阶段质量评价 第1章 直线与方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

[阶段质量评价] (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知直线l1:ax+2y-3=0,l2:3x+(a+1)y-a=0,若l1⊥l2,则a的值为 (　　) A.- B. C.1 D.-2 解析:选A　∵l1⊥l2,显然两直线的斜率存在且都不为0,∴×=-1,解得a=-.故选A. 2.已知直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行,则它们之间的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　因为直线x+2y+3=0与直线2x+my+1=0平行,所以=,可得m=4,所以2x+4y+1=0,即x+2y+=0,所以由两平行直线间距离公式可得d==.故选A. 3.已知直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,则它们的交点坐标为 (　　) A.(-1,-3) B.(-2,-1) C. D.(-1,-2) 解析:选B　由直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0互相垂直,可得2k+2=0,即k=-1, 所以直线kx+2y=0的方程为x-2y=0. 由⇒得它们的交点坐标为(-2,-1).故选B. 4.直线l与直线y=1,直线x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率是 (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　设P(a,1),Q(b,b-7),由线段PQ的中点坐标为(1,-1)可得 解得所以P(-2,1),Q(4,-3),所以直线l的斜率k==-,故选C. 5.若直线l的斜率k的取值范围是[-1,],则它的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.{α|0°≤α≤60°} B.{α|135°≤α<180°} C.{α|60°≤α<135°} D.{α|0°≤α≤60°或135°≤α<180°} 解析: 选D　当k=时,α=60°;当k=-1时,α=135°.如图,易知-1≤k≤时,0°≤α≤60°或135°≤α<180°,故选D. 6.设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则a的取值范围是 (　　) A.∪ B. C. D.∪ 解析:选B　直线ax+y+2=0过定点P(0,-2),可得直线PA的斜率kPA=-,直线PB的斜率kPB=.若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点,则-<-a<,解得-<a<,故选B. 7.若直线l1:y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称,那么直线l2恒过定点 (　　) A.(2,0) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-2,0) 解析:选C　∵l1:kx=x+y-2,由得l1恒过定点(0,2),记为点P,∴与l1关于直线y=x+1对称的直线l2也必恒过一定点,记为点Q,且点P和Q也关于直线y=x+1对称.设Q(m,n),则⇒即Q(1,1),∴直线l2恒过定点(1,1),故选C. 8.点P(1,-2)到直线l:(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为 (　　) A.,3x-4y-11=0 B.5,3x-4y+14=0 C.,4x+3y-11=0 D.5,4x+3y-14=0 解析:选B　将直线l:(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0(λ∈R)变形得3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,由解得因此直线l过定点A(-2,2).当AP⊥l时,点P(1,-2)到直线l的距离最大, 最大值为AP==5,又直线AP的斜率kAP==-,所以直线l的方程为y-2=(x+2),即3x-4y+14=0. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形,下列结论正确的有 (　　) A.kAB=- B.kBC=- C.△ABC是以A为直角顶点的直角三角形 D.△ABC是以B为直角顶点的直角三角形 解析:选AC　因为A(-1,1),B(2,-1),所以kAB==-,所以A正确;因为B(2,-1),C(1,4),所以kBC==-5≠-,所以B错误; 因为kAB=-,kAC==,所以kAB·kAC=-×=-1, 所以AB⊥AC,所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形,所以C正确; 因为kAB=-,kBC=-5,所以kAB·kBC≠-1,所以D错误. 10.关于直线l:ax+y+a=0,以下说法正确的是 (　　) A.直线l过定点(-1,0) B.a>0时,直线l过第二、三、四象限 C.a<0时,直线l不过第一象限 D.原点到直线l的距离的最大值为1 解析:选ABD　由题意得l:a(x+1)+y=0过定点M(-1,0),A正确; 当a>0时,y=-a(x+1)过定点M(-1,0),斜率为负,故过第二、三、四象限,B正确; 当a<0时,y=-a(x+1)过定点M(-1,0),且斜率为正,过第一、二、三象限,C错误; 要使原点O到直线l的距离最大,只需OM⊥l,即最大距离为OM=1,D正确. 11.已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,以下结论错误的是 (　　) A.无论a为何值,l1与l2都互相平行 B.无论a为何值,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0) C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.