阶段质量评价 第2章 圆与方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

[阶段质量评价] (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:选A　直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为12+(1-1)2<5, 则点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交,故选A. 2.已知某圆拱桥拱高5米,水面跨度为30米,则这座圆拱桥所在圆的半径为 (　　) A.20米 B.25米 C.24米 D.23米 解析:选B　如图,拱高CD=5,水面宽为AB=30,设圆的半径为r, 依题意得r2=152+(r-5)2,解得r=25.故选B. 3.已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2,2),则△ABC的外接圆的方程是 (　　) A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5 C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5 解析:选D　因为点A是直角三角形ABC的直角顶点,所以BC2=AB2+AC2,即(2a+6)2+(2-a)2=(2a+4)2+(2-a)2+4,解得a=-2,即A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),则△ABC的外接圆的圆心为点(-3,0),半径为BC=,所以△ABC的外接圆的方程是(x+3)2+y2=5,故选D. 4.已知A,B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点,P为弦AB的中点,若∠ACB=90°,则点P的轨迹方程为 (　　) A.(x-1)2+(y-2)2= B.(x-1)2+(y-2)2=1 C.(x+1)2+(y+2)2= D.(x+1)2+(y+2)2=1 解析:选B　圆C即(x-1)2+(y-2)2=2,半径r=,因为CA⊥CB,所以AB=r=2.又P是AB的中点,所以CP=AB=1,所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,故选B. 5.已知圆C:x2+y2=3,从点A(-2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是 (　　) A.∪ B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 解析:选D　设过点A(-2,0)与圆C:x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2), 则圆心(0,0)到直线的距离为=,解得k=±,所以切线方程为y=±(x+2). 由A点向圆C引2条切线,只要点B在切线之外,那么就不会被遮挡, B在x=2的直线上,在y=±(x+2)中,取x=2,得y=±4,从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,需a>4或a<-4,所以a的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞),故选D. 6.若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　令=k,可得出kx-y+3-2k=0,将圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为点(1,1),半径为1, 则直线kx-y+3-2k=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1有公共点,可得≤1, 整理可得3-4k≤0,解得k≥.因此的取值范围为.故选C. 7.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得∠APB=,则实数x0的取值范围是 (　　) A.[-3,1] B.[-1,3] C.[-2,3] D.[-2,4] 解析:选B　圆C:(x-1)2+(y-2)2=2,圆心C(1,2),半径r=,如图所示, 由图可知,当PA和PB与圆C相切时,∠APB最大,要使圆C上存在两点A,B, 使得∠APB=,则∠APC≥,∴PC≤=2,即≤2,解得-1≤x0≤3,故选B. 8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点Q,P的距离之比=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P且λ=2,若点B(1,1),则2MP+MB的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设Q(a,0),M(x,y), 所以MQ=. 又P,所以MP=. 因为=λ且λ=2,所以=2. 整理可得x2+y2+x=. 又动点M的轨迹是x2+y2=1, 所以解得a=-2. 所以Q(-2,0).又MQ=2MP, 所以2MP+MB=MQ+MB.因为B(1,1), 所以2MP+MB的最小值为 BQ==. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),圆M被x轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是 (　　) A.