第3章 圆锥曲线与方程专题微课 圆锥曲线的综合问题(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

专题微课　圆锥曲线的综合问题 题型(一)　最值与范围问题 [例1]　已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点P,离心率e=. (1)求椭圆C的方程; (2)不过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,若AB的中点M在抛物线E:y2=4x上,求直线l的斜率k的取值范围. 解:(1)由已知e==,又椭圆过点P,因此有+=1,又a2=b2+c2,联立可解得a=2,b=.故椭圆C的方程为+=1. (2)设直线l:y=kx+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). 由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,即4k2-m2+3>0①. 又x1+x2=-,故M, 将M代入y2=4x,得m=-(k≠0)②. 将②代入①得162k2(3+4k2)<81, 解得-<k<,且k≠0. 即k∈∪. |思|维|建|模| 圆锥曲线中最值与范围的求法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义,则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值与范围,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 　　[针对训练] 1.已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为2,且PF=2. (1)求抛物线E的标准方程; (2)若A,B为抛物线E上的两个动点(异于点P),且AP⊥AB,求点B的横坐标的取值范围. 解:(1)依题意得F,设P(2,y0),y0=2-, 又点P是E上一点,所以4=2p,得p2-4p+4=0,解得p=2, 所以抛物线E的标准方程为x2=4y. (2)由题意知P(2,1), 设A,B, 则kAP==(x1+2),因为x1≠-2,所以kAB=-,直线AB的方程为y-=·(x-x1),联立x2=4y. 因为x≠x1,得(x+x1)(x1+2)+16=0,即+(x+2)x1+2x+16=0,因为Δ=(x+2)2-4(2x+16)≥0,即x2-4x-60≥0,故x≥10或x≤-6, 经检验,当x=-6时,不满足题意. 综上,x2<6或x2≥10.所以点B的横坐标的取值范围是(-∞,-6)∪[10,+∞). 题型(二)　定点与定值问题 [例2]　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合,且其离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M,N两点,线段MN的中点为P,求证:kMN·kOP(O为坐标原点)为定值. 解:(1)∵抛物线y2=4x的焦点为(1,0), ∴椭圆C的半焦距为c=1, 又e==,得a=2,b==. ∴椭圆C的方程为+=1. (2)证明:由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0), 联立 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. Δ>0,即m2<4k2+3, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,∴P,∴kOP==-.∴kMN·kOP=-为定值. |思|维|建|模| 　　解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量,探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等),体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用. 　　[针对训练] 2.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),四点M1,M2(3,),M3,M4中恰有三点在C上. (1)求C的方程; (2)过点(3,0)的直线l交C于P,Q两点,过点P作直线x=1的垂线,垂足为A.证明:直线AQ过定点. 解:(1)由题意可知点M3,M4两点关于原点对称,所以M3,M4一定在双曲线上,而M1,因为6>4,但<,所以点M1不在双曲线上, 所以点M2,M3,M4在双曲线上, 则解得a2=3,b2=1, 所以双曲线方程为-y2=1. (2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则A(1,y1), 当y1=y2时,直线l:y=0,易知直线AQ:y=0. 当y1≠y2时,设直线PQ的方程为x=my+3(m≠±),代入双曲线方程可得(m2-3)y2+6my+6=0,则y1+y2=,y1y2=, 所以直线AQ的方程为y-y1=(x-1),即y-y1=(x-1), 令y=0,则x=+1=, 由y1+y2=,y1y2=,得my1y2==-(y1+y2), 所以x===2, 综上,直线AQ过定点(2,0). 题型(三)　探索性问题 [例3]　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),直线l在x轴上方与x轴平行,交双曲线C于A,B两点,直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时,点A的坐标为(6,4). (1)求C的方程; (2)设OD的中点为M,是否存在定直线l,使得经过M的直线与C交于P,Q,与线段AB交于点N,=λ,=λ均成立.