若l1与l2交于点M,则MO的最大值是 解析:选AC　因为a×1+(-1)×a=0,故无论a为何值,l1与l2都相互垂直,故A错误; 直线l1:ax-y+1=0,无论a取何值,x=0,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1);直线l2:x+ay+1=0,无论a取何值,y=0,x=-1恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确; 在l1上任取一点(x,ax+1),关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x),代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0恒成立,故C不正确; 联立解得 即M,所以MO==≤(当a=0时取等号),所以MO的最大值是,故D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)设直线l的方程是ax+3y-2=0,其倾斜角为α,若α∈∪,则a的取值范围为　　　　.  解析:由ax+3y-2=0得y=-x+, 所以tan α=-. 因为α∈∪, 所以tan α>或tan α<-1. 又tan α=-,所以->或-<-1. 所以a<-或a>3. 答案:(-∞,-)∪(3,+∞) 13.(5分)已知△ABC的顶点A(4,3),AB边上的高所在直线方程为x-y-3=0,D为AC中点,且BD所在直线方程为3x+y-7=0,那么顶点B的坐标是　　　　;直线BC的方程为　　　　　　　　　　　　.  解析:由A(4,3)及AB边上的高所在直线为x-y-3=0,设AB所在直线方程为y=-x+b, 由A(4,3)可得b=7, 所以AB所在直线方程为x+y-7=0. 又BD所在直线方程为3x+y-7=0, 由得B(0,7).设C(m,n),又A(4,3),D为AC的中点,则D, 由已知得 得C,所以kBC==-19, 所以直线BC的方程为y=-19x+7,即19x+y-7=0. 答案:(0,7)　19x+y-7=0 14.(5分)已知点A(-3,1),点M,N分别是x轴和直线2x+y-5=0上的两个动点,则AM+MN的最小值等于　　　　.  解析:如图,作点A(-3,1)关于x轴的对称点A'(-3,-1),则AM+MN=A'M+MN, 最小值即为A'(-3,-1)到直线2x+y-5=0的距离,d==,所以AM+MN的最小值为. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行;(9分) (2)当l1⊥l2时,求a的值.(4分) 解:(1)法一　当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), l1∥l2⇔解得a=-1. 综上可知,当a=-1时,l1∥l2. 法二　由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0, 由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0, ∴l1∥l2⇔⇔可得a=-1,故当a=-1时,l1∥l2. (2)由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0, 可得a=. 16.(15分)已知两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2(0<k1<k2),设l1,l2的夹角(锐角)为θ. (1)求证:tan θ=;(7分) (2)求直线2x-y+1=0与直线x-3y-3=0的夹角θ.(8分) 解:(1)证明:令α,β分别为直线l1,l2的倾斜角且0<α<β<,则k1=tan α,k2=tan β且β-α=θ,所以tan θ=tan (β-α)==. (2)因为直线2x-y+1=0的斜率为k1=2,直线x-3y-3=0的斜率k2=, 所以根据(1)的结论得tan θ==1,且0<θ<,故θ=. 17.(15分)如图,已知四边形ABCD的四条边所在直线的方程分别为l1:6x+8y-3=0,l2:2x-4y-1=0,l3:6x+8y+7=0,l4:x-2y-2=0. (1)证明:四边形ABCD是平行四边形;(7分) (2)求四边形ABCD的面积.(8分) 解:(1)证明:将l1和l3的方程化为截距式方程,得l1:y=-x+,l3:y=-x-, ∵l1和l3的斜率相等且截距不等, ∴l1∥l3,BC∥AD, 同理可得AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. (2)由得∴B. 同理可得A, ∴AB==. 又直线AB与DC间的距离d==,∴四边形ABCD的面积S=AB·d=. 18.(17分)已知直线l1经过A(3,4),B(0,-5)两点,直线l1,l2关于直线l0:y=x对称. (1)求直线l2的方程;(8分) (2)直线l2上是否存在点P,使点P到点F(1,0)的距离等于到直线l:x=-1的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.(9分) 解:(1)直线l1的斜率k==3,则直线l1的方程为y+5=3x,即3x-y-5=0. 设点M(x,y)为直线l2上任意一点, 则点M(x,y)关于l0:y=x的对称点M'(y,x)在直线l1上,即3y-x-5=0, 所以直线l2的方程为x-3y+5=0. (2)假设存在符合条件的点P,使点P到点F(1,0)的距离等于到直线l:x=-1的距离. 设点P(x,y),则=|x+1|, 所以点P在y2=4x的图象上. 又因为点P在直线l2上, 由解得或 所以存在符合条件的点P,其坐标为(1,2)或(25,10). 19.(17分)设直线l的方程为(a+1)x+y-5-2a=0(a∈R). (1)求证:不论a为何值,直线l必过定点P;(3分) (2)若直线l分别与x轴正半轴,y轴正半轴交于点A(xA,0),B(0,yB),当△AOB面积最小时,求△AOB的周长及此时的直线方程;(9分) (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线l的方程.(5分) 解:(1)证明:将(a+1)x+y-5-2a=0整理成(x-2)a+x+y-5=0, 令解得x=2,y=3,所以定点P为(2,3).故不论a为何值,直线l必过定点P(2,3). (2)由题意知,xA=>0,yB=5+2a>0,解得a>-1, 所以△AOB的面积S==··(5+2a)=· =·=≥=12,当且仅当4(a+1)=,即a=时,等号成立. 所以当a=时,△AOB的面积最小,此时A(4,0),B(0,6),AB==2, 所以△AOB的周长为4+6+2=10+2,直线方程为+=1,即3x+2y-12=0. 故当△AOB面积最小时,△AOB的周长为10+2,此时直线方程为3x+2y-12=0. (3)因为直线l在两坐标轴上的截距均为正整数,所以不妨设5+2a=k(a+1),k∈N*,则a=,又a也为正整数,所以>0,即2<k<5,所以k=3或k=4. 当k=3时,a=2,此时A(3,0),B(0,9),所以直线l的方程为+=1,即3x+y-9=0; 当k=4时,a=,不符合题意,舍去. 综上所述,直线l的方程为3x+y-9=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$