3.1.1 第1课时 椭圆的定义及其标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

　圆锥曲线与方程 3.1　椭　圆 3.1.1　椭圆的标准方程 第1课时　椭圆的定义及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解并掌握椭圆的定义.　　 2.掌握椭圆的标准方程的推导. 3.会求简单的椭圆的标准方程.　 4.能用定义法、直接法、代入法求与椭圆有关的轨迹问题. 1.椭圆的定义 定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆 焦点 两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距 |微|点|助|解| 1.对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1,F2是指不重合的两点,当F1与F2重合时,相应点的集合是圆. 2.对定义中限制条件“常数(大于F1F2)”的理解 条件 结论 常数大于F1F2 动点的轨迹是椭圆 常数等于F1F2 动点的轨迹是线段F1F2 常数小于F1F2 动点不存在,因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 焦距 2c a,b,c的 关系 a2=b2+c2 |微|点|助|解| (1)椭圆标准方程中“标准”的含义: 椭圆放置在平面直角坐标系的“标准状况下”的方程,即:①焦点F1,F2在坐标轴上;②线段F1F2的中点是坐标原点. (2)标准方程的结构特征: 标准方程右边是1,左边是与的和,并且分母不相等. (3)判断焦点位置的方法: 标准方程中含x2项的分母较大⇔焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大⇔焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足PF1+PF2=4,则点P的轨迹是椭圆. (　　) (2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足PF1+PF2=2,则点P的轨迹是椭圆. (　　) (3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足PF1+PF2=1,则点P的轨迹是椭圆. (　　) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4,焦距为2,则C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选D　由题设,知可得则b2=a2-c2=3,∴C的方程为+=1. 3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为 (　　) A. B. C.(-∞,-3) D.(2,+∞) 解析:选A　由题意可得0<3+m<2-m,解得-3<m<-,所以m的取值范围为. 题型(一)　椭圆的定义 [例1]　平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:MA+MB为定值,q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么p是q的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　当MA+MB为定值时,若定值大于AB时,点M轨迹是椭圆,若定值等于AB,点M轨迹是线段,若定值小于AB,则轨迹不存在;当点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆时,MA+MB必为定值.所以p⇒/ q,但q⇒p,故p为q的必要且不充分条件. |思|维|建|模| 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义; (2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). 　　[针对训练] 1.[多选]设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足PF1+PF2=a+(a>0),则点P的轨迹可能是 (　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 解析:选BC　易知a+≥6,故选BC. 2.已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当PF1=4时,PF2=8.求Q在运动过程中,QF1·QF2的最大值. 解:由题意QF1+QF2=PF1+PF2=4+8=12,由基本不等式QF1·QF2≤==36,当且仅当QF1=QF2=6时,等号成立,故QF1·QF2的最大值为36. 题型(二)　椭圆的标准方程 方法1　定义法求椭圆的标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26; (2)一个焦点坐标为(0,2),且椭圆经过点(-, ). 解:(1)由题意2a=26,a=13,又c=5,所以b= ==12, 椭圆标准方程为+=1. (2)由题意椭圆另一焦点为(0,-2). 2a=+=+=-++=4,a=2,c=2,所以b==2,焦点在y轴上,椭圆标准方程为+=1. |思|维|建|模| 　　定义法就是根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程. 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程 [例3]　(1)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程; (2)求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程. 解:(1)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程,得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9).又椭圆过点(3,),将x=3,y=代入方程得+=1,解得λ=11或λ=-21(舍去).故所求椭圆的标准方程为+=1. |思|维|建|模| 1.待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2)设方程:设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时,可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B). (3)寻关系:根据条件列出关于a,b,c(或A,B)的方程组. (4)得方程:解方程组,将所求得的相应值代入所设方程即可. 2.与一个椭圆共焦点的椭圆方程的设法 与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2). 　　[针对训练] 3.