2.1 第1课时 圆的标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

　圆与方程 2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　 [课时目标] 1.会根据圆心与半径写圆的标准方程,根据圆的标准方程得圆心与半径. 2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系. 1.圆的标准方程 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.定点就是圆心,定长就是半径 基本要素 确定一个圆的基本要素是圆心和半径 圆的标 准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为C(a,b),半径为r.设所给点为P(x0,y0),C,P两点间的距离为d,则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点P在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点P在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点P在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 |微|点|助|解| (1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2. (2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆. (3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的. (4)圆上的点都满足方程,满足方程的点都在圆上. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (　　) (3)点(0,0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. (　　) (4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0),此时圆的半径一定是a. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　 2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别为 (　　) A.(-1,5), B.(1,-5), C.(-1,5),3 D.(1,-5),3 答案:B 3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12,则点A(1,6)在 (　　) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.不确定 解析:选C　圆心为点(-1,3),半径为=2,因为=>2,所以点A(1,6)在圆外,故选C. 4.已知圆心为(-2,1)的圆过点(0,1),则该圆的标准方程是 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=1 C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1 解析:选A　∵圆过点(0,1),即点(0,1)在圆上,∴该圆的半径为圆心(-2,1)与点(0,1)两点之间的距离r==2,∴该圆的标准方程是(x+2)2+(y-1)2=4. 题型(一)　圆的标准方程 方法1　直接法求圆的标准方程 [例1]　求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心是点(4,0),且过点(2,2); (2)圆心在y轴上,半径为5,且过点(3,-4). 解:(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8,∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+(-4-b)2=52,∴b=0或b=-8,∴圆心为(0,0)或(0,-8).又r=5,∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. |思|维|建|模| 直接法求圆的标准方程的策略 　　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 方法2　待定系数法求圆的标准方程 [例2]　已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),则△ABC外接圆的方程为　　　　　　　　.  解析:设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(0,1),B(2,1),C(3,4), 所以有解得 因此△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 答案:(x-1)2+(y-3)2=5 |思|维|建|模| 待定系数法求圆的标准方程的策略 　　设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,由题目给出的已知条件找到参数a,b,r的关系,列出方程组并求出a,b,r.此方法的计算量较大,应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式,右端是同一常数,两式相减后可简化运算. 方法3　几何性质法求圆的标准方程 [例3]　过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 (　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 解析:选C　法一　由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0),kAB==-1,∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=1,线段AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0),即y=x, 则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点. 由得即圆心为点(1,1), 圆的半径为=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二　设点C为圆心. ∵点C在直线x+y-2=0上,∴可设点C的坐标为(a,2-a). 又∵该圆经过A,B两点,∴CA=CB. ∴ = , 解得a=1. ∴圆心为C(1,1),半径长r=CA=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. |思|维|建|模| 几何法求圆的标准方程的两种思路 (1)根据题意设出圆心坐标、半径,然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值,由此确定圆心坐标和半径; (2)从几何的角度考虑,圆心在圆的弦的垂直平分线上,求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程,与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标,再由两点间距离公式求得半径. 　　[针对训练] 1.已知点A(1,-1)和点B(-1,3),则以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　　) A.(x+2)2+(y-4)2=5 B.(x+2)2+(y-4)2=20 C.x2+(y-1)2=5 D.x2+(y-1)2=20 解析:选C　法一　因为点A(1,-1)和点B(-1,3)为直径端点,所以AB的中点M,即M(0,1)为圆心,由AB==2,则圆的半径r==,故圆的标准方程为x2+(y-1)2=5. 