若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)由已知C:-=1(a>0,b>0),点A的坐标为(6,4),得c=4,焦点F1(0,4),F2(0,-4),2a=AF2-AF1= -6=4. 所以a=2,b2=c2-a2=12,故C的方程为-=1. (2)设l的方程为y=2m(m>1),则D(0,2m),故M(0,m),由已知得直线PQ斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+m(k≠0),故N. 直线PQ的方程与双曲线方程联立得(3k2-1)x2+6kmx+3m2-12=0, 由已知得3k2≠1,Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则x1+x2=-,x1x2=①. 由=λ,=λ,得x1=λ,x2=λ, 消去λ得x2=x1, 即2x1x2-(x1+x2)=0②. 由①②得k(m2-2)=0,由已知m=, 故存在定直线l:y=2满足条件. |思|维|建|模| (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素存在;否则不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 　　[针对训练] 3.已知椭圆方程为+=1(a>b>0),过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)对于D(-1,0),是否存在实数k,使得直线y=kx+2分别交椭圆于点P,Q,且DP=DQ,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)因为过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为,所以=tan,即=, 过点A(-a,0),B(0,b)的直线方程为y=(x+a), 故原点到该直线的距离为=,解得a=,故b=1,所以椭圆的方程是+y2=1. (2)记P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx+2代入+y2=1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0, 则Δ=144k2-36(3k2+1)>0,解得k>1或k<-1, 设PQ的中点为M,则xM==-,yM=kxM+2=. 由DP=DQ,得DM⊥PQ,所以kDM===-, 所以3k2-4k+1=0,得k=1或k=, 由于k>1或k<-1,故k=1,k=均不能使方程有两个相异实根,故满足条件的k不存在. [课时检测] 1.[多选]已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆上两点A,B关于原点对称,点P(异于A,B两点)为椭圆上的动点,则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2的周长为12 B.椭圆的离心率为 C.PF2的最大值为3+2 D.若直线PA,PB的斜率都存在,则kPA·kPB=- 解析:选BCD　由椭圆方程+y2=1可知,a2=9,b2=1,所以a=3,b=1,c==2,由椭圆定义知,△PF1F2的周长等于PF1+PF2+F1F2=2a+2c=6+4,故A错误;椭圆的离心率e==,故B正确;由椭圆的几何性质可知,PF2的最大值为a+c=3+2,故C正确;设P(x0,y0),A(x1,y1),则B(-x1,-y1),所以kPA·kPB=·=,由点P,A在椭圆上可得两式相减可得+-=0,化简可得=-,即kPA·kPB=-,故D正确. 2.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点,过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B,则 (　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,PQ= C.当PB=2时,PA⊥AB D.满足PA=PB的点P有且仅有2个 解析:选ABD　由题意抛物线y2=4x的准线为x=-1,☉A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l和☉A相切,A正确; P,A,B三点共线时,即PA⊥l,则P的纵坐标yP=4,由=4xP,得xP=4,故P(4,4), 此时切线长PQ===,B正确; 当PB=2时,xP=1,此时=4xP=4,故P(1,2)或P(1,-2), 当点P的坐标为(1,2)时,A(0,4),B(-1,2),kPA==-2,kAB==2,不满足kPAkAB=-1; 当点P的坐标为(1,-2)时,A(0,4),B(-1,-2),kPA==-6,kAB==6,不满足kPAkAB=-1; 于是PA⊥AB不成立,C错误; D选项,法一　因为抛物线的焦点F(1,0),PB=PF,所以PA=PB等价于点P在线段AF的中垂线上,易得该中垂线的方程为y=x+.与抛物线方程联立,得消去y整理得4x2-196x+225=0, Δ=(-196)2-4×4×225>0, 所以满足PA=PB的点P有且仅有2个. 法二:设点直接求解 设P,由PB⊥l可得B(-1,t),又A(0,4),PA=PB,根据两点间的距离公式,=+1,整理得t2-16t+30=0,Δ=162-4×30=136>0,则关于t的方程有两个解, 即存在两个这样的P点,D正确.