，则，故选项D不可能； 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题关键． 根据二次函数的增减性，可得，对称轴大于或等于，可得答案． 【解答】 解：由当时，的值随值的增大而减小，得 抛物线开口向上，， 且对称轴， 解得， 故答案为： 10.【答案】    【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答． 【解答】 解：二次函数的图象向左平移个单位长度得到， 即，，  故答案为  ． 11.【答案】 下 直线    【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的三种形式以及二次函数的性质． 先将函数化成顶点式，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：将二次函数化成的形式是 ， ， 其图象开口向下， 对称轴是直线，顶点坐标是 故答案为 ；下；直线； 12.【答案】答案不唯一  【解析】略 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，设顶点式解析式，代入点，即可得出解析式． 【解答】 解：二次函数的图象的顶点坐标为， 可设二次函数为， 又因为二次函数图象过点， 则， 解得， 所以， 即． 故答案为． 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数的性质． 根据二次函数与轴两个交点关于对称轴对称解答即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，点，是抛物线与轴的两个交点点的坐标为， 的横坐标为， ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：根据图象，可设与之间的函数表达式为， 将，代入上式得． ． 当时，． 或利用抛物线的对称性知与所对应的值相等． 17.【答案】解：抛物线是由抛物线向上平移个单位得到的； 平移前顶点坐标为，平移后顶点坐标为， 平移前后对称轴都是轴， 当时，两个函数值都随的增大而增大，当时，两个函数值都随的增大而减小； 有最小值为，有最小值为．  【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数图象的平移规律；根据二次函数图象的平移规律说明抛物线是由抛物线怎样平移得到的； 根据抛物线的解析式直接写出平移前后顶点坐标、对称轴及值随的变化情况即可； 根据平移前后函数的解析式直接写出函数的最值即可． 18.【答案】解：当时，， 米． 答：货车的限高应是米．  【解析】本题考查了二次函数的应用，代入求出值是解题的关键． 根据货车的宽度可求出当时的值，用其减去即可求出结论． 19.【答案】解：直线 表格填写如下： 所画抛物线如下：   【解析】此题主要考查了二次函数的性质中利用解析式确定函数的对称轴以及利用描点法画函数图象，正确求出图象上点的坐标是解题关键． 根据抛物线，直接得出对称轴即可； 根据直线解析式分别得出对应函数的值即可； 利用中所求的点，画出图象即可． 20.【答案】抛物线开口向上， ． 对称轴， 、同号，即 抛物线与轴交于负半轴， ． 综上所述，，， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．   【解析】见答案 21.【答案】解：将代入中，得：， 解得：， 则抛物线解析式为；   【解析】将坐标代入抛物线解析式，求出的值，即可确定出解析式； 抛物线解析式令求出的值，求出的长，根据对称轴求出的长，令求出的值，确定出的长，利用梯形面积公式即可求出梯形的面积． 此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22.【答案】解：， 该二次函数图象的顶点坐标为． 画出图象如下： 根据图象可知，当时，最小为 当时，最大为． 当时，．   【解析】见答案 第8页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$