第1章 直线与方程 专题微课 对称问题及应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

专题微课　对称问题及应用 　　直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础,是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用,在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对此部分内容没有系统编排,本课时对其进行了适当的归纳总结. 题型(一)　几类常见的对称问题 [例1]　已知直线l:y=3x+3,求: (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标; (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程; (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程. 解:(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x',y'),则线段PP'的中点在直线l上,且直线PP'垂直于直线l,即解得 所以点P'的坐标为(-2,7). (2)解方程组得则点在所求直线上.在直线y=x-2上任取一点M(2,0), 设点M关于直线l的对称点为M'(x0,y0), 则解得 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=,化简得7x+y+22=0,即为所求直线的方程. (3)在直线l上取两点E(0,3),F(-1,0), 则E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E'(6,1),F'(7,4).因为点E',F'在所求直线上,所以由两点式得所求直线方程为=,即3x-y-17=0. 　　|思|维|建|模| 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称的主要求解方法 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称的主要求解方法 ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; ②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则可得(其中B≠0,x1≠x2). (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. 　　[针对训练] 1.点(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标是 (　　) A.(-1,-4) B.(3,-2) C.(0,4) D.(-1,6) 解析:选B　设点P(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为Q(a,b), 可得-2×-2=0①, 斜率×=-1②. 由①②解得a=3,b=-2.则点P(1,2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为(3,-2). 2.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线方程为 (　　) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 解析:选B　设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1,1)对称的直线上任意一点P(x,y),则P(x,y)关于A(1,1)对称点为(2-x,2-y),又因为(2-x,2-y)在4x+3y-2=0上,所以4(2-x)+3(2-y)-2=0,即4x+3y-12=0. 3.若直线y=ax+2与y=3x-6关于直线y=x对称,则实数a=　　　.  解析:直线y=3x-6过点(0,-6),点(0,-6)关于直线y=x对称点为(-6,0),依题意可知点(-6,0)在直线y=ax+2上,所以-6a+2=0,解得a=. 答案: 题型(二)　光的反射问题 [例2]　已知光线从点A(-2,4)射出,经直线l:2x-y-7=0反射,反射光线过点B(5,8).求: (1)反射光线所在直线的方程; (2)光线从点A到点B经过的路程. 解:(1)设点A关于l的对称点为A'(x0,y0), 则解得 即A'(10,-2).∴反射光线所在直线方程为=,即2x+y-18=0. (2)设反射点为P,光线从点A到点B经过的路程为AP+PB=A'P+PB=A'B==5. |思|维|建|模| 利用对称解决光线反射问题的方法 　　根据平面几何知识和光学知识,入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称,即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示,点A,B分别为入射光线、反射光线上的点,点A,B关于l的对称点分别为A',B',则点A'在反射光线所在的直线上,点B'在入射光线所在的直线上,于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程. 　　[针对训练] 4.如图,已知点A(2,0),B(0,2),从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是 (　　) A.3　　　　　　 B. C.3 D.2 解析:选B　依题意,直线AB的方程为x+y=2,设P关于直线AB的对称点为Q(a,b),则解得即Q(2,1).又P关于y轴的对称点为T(-1,0),QT==,光线所经过的路程即△PMN的周长,而△PMN的周长为MP+MN+NP=MQ+MN+NT=QT=,所以光线所经过的路程是.