故选ABD. 3.(15分)若椭圆E:+=1(a>b>0)过抛物线x2=4y的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点. (1)求椭圆E的方程;(5分) (2)不过原点O的直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点,求△ABO面积的最大值以及此时直线l的方程.(10分) 解:(1)抛物线x2=4y的焦点为(0,1),所以b=1, 因为双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(-,0),(,0),所以a2-b2=2,则a2=3,所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立可得4x2+6mx+3m2-3=0, 因为直线l:y=x+m与椭圆E交于A,B两点, 所以Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得m2<4, 由根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=,由弦长公式可得AB=·=·,点O到直线l的距离为d=, 所以S△OAB=·d·AB=××|m|××=×≤ , 当且仅当m2=2,即m=±时取得等号, 所以△ABO面积的最大值为,此时直线l的方程为y=x±. 4.(15分)在平面直角坐标系Oxy中,抛物线y2=2px(p>0)上一点P的横坐标为4,且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线的方程;(5分) (2)若直线l:x=my+t交抛物线于A,B两点(位于对称轴异侧),且·=,求证:直线l必过定点.(10分) 解:(1)由题可知,点P到抛物线准线的距离为5, 因为抛物线的准线方程为x=-,点P的横坐标为4,所以4+=5,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. (2)证明:设A,B,且y1y2<0, 联立消去x可得y2-4my-4t=0, 则Δ=16m2+16t>0,且y1+y2=4m,y1y2=-4t<0,即t>0,所以x1x2=·==t2. 由·=,得x1x2+y1y2=,即t2-4t=,解得t=-(舍去)或t=,故直线l的方程为x=my+,所以直线l必过定点. 5(15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1). (1)求抛物线C的方程;(3分) (2)O为坐标原点,A,B为抛物线C上异于原点O的不同两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,若k1k2=-2,求证:直线AB过定点.(12分) 解:(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,1),所以1=2p,解得p=, 所以抛物线C的方程为y2=x. (2)证明:设点A,B的坐标分别为(,y1),(,y2), 所以k1==,k2==, 所以k1k2==-2,即y1y2=-. 当直线AB的斜率不存在时,y1=-y2,直线AB的方程为x=; 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0), 联立消去x整理,得ky2-y+m=0, 故y1y2==-,得k=-2m, 则直线AB的方程为y=-2mx+m, 可化为y=-2m,所以直线过点. 综上,直线AB过定点. 6.(15分)(2024·上海高考)已知双曲线Γ:x2-=1(b>0),左、右顶点分别为A1,A2,过点M(-2,0)的直线交双曲线Γ于P,Q两点. (1)若Γ的离心率为2,求b;(3分) (2)若b=,△MA2P为等腰三角形,且点P在第一象限,求点P的坐标;(4分) (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于点R,若·=1,求b的取值范围.(8分) 解:(1)由双曲线的方程知a=1. 因为c=,离心率为2,所以==2,解得b=.所以b的值为. (2)当b=时, 双曲线Γ:x2-=1,且A2(1,0). 因为点P在第一象限,所以∠PA2M为钝角. 又△MA2P为等腰三角形, 所以A2P=A2M=3. 设点P(x0,y0),且x0>0,y0>0, 则解得 所以P(2,2). (3)由双曲线的方程知A1(-1,0),A2(1,0),且由题意知Q,R关于原点对称. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则R(-x2,-y2). 设直线PQ的方程为x=my-2. 联立直线PQ与双曲线的方程消去x,得(b2m2-1)y2-4b2my+3b2=0,且b2m2-1≠0,即m2≠. 由根与系数的关系,得y1+y2=,y1y2=. 因为=(-x2+1,-y2),=(x1-1,y1), 所以·=(-x2+1)(x1-1)-y1y2=1, 即(x2-1)(x1-1)+y1y2=(my2-3)(my1-3)+y1y2=-1, 整理,得(m2+1)y1y2-3m(y1+y2)+10=(m2+1)·-3m·+10=0, 即b2m2+3b2-10=0,所以b2=∈. 又m2≠,所以b2≠=,得b2≠3,所以b2∈(0,3)∪.又b>0, 故b的取值范围是(0,)∪. 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$