圆M的圆心在定直线x-y-2=0上 B.圆M的面积的最大值为50π C.圆M的半径的最小值为1 D.满足条件的所有圆M的半径之积为10 解析:选ABD　因为圆M与直线x+y+2=0相切于点A(0,-2),所以直线AM与直线x+y+2=0垂直,即点M落在直线x-y-2=0上,所以选项A正确;设点M的坐标为(a,a-2),则圆M的半径r=|a|,圆M的方程为(x-a)2+(y-a+2)2=2a2.令y=0,则(x-a)2+(-a+2)2=2a2,即x2-2ax-4a+4=0.因为圆M被x轴所截得的弦长为2,所以=2,解得a=-5或a=1,故圆M的面积的最大值为50π,圆M半径的最小值为,满足条件的所有圆M的半径之积为5×=10,所以选项B、D正确,选项C错误. 10.圆O1:x2+y2-4y=0和圆O2:x2+y2-6x-4y+4=0的交点为A,B,点M在圆O1上,点N在圆O2上,则 (　　) A.直线AB的方程为x= B.线段AB的中垂线方程为y=2 C.AB= D.点M与点N之间的距离的最大值为8 解析:选ABD　将两圆的方程作差,可得x=,即直线AB的方程为x=,故A正确.圆O1:x2+(y-2)2=4,圆O2:(x-3)2+(y-2)2=9,圆O1的圆心为O1(0,2),半径r1=2,圆O2的圆心为O2(3,2),半径r2=3,线段AB的中垂线经过O1和O2的圆心,故线段AB的中垂线方程为y=2,故B正确.圆O1的圆心O1到直线x=的距离为,故AB=2=,故C错误.点M与点N之间的距离的最大值为r1+r2+O1O2=8,故D正确.故选ABD. 11.已知圆C:(x-2)2+y2=4和直线l:x-y+2=0,点P在直线l上运动,直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则下列说法正确的是 (　　) A.切线长PA的最小值为2 B.四边形PACB面积的最小值为4 C.当PA最小时,弦AB所在的直线方程为x-y+1=0 D.弦AB所在的直线必过定点 解析:选BD　对于A,圆C:(x-2)2+y2=4的圆心为C(2,0),半径为2, 由题意可得PA⊥AC,PB⊥BC,所以PA==,(PC)min==2,所以(PA)min= =2,故A错误; 对于B,S四边形PACB=2S△PAC=PA·AC=2PA≥4,所以四边形PACB面积的最小值为4,故B正确;对于C,当PA最小时,PC⊥l,则直线PC的斜率为-1, 又PC⊥AB,所以直线AB的斜率为1,PC的直线方程为y-0=-(x-2),即x+y-2=0, 由解得即P(0,2).因为当PA最小时,PA=AC=2,所以△APC为等腰直角三角形,所以PC中点即为AB中点,因为PC的中点为(1,1),所以弦AB的中点为(1,1),所以弦AB所在的直线方程为y-1=x-1,即x-y=0,故C错误; 对于D,设P(t,t+2),则以PC为直径的圆的方程为(x-2)(x-t)+y[y-(t+2)]=0, 展开得x2-(2+t)x+2t+y2-(t+2)y=0①,圆C的方程为x2-4x+4+y2=4,即x2-4x+y2=0②,①-②得弦AB所在直线方程为(2-t)x-(t+2)y+2t=0,即t(2-x-y)+2x-2y=0,令解得所以弦AB所在的直线必过定点(1,1),故D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)设A为圆C:(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且PA=1,则PC=　　　　　　.  解析:如图所示, 由图知PA⊥AC, 又PA=1,R=1, 所以PC==. 答案: 13.(5分)直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若AB=2,则圆C的面积为　　　.  解析:圆C:x2+y2-2ay-2=0化为标准方程为x2+(y-a)2=a2+2, 所以圆心C(0,a),半径r=, 因为AB=2,点C到直线y=x+2a,即x-y+2a=0的距离d==,由勾股定理得+=a2+2,解得a2=2, 所以r=2,所以圆C的面积为π×22=4π. 答案:4π 14.(5分)已知直线l与圆x2+y2-4y=0相交于A,B两点,且线段AB的中点P坐标为(-1,1),则直线l的方程为　　　　　.  解析:因为圆x2+y2-4y=0的圆心为C(0,2),又点P坐标为(-1,1),所以直线CP的斜率为kCP==1. 又因为AB是圆的一条弦,P为AB的中点, 所以AB⊥CP,故kAB=-1,即直线l的斜率为-1,因此,直线l的方程为y-1=-(x+1),即x+y=0. 答案:x+y=0 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0与圆C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)判断圆C1与圆C2的位置关系;(7分) (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程.(6分) 解:(1)圆C1:(x-1)2+(y-3)2=11,圆心为点(1,3),半径r1=, 圆C2:(x-5)2+(y-6)2=16,圆心为点(5,6),半径r2=4,圆心距d==5, 因为4-<5<+4,所以两圆相交. (2)两圆相减,x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,化简为4x+3y-23=0, 所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0. 