2.1 第2课时 圆的一般方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

第2课时　圆的一般方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解圆的一般方程及其特点,能进行圆的一般方程与标准方程的互化. 2.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单轨迹问题. 1.圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.圆心为点,半径为. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 方程 条件 图形 x2+y2+Dx+Ey+F=0 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以点为圆心,为半径的圆 | 微|点|助|解| 1.圆的一般方程形式上的特点 (1)x2,y2的系数均为1; (2)没有xy项; (3)D2+E2-4F>0. 2.在圆的一般方程中,系数D,E,F没有明显的几何意义,但配方后却有着明确的几何意义,点表示圆心,表示半径. 3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　) (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程. (　　) (3)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则E≠0. (　　) (4)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心坐标和半径分别是 (　　) A.(-1,2),3 B.(1,-2),3 C.(-1,2),1 D.(1,-2),1 解析:选A　将圆x2+y2+2x-4y-4=0化为标准方程得(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为点(-1,2),半径为3. 3.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-2) B.(-2,2) C.[-2,2] D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:选D　法一:配方法　将x2+y2+mx-2y+3=0化为圆的标准方程为+(y-1)2=-2.由该方程表示圆可得-2>0,解得m<-2或m>2. 法二:判别式法　由圆的一般方程表示圆的条件得m2+(-2)2-4×3>0,即m2-8>0,解得m<-2或m>2. 题型(一)　圆的一般方程的概念 [例1]　已知方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)若圆的直径为6,求t的值. 解:(1)由题意,方程x2+y2+(t+1)x+ty+t2-2=0表示圆, 则满足D2+E2-4F=(t+1)2+t2-4(t2-2)=2t+9>0,解得t>-, 即t的取值范围为. (2)由圆的直径为6,可得r===3,解得t=. |思|维|建|模| 　　方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后,观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解,即通过判断D2+E2-4F是否为正,确定它是否表示圆. [提醒]　在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时,务必注意x2及y2的系数. 　　[针对训练] 1.若方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0表示的曲线是圆,则实数k的取值范围是 (　　) A.(-6,+∞) B.[-6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,6) 解析:选D　由方程x2+y2+2kx-4y+k2+k-2=0可得(x+k)2+(y-2)2=6-k,所以当r=>0时表示圆,解得k<6. 2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圆心在y轴上的圆,当半径最小时,方程为 (　　) A.x2+=1 B.x2+(y-1)2=2 C.x2+= D.x2+= 解析:选D　由题意得a=0,则x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,x2+=1+b2+,则r2=1+b2+=b2-b+,对称轴为b=,代入得最小值为,此时圆的方程为x2+=. 题型(二)　求圆的一般方程 [例2]　已知圆M经过点A(2,-2),B(-4,6),C(4,2).求圆M的方程. 解:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把A(2,-2),B(-4,6),C(4,2)三个点代入得解得 所以圆M的方程为x2+y2+2x-4y-20=0, 即(x+1)2+(y-2)2=25. |思|维|建|模| 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). (2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组. (3)解此方程组,求出D,E,F的值. (4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程. 　　[针对训练] 3.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为 (　　) A.x2+y2-6x-6y-16=0 B.x2+y2-2x+2y-8=0 C.x2+y2-6x-6y+8=0 D.x2+y2-2x+2y-56=0 解析:选C　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为点,因为圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,所以解得所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0. 4.已知A(0,0),B(2,0),C(2,-2),H(m,-1)四点共圆,则实数m的值为 (　　) A.±1 B.+1 C.-1 D.1± 解析:选D　设过四点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将A(0,0),B(2,0),C(2,-2)代入可得解得所以圆的方程为x2+y2-2x+2y=0,将H(m,-1)代入圆的方程得m2-2m-1=0,解得m=1±,故选D. 题型(三)　与圆有关的轨迹问题 [例3]　点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程. 解:(1)设线段AP的中点M(x,y), 由中点坐标公式,得点P的坐标为(2x-2,2y). ∵点P在圆x2+y2=4上,∴(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设线段PQ的中点N(x,y),在Rt△PBQ中,PN=BN.设O为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ,∴OP2=ON2+PN2=ON2+BN2,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求过点B的弦的中点T的轨迹方程. 解:设T(x,y).因为点T是弦的中点,所以OT⊥BT. 当斜率存在时,有kOT·kBT=-1.即·=-1,整理得x2+y2-x-y=0.当x=0或x=1时,点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)也都在圆上.故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0. 2.若本例条件变为从定点A(6,8)向圆x2+y2=16任意引一条割线交圆于P1,P2两点,求弦P1P2的中点P的轨迹. 解:由题意知OP⊥AP,取OA的中点M,则M(3,4),PM=OA==5. 由圆的定义知其轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 所以P的轨迹是以(3,4)为圆心,5为半径的圆. |思|维|建|模| 求与轨迹问题有关的圆的方程 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. 　　[针对训练] 5.两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程. 解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则MA2+MB2=26,即(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得点M的轨迹方程为x2+y2=4. 