法二　由题意圆的方程可以为(x-1)(x+1)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2-2y-4=0,即x2+(y-1)2=5. 2.已知圆C过点A(1,2)和B(1,10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程. 解:圆心在线段AB的垂直平分线y=6上,设圆心为点(a,6),半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.将点(1,10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2　①.而r=,代入①,得(a-1)2+16=,解得a=3,r=2,或a=-7,r=4.故圆C的方程为(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80. 题型(二)　点与圆的位置关系 [例4]　(1)已知a,b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是 (　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 解析:选A　由题意,得a+b=1,ab=-, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8, ∴点P在圆C内. (2)已知点P(2,1)和圆C:+(y-1)2=1,若点P在圆C上,则实数a=　　　　;若点P在圆C外,则实数a的取值范围为　　　　　　　.  解析:由题意,当点P在圆C上时,由+(1-1)2=1 ,解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时,由+(1-1)2>1,解得a<-6或a>-2. 答案:-2或-6　(-∞,-6)∪(-2,+∞) 　　|思|维|建|模|　判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断 　　 [针对训练] 3.点P(3,m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 (　　) A.在圆内 B.在圆外 C.在圆上 D.不确定 解析:选B　将点P(3,m)代入圆的方程得(3+1)2+m2=16+m2>9,则点在圆外,故选B. 4.若点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,则实数a的取值范围是 (　　) A.(2,4) B.(-∞,2) C.(4,+∞) D.(-∞,2)∪(4,+∞) 解析:选D　因为点A(a,a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部,所以(a-3)2+(a-3)2>2,解得a>4或a<2. 题型(三)　与圆有关的实际问题 [例5]　如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图,该圆弧拱跨度AB为500 m,圆拱的最高点H离水面AB的高度为100 m,桥面CD离水面AB的高度为50 m. (1)建立适当的平面直角坐标系,求圆拱所在圆的方程; (2)求桥面在圆拱内部分CD的长度.(结果精确到0.1 m) 解:(1)设圆拱所在圆的圆心为G,以H为原点,为x轴正方向, AB的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设CD与y轴交于E点,AB与y轴交于F点,连接GA. 设圆的半径为r,则AF=250,GF=r-100,AG=r, 在Rt△AFG中,AF2+GF2=AG2,即2502+(r-100)2=r2,解得r=, 所以G,所以圆拱所在圆的方程为x2+=(y≥-100). (2)由题意得,HE=50,令y=-50,得x2+=, 所以x2=-=×=675×50=33 750, 所以x=±75.所以CD=150≈367.4. 所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4 m. 　　|思|维|建|模|　 解决圆的标准方程的实际应用题的步骤 　　[针对训练] 5.一辆卡车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆卡车的平顶车篷的篷顶距地面的高度不得超过 (　　) A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米 解析:选B　由题意,以圆心作为原点建立如图所示的平面直角坐标系,易知半圆的方程为x2+y2=12.96(y≥0),令x=0.8,解得y≈3.5. [课时检测] 1.以点(2,-1)为圆心,4为半径的圆的标准方程为 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 答案:C 2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是 (　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 解析:选B　∵12+32=10<24,∴点P在圆内. 3.[多选]已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心为点(4,-3) B.圆M的圆心为点(-4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为6 解析:选ACD　由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为点(4,-3),半径为5,则A、C正确;令x=0,得y=0或y=-6,弦长为6,故D正确.故选ACD. 4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则直线l的方程是 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 解析:选D　圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式,得直线l的方程是y-3=x-0,化简得x-y+3=0. 5.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为 (　　) A.+y2= B.+y2= C.+y2= D.+y2= 解析:选C　法一:待定系数法　根据题意,设圆E的圆心为点(a,0)(a>0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0). 由题意得解得 所以圆E的标准方程为+y2=. 法二:几何法　因为圆E经过点A(0,1),B(2,0), 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心为点. 则圆E的半径为EB==, 所以圆E的标准方程为+y2=. 6.[多选]已知圆C经过点A(0,0),B(2,0),△ABC为直角三角形,则圆C的方程为 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5 解析:选BC　设圆心C(a,b),由题意可知,CA=CB,即=,解得a=1.因为△ABC为直角三角形,所以∠ACB为直角,则AC2+BC2=AB2,即a2+b2+(a-2)2+b2=4,解得b=±1,则圆C的半径为CA==,圆心为C(1,±1),因此,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2,故选BC. 7.[多选]设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是 (　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 解析:选AB　由题意可知圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心C(k,k),半径r=2.