广东省深圳市盐田高级中学2026届高三上学期数学一轮复习函数与导数的综合周末作业

盐田高级中学2026届高三（上）数学周末练习卷（2） 班级：___________姓名：___________命题人：张远江 审题人：李会玲 一、单选题 1．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 2．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 5．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知扇形的周长为120，圆心角为，则下列说法正确的有（    ）． A．此扇形的弧长为30 B．此扇形的半径为30 C．此扇形的面积为900 D．此扇形的面积为600 10．设函数，则（   ） A．在上单调递减 B．时，的值域为 C．有三个零点 D．曲线关于点对称 11．已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．2是的一个周期 D． 三、填空题 12．已知函数，则 . 13．已知正实数满足，则 ． 14．已知函数是奇函数，则 ． 四、解答题 15．已知，且是第三象限角， （1）求的值； （2）求的值. 16．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 17 已知函数f(x)=(a-1)x+xln x的图象在点A(e2,f(e2))(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4. (1)求实数a的值; (2)若m∈Z,且m(x-1)<f(x)+1对任意x>1恒成立,求m的最大值. 18.已知函数f(x)=aln(1+x)+x2-x(a∈R). (1)若a=1,判断函数f(x)的单调性; (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,求证:f(x2)>. 19．已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 盐田高级中学2026届高三（上）数学周末练习卷（2）解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A D C B B BC ACD 题号 11 12 答案 AD AD 1．D 【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解. 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 2．A 【分析】由指数函数单调性和一元二次不等式的解法求集合，判断包含关系，再由充分、必要性定义即可得. 【详解】由，， 所以，即是的充分不必要条件. 故选：A 3．B 【分析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，作出函数的图象，即可求解. 【详解】作出函数的图象，如下图所示， 将的图象向左平移个单位得到图象. 故选：B 4．A 【分析】直接根据反函数的定义求解即可. 【详解】由得，，所以. 故选：A 5．D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．C 【分析】根据终边相同的角的集合的表达式可判断结果. 【详解】易知角度制与弧度制在同一个式子当中不能混用，即AB错误； 又与终边位置相同，可表示为， 也可表示为，还可以表示为，即C正确，D错误. 故选：C 7．B 【分析】根据三角函数值的定义求，再结合诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以. 故选：B. 8．B 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 9．BC 【分析】根据题意有解出即可判断AB，根据扇形的面积公式计算即可判断CD. 【详解】设该扇形的圆心角、弧长、半径分别为，l，r， 所以，解得故A错误，B正确； 扇形的面积，故C正确，D错误． 故选：BC． 10．AD 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 11．AD 【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性，结合条件，化简变形，再利用赋值法，可判断A,B，判断函数的周期性，结合条件，可判断CD. 【详解】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确； 因为，令，可得，则，因为为偶函数，所以，故B不正确； 由，令，可得：，,2是不是的一个周期，C错误； 因为，，所以， 所以，则，即是以4为周期的周期函数； 所以，故D正确； 故选：AD 12． 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题，，则. 故答案为： 13．15 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】因为，则． 故答案为：15. 14． 【分析】根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解. 【详解】当时，，所以，即 则，． 故答案为： 15．(1);(2). 【解析】（1）由同角三角函数的关系可得，结合，是第三象限角可得，的值； （2）利用诱导公式将原式化简，代入，的值可得答案. 【详解】解：(1)由，可得，即， 可得，由是第三象限角，可得， 故的值为; (2) , 代入，的值， 可得原式. 【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型. 16．(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 17. 解:(1)∵f(x)=(a-1)x+xln x,∴f'(x)=ln x+a,∵函数f(x)=(a-1)x+xln x的图象在点A(e2,f(e2))处的切线斜率为4,∴f'(e2)=4,即a+ln e2=4,故a=2. (2)由(1)知f(x)=x+xln x. ∵m(x-1)<f(x)+1对任意x>1恒成立,∴m<=对任意x>1恒成立.令g(x)=,x>1,则g'(x)= = .令u(x)=x-ln x-3,x>1,则u'(x)=1-,∵x>1,∴u'(x)>0,∴u(x)=x-ln x-3在(1,+∞)上单调递增,∵u(4)=1-ln 4<0,u(5)=2-ln 5>0,∴存在x0∈(4,5),使得u(x0)=x0-ln x0-3=0,当x∈(1,x0)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.∴g(x)min=g(x0)===x0-1,故m<x0-1. ∵x0∈(4,5),∴x0-1∈(3,4),又m∈Z,∴m的最大值为3. 18. 解:(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x2-x,f(x)的定义域为(-1,+∞),f'(x)=+x-1=.因为x>-1,所以f'(x)≥0,则f(x)在(-1,+∞)上单调递增. (2)证明:由题意得f'(x)=+x-1=.当a≥1时,f'(x)≥0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,不合题意.当a<1时,令f'(x)=0,得x2=1-a.当a≤0时,令f'(x)=0,得x=,则f(x)只有一个极值点,不合题意.当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=,则x1x2=a-1,x1+x2=0,故a=x1x2+1=1-.要证f(x2)>,即证aln(1+x2)+-x2>,即证2aln(1+x2)+-2x2-x1>0,即证2(1-)ln(1+x2)+-x2>0,又x2=∈(0,1),所以要证f(x2)>,即证ln(1+x2)->0.构造函数g(x)=ln(1+x)-,x∈(0,1),则g'(x)=-=>0,即g(x)在(0,1)上单调递增,则g(x)>g(0)=0,所以f(x2)>. 19．(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$