故选B. 题型(三)　利用对称解决距离的最值问题 [例3]　已知平面上两点A(4,1)和B(0,4),在直线l:3x-y-1=0上求一点M. (1)使|MA-MB|最大; (2)使MA+MB最小. 解:(1)若C(m,n)为B关于直线l的对称点,则BC中点在直线l上,所以 解得即C(3,3),由MB=MC,则|MA-MB|=|MA-MC|≤AC,要使|MA-MB|最大,只需A,C,M共线, |MA-MB|max=AC=. (2)如图,要使MA+MB最小,只需A,B,M共线,所以(MA+MB)min=AB=5. |思|维|建|模| 利用对称性求距离的最值问题 　　由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差的绝对值小于第三边)可知,要解决在直线l上求一点,使这点到两定点A,B的距离之差最大的问题,若这两点A,B位于直线l的同侧,则只需求出直线AB的方程,再求它与已知直线的交点,即得所求的点的坐标;若A,B两点位于直线l的异侧,则先求A,B两点中某一点,如A关于直线l的对称点A',得直线A'B的方程,再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P,使P到平面上两点A,B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 　　[针对训练] 5.已知点R在直线x-y+1=0上,M(1,3),N(3,-1),则|RM-RN|的最大值为 (　　) A. B. C. D.2 解析:选C　设点M(1,3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x0,y0),则 解得∴M'(2,2),又N(3,-1), ∴|RM-RN|=|RM'-RN|≤M'N=. 6.已知实数x,y满足x+y+1=0,则+的最小值为 (　　) A. B.2 C. D.2 解析:选D　+表示直线x+y+1=0上一动点P(x,y) 到定点A(1,1),B(2,0)的距离之和,如图所示,设点A(1,1)关于直线x+y+1=0的对称点为A'(x0,y0),则解得所以对称点为A'(-2,-2),则A'B==2,由图知+的最小值为2,故选D. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是 (　　) A.(-1,-3) B.(17,-9) C.(-1,3) D.(-17,9) 解析:选A　设点(3,9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a,b),则由解得所以该点的坐标是(-1,-3). 2.直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是 (　　) A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 解析:选D　设对称的直线方程上的一点的坐标为(x,y),则其关于点(-1,2)对称的点的坐标为(-2-x,4-y),因为点(-2-x,4-y)在直线2x+3y-6=0上,所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0即2x+3y-2=0. 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 (　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 解析:选D　在直线x-2y+1=0上任取两点,不妨取点(1,1),,这两点关于直线x=1对称的点分别为 (1,1),,两对称点所在直线的方程为 y-1=-(x-1),即 x+2y-3=0. 4.已知一条光线从点(4,0)发出被直线x+y-10=0反射,若反射光线过点(0,1),则反射光线所在的直线方程为 (　　) A.x-2y+2=0 B.3x-2y+2=0 C.2x-3y+3=0 D.2x-y+1=0 解析:选A　设点(4,0)关于直线x+y-10=0的对称点为(a,b),则解得因此反射光线所在直线过点(10,6),方程为y=x+1,即x-2y+2=0.故选A. 5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为A(1,1),若将军从山脚下的点B(4,4)处出发,河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0,则“将军饮马”的最短总路程是 (　　) A.3 B. C. D.2 解析:选D　如图,设B(4,4)关于直线x-y+1=0对称的点为C(a,b), 则有 可得即C(3,5),依题意可得“将军饮马”的最短总路程为AC==2. 6.[多选]已知点P(2,3)与直线l:x-y+2=0,下列说法正确的是 (　　) A.过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0 B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 C.点P关于直线l的对称点坐标为(1,4) D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0 解析:选ACD　设所求直线方程为x-y+n=0,则2-3+n=0,解得n=1,所以过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0,故A正确;若截距都为0,即过点P(2,3)且经过坐标原点的直线为y=x,此时直线的斜率k=,但是kl=1,k·kl=≠-1,所以直线y=x与直线l不垂直,故B错误;设点P关于直线l的对称点坐标为(a,b),则解得所以点P关于直线l的对称点坐标为(1,4),故C正确;因为点(-2,0),(0,2)在直线l上,点(-2,0)关于点P(2,3)对称的点为(6,6),点(0,2)关于点P(2,3)对称的点为(4,4),则过(6,6)和(4,4)的直线方程为y-4=(x-4),即x-y=0,所以直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0,故D正确.