3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

3.1.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆中a,b,c的几何意义. 2.能根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形. 　　椭圆的几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴,对称中心(中心)为原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 轴长 短轴长B1B2=2b,长轴长A1A2=2a 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 F1F2=2c 离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的离心率,用e表示,即e=. (2)性质:离心率e的范围是(0,1).当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆 |微|点|助|解| (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c. (4)对于椭圆上的点P,当点P从长轴端点向短轴端点移动时,∠F1PF2逐渐增大,当点P在短轴端点时,∠F1PF2最大. (5)通径长为. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a. (　　) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1. (　　) (3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则MF的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). (　　) 答案:(1)×　(2)×　 (3)√ 2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 (　　) A.(-6,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,) 解析:选D　椭圆6x2+y2=6的标准方程为+x2=1,易知椭圆焦点在y轴上,且a2=6,a=,所以椭圆的长轴端点坐标为(0,-),(0,). 3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e,则e的值为 (　　) A. B.2 C. D. 解析:选C　由题意得椭圆长半轴长a=1,短半轴长b=,所以半焦距c==,所以离心率e===,故选C. 4.下列四个椭圆中,形状最扁的是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选A　由e=,根据选项中的椭圆的方程,可得的值满足<<<,因为椭圆的离心率越大,椭圆的形状越扁,所以这四个椭圆中,椭圆+=1的离心率最大,故其形状最扁. 题型(一)　由椭圆的方程研究其几何性质 [例1]　求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆. 解:根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4, 所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6, 离心率e==,焦点为F1(-4,0),F2(4,0), 顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3). 将方程变形为y=± , 根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示): x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆. |思|维|建|模| 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). (3)求出a,b,c. (4)写出椭圆的几何性质. 　　[针对训练] 1.[多选]已知点(3,2)在椭圆+=1上,则下列各点一定在该椭圆上的是 (　　) A.(-3,-2) B.(3,-2) C.(-3,2) D.(2,3) 解析:选ABC　由椭圆关于x轴、y轴、原点对称可知,只有点(2,3)不在椭圆上.故选ABC. 2.[多选]已知椭圆C1:+=1与椭圆C2:+=1,则 (　　) A.C1与C2的长轴长相等 B.C2的焦距是C1的焦距的2倍 C.C1与C2的离心率相等 D.C1与C2有公共点 解析:选CD　由题意,知椭圆C1:+=1的长轴长为4,椭圆C2:+=1的长轴长为4,故A错误;椭圆C1的焦距为2,椭圆C2的焦距为4,故B错误;椭圆C1的离心率为,椭圆C2的离心率为,故C正确;由C1:+=1和C2:+=1联立,可得交点为(2,0),(-2,0),故D正确.故选CD. 题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在x轴上,长轴长是10,离心率是; (2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6. 解:(1)焦点在x轴上,故设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由已知得,2a=10,a=5,e==,故c=4, 故b2=a2-c2=25-16=9, 故椭圆的方程是+=1. (2)设椭圆的标准方程为+=1,a>b>0, ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6,如图所示, ∴△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为+=1. |思|维|建|模| 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 　　[针对训练] 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0); (2)离心率e=,焦距为12. 解:(1)若焦点在x轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意得解得 故所求椭圆的标准方程为+y2=1. 若焦点在y轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0),由题意得解得故所求椭圆的标准方程为+=1. 综上所述,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. (2)由e==,2c=12,得a=10,c=6,所以b2=a2-c2=64.当焦点在x轴上时,所求椭圆的标准方程为+=1;当焦点在y轴上时,所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. 题型(三)　椭圆的离心率 [例3]　已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=,则椭圆的离心率为　　　　.  解析:由题意可知PF1=PF2===a,F1F2=2c.在△PF1F2中,由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cos∠F1PF2,化简得4c2=a2,则e2=,所以e=. 答案: 　　[变式拓展] 1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”,求椭圆的离心率. 解:因为∠F1PF2为直角,所以△F1PF2为等腰直角三角形,所以b=c,所以a===c,所以离心率为e===. 2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点,且cos∠F1PF2=”变为“点P为椭圆的上顶点,点Q在椭圆上且满足=3”,求椭圆的离心率. 解:由题意P(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.设Q(x0,y0),由=3,得(c,b)=3(x0-c,y0),即代入椭圆方程得+=1,解得离心率e=. 　　|思|维|建|模| 求椭圆的离心率的值或取值范围的两种方法 直接法 若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解 方程法或 不等式法 若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围 　　[针对训练] 4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b, 整理得b2=3c2.又b2=a2-c2,所以=,即e2=,解得e=或e=-(舍去). 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0,b)和左焦点(-c,0),b>0,c>0,则直线l的方程为bx-cy+bc=0,由已知得=×2b,所以=×2b,即=,所以e=. 