16.(15分)已知圆E经过点A(0,0),B(1,1),且恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分. (1)求圆E的方程;(6分) (2)过点P(3,0)的直线l与圆E相交于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.(9分) 解:(1)由直线方程mx-y-m=0可知,y=m(x-1),故直线mx-y-m=0恒过点(1,0),因为圆E恒被直线mx-y-m=0平分, 所以圆E的圆心为点(1,0),因为A(0,0)在圆上,故圆E的半径r=1, 所以圆E的方程为(x-1)2+y2=1. (2)因为M为AB中点,E为圆心,根据垂径定理,得EM⊥AB, 所以点M落在以EP为直径的圆上,且点M在圆E的内部, 即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧. 因为E(1,0),P(3,0), 所以以EP为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=1, 由⇒x=,所以M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1. 17.(15分)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,C1,C2分别为两圆的圆心. (1)求圆C1和圆C2的公共弦长;(6分) (2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.(9分) 解:(1)两圆的方程相减,得公共弦所在直线的方程为2x+y+1=0,圆C1:(x+1)2+y2=1,圆心C1(-1,0),半径为1,则圆心C1(-1,0)到公共弦所在直线的距离为=,则圆C1和圆C2的公共弦长为2=. (2)易知圆C2:(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为C2(1,1),半径为2,当直线l的斜率不存在时,方程为x=-1,此时直线l与圆C2相切,不符合题意.设直线l的方程为y=k(x+1),则圆心C2(1,1)到直线l的距离为==,所以k=1或k=,所以直线l的方程为x-y+1=0或x-7y+1=0. 18.(17分)已知O为原点,直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q两点. (1)若PQ=,求m的值;(7分) (2)若OP⊥OQ,求圆的面积.(10分) 解:(1)圆x2+y2+x-6y+m=0的圆心为, 半径r=,其中m<,圆心到直线x+2y-3=0的距离d==,PQ=2=2=,解得m=. (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立消去x得5y2-20y+12+m=0,Δ=400-20(12+m)>0, 则y1+y2=4,y1y2=, 又x1=-2y1+3,x2=-2y2+3, 因为OP⊥OQ,所以·=x1x2+y1y2=0, 即(-2y1+3)(-2y2+3)+y1y2=0, 即9-6(y1+y2)+5y1y2=0. 所以9-6×4+5×=0,解得m=3.满足Δ>0.此时圆的半径r==, 所以圆的面积为π×=π. 19.(17分)已知动点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为,动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程,并说明其形状;(5分) (2)过直线x=3上的动点P(3,p)(p≠0)分别作C的两条切线PQ,PR(Q,R为切点),N为弦QR的中点,直线l:3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F,求△NEF的面积S的取值范围.(12分) 解:(1)设M(x,y),由=, 得=. 化简得x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4. 故曲线C是以点(-1,0)为圆心,2为半径的圆. (2)由(1)知C(-1,0),又P(3,p)(p≠0), 则线段CP中点的坐标为, CP=, 故以线段CP为直径的圆的方程为(x-1)2+=, 整理得x2+y2-2x-py-3=0①. 由题意知,Q,R在以CP为直径的圆上, 又Q,R在圆x2+y2+2x-3=0②上, 由②-①,得4x+py=0, 所以弦QR所在直线的方程为4x+py=0,可得QR恒过坐标原点O(0,0). 由得(16+p2)y2-8py-48=0. 设Q(x1,y1),R(x2,y2),则y1+y2=, 所以点N的纵坐标yN==. 因为p≠0,所以yN≠0,所以点N与点C(-1,0),O(0,0)均不重合. 因为N为弦QR的中点,且C(-1,0)为圆C的圆心,所以CN⊥QR,即CN⊥ON. 所以点N在以OC为直径的圆上. 该圆的圆心为G,半径为. 因为直线3x+4y=6分别与x轴、y轴交于点E,F, 所以E(2,0),F,因此EF=, 圆心G到直线3x+4y=6的距离d==. 设△NEF的边EF上的高为h, 则点N到直线3x+4y=6的距离h的最小值为d-r=-=1; 点N到直线3x+4y=6的距离h的最大值为d+r=+=2. 所以S的最小值Smin=××1=, 最大值Smax=××2=. 因此△NEF的面积S的取值范围是. 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$