不论k如何变化,圆心C(k,k)始终在直线y=x上,故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,整理得2k2-6k+5=0,因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0,可知方程无解,所以所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;令(2-k)2+(2-k)2=4,整理得k2-4k+2=0,因为Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,可知方程有两个不同的解,所以经过点(2,2)的圆Ck有且只有两个,故C错误;因为半径r=2,所以所有圆的面积均为π×22=4π,故D错误. 8.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=8,直线l:mx+y-m-3=0,若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a,最小值为b,则a+b= (　　) A.4+2 B.4+ C.2+2 D.2+ 解析:选A　由题意知,直线l可化为m(x-1)+y-3=0,则直线过定点A(1,3),将点A(1,3)代入圆C:(x-3)2+(y-4)2=8可得(1-3)2+(3-4)2<8,所以点A在圆C内.又圆C半径r=2,圆心C(3,4),AC==, 所以当AC⊥l时,直线l被圆C截得的弦长最短,即b=2=2; 当l过圆心C时,直线l被圆C截得的弦长最长,即a=2r=4,所以a+b=4+2. 9.(5分)与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心,且过点P(-1,1)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  解析:因为已知圆的圆心为点(2,-3),所以所求圆的圆心为点(2,-3),所以所求圆的半径为=5,所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 答案:(x-2)2+(y+3)2=25 10.(5分)若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部,则a的取值范围为　　　　　　.  解析:∵点P在圆外,∴(5a+1-1)2+(12a)2>1,169a2>1,a2>,∴a>或a<-. 答案:∪ 11.(5分)如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门,已知该门的最高点到地面的距离为4米,门在地面处的宽度为4米.现将其截面图放置在平面直角坐标系xOy中,以地面所在的直线为x轴,过圆心的竖直直线为y轴,则门的轮廓所在圆的方程为　　　　　　　　　.  解析:设该圆的半径为r,如图,由题意知OD=4-r,BD=r,OB=2,由勾股定理得BD2=OD2+OB2,即r2=(4-r)2+4,解得r=.∴OD=4-r=,即圆的圆心为点,则圆的方程为x2+=. 答案:x2+= 12.(5分)对于勾股定理的证明,我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法,如后汉时期的赵爽、三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形,其中△OAB为直角三角形,分别以OA,OB,AB为边长作3个正方形,通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积,从而可以证明勾股定理.若OA=3,OB=4,以AB中点为圆心作圆,使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外,则满足题意的一个圆的标准方程为　　　　　　　　　.  解析:如图,点A(3,0),B(0,4),C,M(-4,4),N(-4,0),P(3,-3),Q(0,-3), CA=CB=,CE=CF=,CP=CQ=,CM=CN=, 线段AB的中点C到三个正方形顶点的距离最大为,其次为, 所以以AB中点为圆心作圆,使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外的圆的方程为 +(y-2)2=r2,≤r<,取r=4,得该圆的一个标准方程为+(y-2)2=32. 答案:+(y-2)2=32 13.(10分)根据下列条件,分别求相应圆的方程. (1)圆心为C,半径r=;(3分) (2)圆心为C(,1),过点A(-1,);(3分) (3)与x轴相交于A(1,0),B(5,0)两点,且半径等于.(4分) 解:(1)将圆心和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为+(y-3)2=3. (2)易知圆的半径为r=AC==,所以圆的方程为(x-)2+(y-1)2=6. (3)易知圆心在线段AB的垂直平分线上,不妨设圆心为点(3,a),由半径为可得r==,解得a=±1.当圆心为点(3,1)时,圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.当圆心为点(3,-1)时,圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=5.因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5. 14.(10分)如图,已知两点P1(4,9)和P2(6,3),且圆以P1P2为直径. (1)求圆的方程;(5分) (2)试判断点M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外?(5分) 解:(1)设圆心C(a,b),半径r,则由C为P1P2的中点得a==5,b==6.又由两点间的距离公式得r=CP1==, ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. (2)分别计算点到圆心的距离CM==, CN==>,CQ==3<. 因此,点M在圆上,点N在圆外,点Q在圆内. 15.(15分)如图,一座圆拱桥示意图,当水面在如图位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米,当水面下降1米后,水面宽多少米?(精确到0.01米) 解:以圆拱桥拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2). 设圆的半径为r(r>0),则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2　①, 将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100　②. 当水面下降1米后,可设点A'的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A'的坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0=.所以,水面下降1米后,水面宽2x0=2≈14.28米. 16.(15分)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求: (1)周长最小的圆的方程;(6分) (2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.(9分) 解:(1)当AB为直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,即AB中点(0,1)为圆心,半径r=AB=.则圆的方程为x2+(y-1)2=10. (2)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0. 由得即圆心是C(3,2), r=AC==2. ∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 61 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$