1.2.2 数轴（讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册人教版第一章 有理数 1.2.2 数轴（讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解数轴的概念，知道数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。 2. 知道数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，缺一不可。 3. 会正确地画出数轴。 4. 能将已知的有理数在数轴上表示出来。 5. 能说出数轴上已知点所表示的有理数。 知识点梳理 1. 数轴的概念 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。 （说明：这里的“规定”是关键词，表示这三个要素是人为设定的。） 2. 数轴的三要素 · 原点：在直线上取一个点表示数0，这个点叫做原点。 · 正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，用箭头表示。 · 单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，...；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，...。 （注意：单位长度的选取要根据实际需要，同一数轴上的单位长度必须统一。） 3. 画数轴的步骤 · 第一步：画一条水平的直线。 · 第二步：在直线上选取一点作为原点，并用这点表示数字0。 · 第三步：确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。 · 第四步：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，...；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，...。 （提示：标数字时，通常在直线的上方或下方对应位置标注。） 4. 用数轴表示有理数 · 对于一个给定的有理数，可以在数轴上找到唯一的一个点与之对应。 · 正数：在原点的右边，距离原点几个单位长度，就表示正几。 · 负数：在原点的左边，距离原点几个单位长度，就表示负几。 · 零：就在原点处。 （例如：表示 +3，就在原点右边3个单位长度处描点；表示 -2，就在原点左边2个单位长度处描点。） 5. 数轴上的点与有理数的对应关系 · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 · 数轴上的点表示的数，不都是有理数（这个我们以后会学到），但是我们现在所学的有理数，都可以用数轴上的点来表示。 易错点提醒 1. 数轴三要素不全：画数轴时，容易忘记标注原点，或者忘记标出正方向的箭头，或者单位长度不统一。这三个要素缺一不可，否则就不是数轴。 2. 单位长度不统一：在同一条数轴上，必须使用相同的单位长度。不能一会儿一个单位长度表示1，一会儿又表示2。 3. 正方向错误：虽然正方向可以规定，但通常习惯上规定向右为正方向。如果题目没有特别说明，按向右为正方向画图。表示负数时，要在原点的左侧。 4. 表示数时位置错误：正数应在原点右侧，负数应在原点左侧，不要混淆。例如，-1 应该在原点左边1个单位长度，而不是右边。 5. 认为数轴就是直线：数轴是“规定了原点、正方向、单位长度的直线”，不能简单地说直线就是数轴，必须强调那三个规定。 知识点总结 · 数轴是一条特殊的直线，它有三个重要的要素：原点、正方向和单位长度。 · 画数轴时要牢记三要素，缺一不可，单位长度要统一。 · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示：正数在原点右，负数在原点左，0在原点。 · 数轴是我们学习有理数的重要工具，它能帮助我们直观地理解数的大小和位置关系。 预习建议 1. 认真阅读课本：仔细阅读教材中关于数轴的内容，重点理解数轴的概念和三要素。 2. 动手实践：自己准备好直尺和铅笔，按照课本上的步骤，尝试画出一条标准的数轴。 3. 多画多练：在画出的数轴上，尝试表示几个正数、几个负数和0，也尝试说出数轴上你标出的点表示什么数。 4. 思考理解：思考为什么数轴需要这三个要素？少了一个行不行？ 5. 记录疑问：预习过程中，如果有不理解的地方，及时用笔记录下来，带着问题去听课，效率会更高。 6. 尝试练习：完成课后练习中与本节内容相关的基础部分，检验自己的预习效果。 巩固练习 一、选择题 1．在数轴上到原点的距离等于5的点所表示的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．±5 D．不能确定 2．下列数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，表示的数轴正确的是 （ ） A． B． C． D． 4．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（　　） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 5．数轴上与距离个单位长度的点是（　　） A． B．2 C．或2 D． 6．一个点在数轴的正半轴上，且距离原点3个单位长度，这个点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．2 7．数轴上A，B两点对应的数是和，则A，B两点之间表示整数的点的个数为（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．如图，一动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，规定；每向左运动3秒就向右运动2秒．则动点运动到第2023秒时所对应的数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．数轴上到点的距离等于5个单位长度的数是． 10．在数轴上，点A所表示的数为2，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是　 　 11．若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则　 　，　 　. 12．数轴上到原点的距离小于2个单位长度的点中，表示整数的点共有　 　 个． 三、解答题 13．一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了2个单位长度到达点，再向右爬了3个单位长度到达点，然后向左爬了9个单位长度到达点． （1）画数轴表示点所在的位置，并写出三点表示的数； （2）根据点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？ 14．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． （1）若大圆沿数轴向右滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是______； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，；当小圆结束运动时，小圆运动的路程是多少？（结果保留π） （3）若两圆同时在数轴上各自沿着某一方向连续滚动，滚动一段时间后两圆与数轴重合的点之间相距，求此时两圆与数轴重合的点所表示的数． 15．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． ﹣ ，0，﹣2.5，﹣3，1 ． 16．某天，一辆货车从货场A出发，向东走了2千米到达批发部B，继续向东走1.5千米到达商场C，接着向西走了5.5千米到达超市D，最后回到货场A． （1）用1厘米表示1千米，以东为正方向，以货场为原点，画出数轴并在数轴上标明货场A，批发部B，商场C，超市D的位置； （2）超市D距离货场A　 　千米； （3）若货车行驶1千米耗油 升，该天共耗油多少升？（用含 的式子表示） 17.已知，在数轴上，点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5． （1）求点A表示的数； （2） 求点B表示的数； （3）利用数轴求A、B两点间的距离为多少？画数轴说明． 18．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． （1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． （2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ （3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）． 参考答案 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．A 8．B 9．和4 10．7或 11．5； 12．5 13．（1）解：如图所示，点表示2，点表示5，点表示 （2）解：∵点C表示，∴蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度． 14．（1） （2）当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有 （3）①当两圆同向右滚动：，；②当两圆同向左滚动：，；③当大圆向右滚动，小圆向左滚动时：、；④当大圆向左滚动，小圆向右滚动时：、； 15．解：将各数用点在数轴上表示如下： 其大小关系如下：﹣3＜﹣2.5＜﹣ ＜0＜1 16．（1）解：货场A，批发部B，商场C，超市D的位置如图所示： （2）2 （3）解：∵这辆货车一天所走的路程为2+1.5+5.5+2=11km， ∴本次这辆货车共耗油为11a升． 17．(1) 3或-3 (2) 5或-5 (3) 18．（1）解：∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，∴b=3+2=5，∵c是单项式﹣2xy2的系数，∴c=﹣2， （2）解： ∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度， ∴AB=6，两点速度差为：2﹣， ∴6÷（2-​）=4， 答：运动4秒后，点Q可以追上点P （3）解： 存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10， M对应的数是2或者-2 学科网（北京）股份有限公司 $$