法三　如图,由题意,得在椭圆中,OF=c,OB=b,OD=×2b=b,BF=a.在Rt△FOB中,OF×OB=BF×OD,即c×b=a×b,解得=,所以椭圆的离心率e=. 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与椭圆C交于M,N两点,若=3且∠F1NF2=∠F1F2N,则椭圆C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为∠F1NF2=∠F1F2N,所以F1N=F1F2=2c.又因为F1N+F2N=2a,所以F2N=2a-F1N=2a-2c.又因为=3,所以MN=3F2M,所以F2M=F2N=a-c.又F1M+F2M=2a,所以F1M=a+c,F2M=a-c,F2N=a+c,所以2a=3(a-c),所以椭圆C的离心率为e==.故选D. [课时检测] 1.[多选]已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 (　　) A.长轴长为 　B.焦距为 C.焦点坐标为 　D.离心率为 解析:选CD　由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1,所以a=,b=,c=,所以长轴长2a=1,焦距2c=,焦点坐标为,离心率e==. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由e2=e1,得=3.因此=3×.因为a>1,所以a=. 3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9,k≠0),则两椭圆必定 (　　) A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距 C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率 解析:选B　因为k<9,k≠0,所以25-k>9-k>0,所以椭圆+=1(k<9,k≠0)中a2=25-k≠25,b2=9-k≠9,故A、C错误;椭圆+=1(k<9,k≠0)的c2=a2-b2=25-k-(9-k)=16,椭圆+=1的c2=25-9=16,故两椭圆c相等,所以有相等的焦距,故B正确;离心率e=,两椭圆a不相等,c相等,显然离心率不一样,故D错误. 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图,不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△BOF2中,OF2=c,BF2=a,∠OF2B=60°,∴cos 60°==,即椭圆的离心率e=. 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选B　因为M(1,0)为线段OB的中点, 且B(b,0),所以b=2,又椭圆C的离心率e=, 所以===,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为+=1. 6.如图,把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,F是左焦点,则P1F+P2F+…+P9F= (　　) A.16 B.18 C.20 D.22 解析:选B　因为把椭圆+=1的长轴AB分成10等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P9,设椭圆的右焦点为F',且a2=4,可得a=2,由椭圆的定义及椭圆的对称性,可得P1F=P9F',P2F=P8F',P3F=P7F',…,所以P1F+P2F+…+P9F=(P9F'+P9F)+(P8F'+P8F)+…+(P5F'+P5F)=9a=18. 7.[多选]如图,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1的交点依次为A,B,C,D.则下列说法正确的是 (　　) A.四边形ABCD为正方形 B.阴影部分的面积大于3 C.阴影部分的面积小于4 D.四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=2 解析:选ABC　由题意,椭圆C1:+y2=1和C2:+x2=1,根据曲线的对称性,可得四边形ABCD为正方形,A正确;联立方程组,求得A,所以正方形ABCD的面积为S1=3,所以阴影部分的面积大于3,B正确;由直线x=±1,y=±1围成的正方形的面积为S2=4,所以阴影部分的面积小于4,C正确;由OA2=,所以四边形ABCD的外接圆方程为x2+y2=,D错误. 8.(5分)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为　　　　.  解析:∵椭圆的一个焦点坐标为(0,1),∴m2-1-m=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1,由于+=1表示的是椭圆,则m>1,∴m=2,则椭圆方程为+=1,∴a=,2a=2. 答案:2 9.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,C的面积为8π,且离心率为,则C的标准方程为　　　　　　　.  解析:设C的标准方程为+=1(a>b>0), 则解得 所以C的标准方程为+=1. 答案:+=1 10.(5分)在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为　　　　 cm.  解析:设小椭圆的长半轴长为a,a>0,依题意,e===,则=,解得a=10,所以小椭圆的长轴长为2a=20 cm. 答案:20 11.(10分)已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,O为坐标原点. (1)若P为椭圆的上顶点,且PF1⊥PF2,△F1PF2的面积等于4,求椭圆的标准方程;(5分) (2)若△POF2为等边三角形,求椭圆C的离心率.(5分) 解:(1)由题意可得PF1=PF2=a,因为PF1⊥PF2,所以P+P=2a2=4c2,所以=PF1·PF2==4,所以a2=8,所以b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1. (2)法一　若△POF2为等边三角形,则P的坐标为,代入方程+=1,可得+=1,解得e2=4±2,又0<e<1,所以e=-1. 法二　由△POF2为等边三角形,所以OF1=OF2=OP,所以PF1⊥PF2,由∠OF2P=,F1F2=2c,所以PF1=c,PF2=c,所以PF1+PF2=2a=(+1)c,所以e=-1. 12.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长与短轴长的和为6,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点. (1)求椭圆C的方程;(5分) (2)设P为椭圆C上一点,M(1,0).若λ=,求实数λ的取值范围.(10分) 解:(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,得=,解得a=2b. 由长轴长与短轴长的和为6,得2a+2b=6,则a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)设P(x,y),由(1)知,y2=1-,x∈[-2,2],而PF1+PF2=2a=4, 因此λ== ==, 由x∈[-2,2],得+∈, 则≤λ≤,所以实数λ的取值范围为. 13.(15分)(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程;(5分) (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴.(10分) 解:(1)法一:直接法　 由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1. 法二　由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1. 法三:巧用椭圆的定义　设F'为C的左焦点,连接MF',则MF=,FF'=2, 在Rt△MFF'中, MF'===. 由椭圆的定义知2a=MF'+MF=4,2c=FF'=2, 所以a=2,c=1. 又a2=b2+c2,所以b=, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)证明:分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时,AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n), 联立方程 消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0, 则y1+y2=,y1y2=. 因为N为线段FP的中点,F(1,0),所以N. 由N,Q,B三点共线,得kBN=kNQ,即=,得-y2=n,解得n=. 所以n-y1=-y1=-y1===0, 所以n=y1,所以AQ⊥y轴. 综上,AQ⊥y轴. 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$