求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),经过点(0,4); (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=; (3)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且经过点; (4)椭圆中c=b,且a+b=6; (5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,). 解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得c=3, 将(0,4)代入到方程+=1中得b=4,故a===5, 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得2a=8,即a=4,所以b===,所以椭圆的标准方程为+=1. (3)易知c=2,焦点在y轴上,可设椭圆的标准方程为+=1,将代入标准方程解得b2=6,则椭圆的标准方程为+=1. (4)因为c=b,a2-b2=c2,解得a=2b, 又因为a+b=6,所以b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1或+=1. (5)由题意,椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1,知焦点F1(0,2),F2(0,-2), 设所求椭圆方程为+=1(λ>0), 将x=2,y=代入,得+=1,解得λ=8或λ=-2(舍去). ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 题型(三)　与椭圆有关的轨迹问题 [例4]　已知平面内B,C是两个定点,BC=8,△ABC的周长为18,以BC中点为坐标原点,以BC所在直线为x轴,求出△ABC顶点A的轨迹方程. 解:根据椭圆定义,平面上到两个定点的距离之和为定值,且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆,BC=8,2c=8,c=4以及2a=18-8=10,a=5,则有a2=25,c2=16,那么b2=a2-c2=9,且A,B,C三点构成三角形,那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). 　　[变式拓展] 本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB,AC的斜率分别为kAB,kAC,且kAB·kAC=-”.其他条件不变,△ABC顶点A的轨迹方程如何求解. 解:设点A(x,y),B坐标为(-4,0),C坐标为(4,0),则有kAB=,kAC=,且kAB·kAC=-,那么·=- ,化简可得=- ,-16y2=9x2-9×16,9x2+16y2=9×16,且A,B,C三点构成三角形,那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). |思|维|建|模| 　　与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有:直接法、定义法和代入法. 1.定义法 如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程,这种求轨迹方程的方法称为定义法. 2.代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点P(x,y)与另一个已知曲线C:F(x,y)=0上的动点Q(x1,y1)存在着某种联系,可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来,然后代入已知曲线C的方程F(x,y)=0,化简即得所求轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫作代入法(也称相关点法). 　　[针对训练] 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 解析:选A　法一　设点M(x,y),则P'(x,0),因为M为PP'的中点,所以P(x,2y),又P在曲线x2+y2=16(y>0)上,所以x2+4y2=16(y>0),即+=1(y>0),即点M的轨迹方程为+=1(y>0). 法二　因为P在曲线C上,不妨取P(0,4),则P'(0,0),所以中点M(0,2).因为点M满足轨迹方程,代入选项,只有A符合. 5.如图,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程. 解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上, 从而有CQ=MQ+CM. 又点M在线段AQ的垂直平分线上,则MA=MQ, 故MA+MC=CQ=5>AC=2. 又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1, 故a=,b2=a2-c2=-1=. 故点M的轨迹方程为+=1. [课时检测] 1.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆+=1上,则椭圆的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+=1 解析:选B　由题意得解得m2=9,n2=4.所以椭圆的标准方程为+=1. 2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为 (　　) A.5 B.3 C. D. 解析:选D　根据题意知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1,则有4-m2=1,解得m=±.又m>0,则m=. 3.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 (　　) A. B. C.(1,+∞) D.(0,1) 解析:选B　将椭圆方程变形为+=1,因为焦点在y轴上,所以>>0,解得<m<1.故选B. 4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为 (　　) A. B. C.1 D. 解析:选B　在椭圆+=1中,a2=4,b2=3,则c==1,所以椭圆的右焦点为F(1,0).所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x-y=0的距离为d==. 5.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6;丁:C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题,则该命题是 (　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选A　当甲、乙为真命题时,椭圆方程为+=1,椭圆的焦距为2c=2=2,且焦点在y轴上,此时丙和丁都是假命题,不符合题意,因此甲和乙有一个是假命题.