故选ACD. 7.不论实数a取何值时,直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0都过定点M,则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为 (　　) A.x-2y-6=0 B.x-2y=0 C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0 解析:选D　由(2a-1)x+(-a+3)y-5=0可得a(2x-y)-x+3y-5=0,令解得x=1,y=2,所以M(1,2).设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为2x-y+b=0,则M(1,2)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等,所以=,解得|b|=3,即b=3(舍去)或b=-3.故直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为2x-y-3=0. 8.已知两点A(-4,8),B(2,4),点C在直线y=x+1上,则AC+BC的最小值为 (　　) A.2 B.9 C. D.10 解析:选C　依题意,设B(2,4)关于直线y=x+1的对称点为B'(m,n),∴解得 ∴B'(3,3).连接AB'交直线y=x+1于点C',连接BC',如图,在直线y=x+1上任取点C,连接AC,BC,B'C,显然,直线y=x+1垂直平分线段BB',则有AC+BC=AC+B'C≥AB'=AC'+B'C'=AC'+BC',当且仅当点C与C'重合时取等号,∴(AC+BC)min=AB'==,故AC+BC的最小值为. 9.(5分)将一张坐标纸折叠一次,使点(3,2)与点(1,4)重合,则折痕所在直线的一般式方程为　　　　　.  解析:∵点(3,2)与点(1,4)连线斜率k==-1,∴折痕所在直线斜率k'=1.又点(3,2)与点(1,4)的中点为(2,3),∴折痕所在直线方程为y-3=x-2,即x-y+1=0. 答案:x-y+1=0 10.(5分)已知一条光线从点P(7,5)射入,经x轴反射后沿直线x-ay+3=0射出,则a=　　　　.  解析:点P(7,5)关于x轴对称的点为P'(7,-5),由题意可知,反射光线经过点P'(7,-5),将点P'(7,-5)的坐标代入方程x-ay+3=0,解得a=-2. 答案:-2 11.(5分)已知P为直线l:2x-y+3=0上一点,点P到A(1,0)和B(2,2)的距离之和最小时点P的坐标为　　　　　　.  解析:易知点A,B在直线的同侧,设点A(1,0)关于l的对称点为A'(x0,y0),则解得即A'(-3,2).由题意知,点P为直线A'B与l的交点,直线A'B的方程为y=2,故点P的坐标为. 答案: 12.(10分)已知直线l:x+2y-1=0和点A(1,2). (1)请写出过点A且与直线l平行的直线;(4分) (2)求点A关于直线l的对称点的坐标.(6分) 解:(1)设过点A且与直线l平行的直线为x+2y+C=0(C≠-1),将A(1,2)代入,可得C=-5,所以直线方程为x+2y-5=0. (2)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),由题意可得解得所以点A'的坐标为. 13.(10分)一条光线从点P(6,4)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH的方程;(5分) (2)求△PQH的面积.(5分) 解:(1)如图所示,作点P(6,4)关于x轴的对称点的坐标P'(6,-4), 则反射光线所在的直线过点P'和Q,所以kP'Q==-1, 所以直线P'Q的直线方程为y=-(x-2). 所以反射光线QH的直线方程为y=-x+2,其中x∈(-∞,2]. (2)由(1)知H(0,2),kPQ·kQH=-1,所以PQ⊥QH,所以QH==2,PQ==4, 所以S△PQH=×QH·PQ=×2×4=8. 14.(15分)如图,m,n,l是三条公路,m与n是互相垂直的,它们在O点相交,l与m,n的交点分别是M,N且OM=4,ON=8,工厂A在公路n上,OA=2,工厂B到m,n的距离分别为2,4.货车P在公路l上. (1)要把工厂A,B的物品装上货车P,问:P在什么位置时,搬运工走的路程最少?(8分) (2)求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多?(假设货物一次性搬运完)(7分) 解:(1)以m,n所在直线分别为y,x轴建立平面直角坐标系如图所示,则有A(2,0),B(-2,-4),M(0,4),N(-8,0),故公路l所在的直线方程为x-2y+8=0, 求P在什么位置时,搬运工走的路程最少,即求PA+PB的值最小时P的位置. 设点A关于直线l的对称点为A'(m,n), 则解得 ∴A'(-2,8). 又P为直线l上的一点,则PA+PB=PA'+PB≥A'B,当且仅当B,P,A'三点共线时等号成立,此时PA+PB取得最小值A'B,点P就是直线A'B与直线l的交点. 联立解得∴P(-2,3). (2)求P在什么位置时,B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多,等价于求点P的位置,使|PB-PA|的值最大,A,B两点在直线l的同侧,P是直线l上的点,则|PB-PA|≤AB,当且仅当A,B,P三点共线时等号成立,此时|PB-PA|取得最大值AB,点P即直线l与直线AB的交点. 又∵A(2,0),B(-2,-4),∴直线AB的方程为y=x-2,联立解得∴P(12,10). 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$