6.已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程. 解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,∴A为线段MB的中点,由中点坐标公式得∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,得+=2,化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8. [课时检测] 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程,则实数m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　根据题意,得(-1)2+12-4×(-2m)>0,所以m>-. 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为点(-2,3),则D,E分别为 (　　) A.4,-6 B.-4,-6 C.-4,6 D.4,6 解析:选A　圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为点,又已知该圆的圆心为点(-2,3),∴-=-2,-=3,∴D=4,E=-6. 3.[多选]已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说法正确的是 (　　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 解析:选ABC　x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5,即圆心为点(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是圆心,故A正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,直线x+3y-2=0过圆心,直线x-y+2=0不过圆心,故B、C正确,D错误. 4.圆心在射线y=x(x≤0)上,半径为5,且经过坐标原点的圆的方程为 (　　) A.x2+y2-8x-6y=0 B.x2+y2-6x-8y=0 C.x2+y2+8x+6y=0 D.x2+y2+6x+8y=0 解析:选C　因为圆心在射线y=x(x≤0)上,故设圆心为点(a≤0),又半径为5,且经过坐标原点,所以=5,解得a=-4或a=4(舍去),即圆的圆心为点(-4,-3),则圆的方程为(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0. 5.已知圆C上有三个点A(0,),B(2,),C(1,0),则圆C的面积为 (　　) A.π B.π C.π D.π 解析:选A　由题意,设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∴解得D=-2,E=-,F=1,故圆的一般方程为x2+y2-2x-y+1=0⇔(x-1)2+=,故圆的半径r=,圆的面积S=πr2=π. 6.在平面几何中,将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.如线段的最小覆盖圆就是以该线段为直径的圆,锐角三角形的最小覆盖圆就是该三角形的外接圆.若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),则△ABC的最小覆盖圆的半径为 (　　) A. B.2 C. D.3 解析:选C　∵A(-2,0),B(2,0),C(0,4),∴△ABC为锐角三角形,∴△ABC的外接圆就是它的最小覆盖圆,设△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得∴△ABC的最小覆盖圆方程为x2+y2-3y-4=0,即x2+=,∴△ABC的最小覆盖圆的半径为. 7.由曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为 (　　) A.π+2 B.π+4 C. D.π 解析:选A　当x>0,y>0时,曲线为+=,当x>0>y时,曲线为+=, 当x<0,y<0时,曲线为+=,当x<0<y时,曲线为+=,同时点(0,0),(±1,0),(0,±1)均在曲线上,如图所示,所以围成的图形是由4个半径均为的半圆与1个边长为的正方形组成,故图形面积为4××π×+()2=π+2.故选A. 8.在平面直角坐标系中,圆E与两坐标轴交于A,B,C,D四点,其中A(-2,0),B(0,-3),点C在x轴正半轴上,点D在y轴的正半轴上,圆E的内接四边形ABCD的面积为,则圆E的方程为 (　　) A.x2+y2+x+y=2 B.x2+y2-x+y=6 C.x2+y2-4x-y=12 D.x2+y2+x+2y=3 解析:选B　设C(c,0),D(0,d)(c>0,d>0),则S四边形ABCD=(c+2)(d+3)=.又因为OA·OC=2c=OB·OD=3d,解得c=3,d=2(舍负),因此圆心E,r2=,圆E的方程为+=,即x2+y2-x+y=6,故B正确. 9.(5分)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:易知解得-2<k<. 答案: 10.(5分)已知圆C:x2+y2+2x+my+4=0关于直线x+2y-3=0对称,则圆心C的坐标为　　　　.  解析:由已知得4+m2-16>0,解得m>2或m<-2,圆C:(x+1)2+=-3,圆心为,若圆C关于直线x+2y-3=0对称,则-1-×2-3=0,解得m=-4,所以圆心C的坐标为(-1,2). 答案:(-1,2) 11.(5分)已知点M到两个定点A(1,0),B(4,0)的距离比为,则点M的轨迹方程为　　　　　　　.  解析:设M(x,y),则MA=,MB=.故==,两边平方并化简得x2+y2=4.所以点M的轨迹方程为x2+y2=4. 答案:x2+y2=4 12.(5分)已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是　　　　.  解析:由于直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),即a2+b(b-2)-3=0,即a2+(b-1)2=4,故P(a,b)在以点(0,1)为圆心,2为半径的圆上,由于02+(0-1)2<4,即原点在该圆内,故OP∈[1,3],则原点到点P(a,b)的距离可以是2. 答案:2(答案不唯一) 13.(10分)已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆. (1)求实数m的取值范围;(5分) (2)求圆的周长的最大值.(5分) 解:(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4,若方程表示一个圆,则-m2+3m+4>0,解得-1<m<4,即实数m的取值范围是(-1,4). (2)圆的半径r==≤,当且仅当m=时,半径r取得最大值,所以圆的周长的最大值为5π. 14.(10分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,1),B(-4,0),C(4,-4). (1)求△ABC外接圆O1的方程;(5分) (2)判断点M1(3,-1),M2(2,-3)是否在这个圆上.(5分) 解:(1)设△ABC外接圆O1的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 由已知可得方程组 解得 则圆O1的方程为x2+y2+2x+8y-8=0. (2)圆O1的标准方程可化为(x+1)2+(y+4)2=25.把点M1(3,-1)的坐标代入圆O1的方程,得(3+1)2+(-1+4)2=25, 即点M1的坐标满足圆O1的方程,所以点M1在这个圆上,把点M2(2,-3)的坐标代入圆O1的方程得(2+1)2+(-3+4)2=10≠25, 即点M2的坐标不满足圆O1的方程,所以点M2不在这个圆上. 15.(15分)设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作▱MONP,求点P的轨迹方程. 解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为. 因为平行四边形的对角线互相平分, 故=,=,则 即N(x+3,y-4). 又点N在圆x2+y2=4上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 由于O,M,N共线时不能作▱MONP, 又lOM:y=-x, 与圆P方程联立 解得或 因此点P的轨迹为圆,其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和. 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$