当乙、丙和丁是真命题时,b==3,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此时椭圆方程为+=1,符合题意,故甲是假命题. 6.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为 (　　) A.± B.± C.± D.± 解析:选D　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴+=1,即y2=,则点P的纵坐标为±,故点M的纵坐标为±. 7.中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为 (　　) A.8 B.2 C.4 D.4 解析:选C　由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为+=1(a>b>0),易知2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,所以c==2,因此焦距2c=4.故选C. 8.已知点F是椭圆C:+=1的左焦点,点P为C上一点,A,则PA+PF的最小值为 (　　) A. B. C.4 D. 解析:选D　设椭圆C:+=1的右焦点为F'(2,0).由A,得AF'=.根据椭圆的定义可得PF+PF'=2a=6,所以PA+PF=PA+6-PF'≥6-AF'=6-=. 9.(5分)椭圆+=1的焦距是　　　　,焦点坐标是　　　　.  解析:由椭圆方程知,椭圆焦点在x轴上,且a2=100,b2=36,所以c2=a2-b2=64,解得c=8,所以焦距2c=16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0). 答案:16　(-8,0),(8,0) 10.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若AF2+BF2=14,则AB=　　　　.  解析:因为a=6,AF1+AF2=2a,BF1+BF2=2a,两式相加得AF2+BF2+AB=4a=24.又AF2+BF2=14,所以AB=10. 答案:10 11.(5分)已知△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-,则顶点A的轨迹方程是　　　　　　　.  解析:设顶点A的坐标为(x,y),因为A,B,C是△ABC的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,因此x≠0,由题意得·=-,化简整理,得+=1(x≠0),所以顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0). 答案:+=1(x≠0) 12.(5分)已知椭圆+y2=1,点P是椭圆上的动点,定点A的坐标为(2,0),则PA的最小值为　　　　.  解析:令P(x,y)且-3≤x≤3,则PA=,而y2=1-,故PA==,所以当x=时,PAmin=. 答案: 13.(5分)椭圆+y2=1上有动点P,点F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则△PF1F2的重心M的轨迹方程为　　　　.  解析:设点P,M的坐标分别为(x1,y1),(x,y), ∵在已知椭圆的方程中,a=3,b=1, ∴c==2,则已知椭圆的两焦点为F1(-2,0),F2(2,0). ∵△PF1F2存在,∴y1≠0.由三角形重心坐标公式有即 ∵y1≠0,∴y≠0. ∵点P在椭圆上,∴+=1, ∴+(3y)2=1(y≠0), 故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2+=1(y≠0). 答案:x2+=1(y≠0) 14.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)b=1,c=,焦点在y轴上;(2分) (2)a=10,c=6;(2分) (3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点;(2分) (4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2,-).(4分) 解:(1)因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16, 因为椭圆焦点在y轴上,所以其标准方程为+x2=1. (2)因为a=10,c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64,因为椭圆焦点位置不确定,所以其标准方程为+=1或+=1. (3)由题意得P,Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=2,所以椭圆的标准方程为+=1. (4)设椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,且焦点在x轴上, 因为c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0), 故设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由题意得解得或 (舍去). 所以椭圆的标准方程为+=1. 15.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0,y0),且x0<0,y0=2. (1)求x0的值;(3分) (2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(7分) 解:(1)由题意知点M(x0,2)在椭圆+=1上,则+=1,解得=9,又x0<0,∴x0=-3. (2)易知椭圆+=1的焦点在x轴上,且c2=9-4=5,故可设所求椭圆的方程为+=1(a2>5).由(1)可知点M的坐标为(-3,2),将其代入所设方程,得+=1(a2>5),解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1. 16.(15分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程;(5分) (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.(10分) 解:(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0), 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0), 则化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,故椭圆M的标准方程为+y2=1. (2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,解得y0=±. 又+=1,所以=,x0=±, 所以点P有4个,它们的坐标分别为,,,. 85 / 134 学科网（北京）股份有限公司 $$