1.5 第1课时 距离公式(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.5　平面上的距离 第1课时　距离公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握平面上两点间的距离公式,会用两点间的距离公式解决问题. 2.经历坐标法推导点到直线距离公式,掌握点到直线的距离公式及利用公式解决问题. 3.理解两条平行线间距离公式的推导.会求两条平行直线的距离. 逐点清(一)　两点间的距离公式 [多维理解] 条件 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) 距离公式 P1P2= 特别地 原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离OP= 中点 坐标 公式 线段P1P2的中点M(x0,y0),则x0=,y0= [微点练明] 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点A(0,a),点B(b,0)之间的距离为a-b. (　　) (2)点A(a,0),点B(b,0)之间的距离为a-b. (　　) (3)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1=x2,y1≠y2时,AB=|y2-y1|. (　　) (4)当A,B两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.A(2,1),B(4,2)两点间的距离为 (　　) A.3 B.3 C. D.2 解析:选C　由两点间距离公式得AB==. 3.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且AB=AC,则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选A　由两点间的距离公式及AB=AC可得,=,解得a=-2. 4.已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为 (　　) A.2 B. C.11 D.3 解析:选A　设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得所以D(4,-2),所以AD===2.故选A. 逐点清(二)　点到直线的距离公式 [多维理解] 1.点到直线的距离 定义 点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段的长度 公式 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d=(其中A,B不全为0) |微|点|助|解| (1)利用公式时直线的方程必须是一般式; (2)分子含有绝对值; (3)若直线方程为Ax+By+C=0,则当A=0或B=0时公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可用数形结合求解. 2.点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|; (4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|. [微点练明] 1.点P(-1,1)到直线l:y=-x的距离为 (　　) A. B. C. D.1 解析:选A　点P到直线l:3x+4y=0的距离d==. 2.已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则PQ的最小值为 (　　) A.2 B. C. D. 解析:选B　由题意知PQ的最小值为点P到直线l的距离.即(PQ)min==,故选B. 3.已知点A(1,2),直线l:(λ+2)x+(1-λ)y+2λ+7=0(λ∈R),则点A到l的距离的最大值为 (　　) A.3 B. C.3 D.5 解析:选D　将直线l的方程变形为λ(x-y+2)+2x+y+7=0,由得所以直线l过定点B(-3,-1),当l⊥AB时,点A到l的距离最大,故最大距离为=5.故选D. 4.已知过点P(1,2)的直线l,且点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,求直线l的方程. 解:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,点A(2,3)与点B(0,-5)到x=1的距离为1,符合题意.当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则可设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,由于点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,则=,解得k=4,故直线l的方程为4x-y-2=0,综上所述,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1. 逐点清(三)　两条平行直线间的距离公式 [多维理解] 两条平行直线间的距离 指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 公式 两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=(其中A,B不全为0,且C1≠C2) |微|点|助|解| (1)使用此公式的两个条件:直线方程都为一般式;x,y的系数对应相等. (2)①两条直线都与x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2-x1|; ②两条直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2-y1|. [微点练明] 1.已知直线l1:2x+y-1=0,l2:4x+2y+1=0,则l1,l2间的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　将直线l1方程化为4x+2y-2=0,由平行直线的距离公式得d==. 2.若直线l1:x+ay-2=0与l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,则两条直线之间的距离为 (　　) A. B.1 C. D.2 解析:选C　依题意,由两条直线平行可知2a=a2+1,解得a=1,所以两条直线分别为x+y-2=0,x+y-1=0,可得两条直线之间的距离为=,故选C. 3.与l:x-y+1=0距离为的直线方程为 (　　) A.x-y+1+=0或x-y+1-=0 B.x-y+2=0或x-y=0 C.x-y+2=0或x-y+1-=0 D.x-y+1+=0或x-y=0 解析:选B　依题意,设所求直线方程为x-y+m=0,则两条平行直线间的距离d==,解得m=0或m=2,所以所求直线方程为x-y+2=0或x-y=0. 4.若两条平行直线l1:x-2y+m=0(m>0)与l2:x+ny-3=0之间的距离是,则m+n= (　　) A.0 B.1 C.-2 D.-1 解析:选A　由题意两条直线平行,则=,解得n=-2,又d==,而m>0,所以m=2.所以m+n=0. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知点(x,y)到原点的距离等于1,则实数x,y满足的条件是 (　　) A.x2-y2=1 B.x2+y2=0 C.=1 D.=0 解析:选C　由两点间的距离公式得=1. 2.已知直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则PQ等于 (　　) A.4 B.4 C.2 D.2 解析:选B　∵P(1,1),Q(5,5),∴PQ==4. 3.已知点A(6,0),P在直线y=-x上,AP=3,则P点的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选B　因为点A(6,0)到直线y=-x的距离为=3=AP,所以P点的个数是1. 4.已知点(0,1)到直线mx+3y-2=0的距离是,那么m的值是 (　　) A.4 B.-3 C.4或-3 D.-4或4 解析:选D　由题意,=,解得m=±4. 5.已知点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为 (　　) A.41 B. C. D.39 解析:选B　设M(x,y),由中点坐标公式得=1,=0,解得x=4,y=-5.所以点M(4,-5).则OM==.故选B. 6.已知两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+4=0间的距离为d,则a,d分别为 (　　) A.a=2,d= B.a=2,d= C.a=-2,d= D.a=-2,d= 解析:选B　因为直线2x-y+3=0与直线ax-y+4=0平行,所以-2+a=0,解得a=2,所以两直线分别为2x-y+3=0和2x-y+4=0,所以d==. 7.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),D为BC边的中点,则线段AD的长是 (　　) A.2 B.3 C. D. 解析:选C　由中点坐标公式可得,BC边的中点D.由两点间的距离公式得AD==. 8.已知直线l过原点,若A(1,0),B(0,1)两点到直线l的距离相等,则直线l的方程为 (　　) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x+y=0或x-y=0 D.x+y+1=0或x-y-1=0 解析:选C　依题意,直线l过原点,A(1,0),B(0,1)两点到直线l的距离相等,易知斜率存在,故直线l可设为y=kx,则=,解得k=±1,即直线l的方程为x+y=0或x-y=0. 9.与点M(2,1)之间的距离为2,且在x轴上的截距为4的直线是 (　　) A.x=4 B.3x-4y-12=0 C.x=4或3x-4y-12=0 D.y=4或3x-4y-12=0 解析:选C　x=4与M(2,1)的距离为2,且在x轴上的截距为4,故x=4符合要求;对于直线3x-4y-12=0,有d==2,且当y=0时,x=4,故也符合要求;y=4与M(2,1)的距离为3且与x轴无交点,不符合要求.∴x=4,3x-4y-12=0都是与点M(2,1)距离为2且在x轴上的截距为4的直线.故选C. 10.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则PQ的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行,故PQ的最小值即两条平行直线间的距离,故d==. 11.(5分)已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为,则a=　　　　.  解析:由两平行直线间的距离公式得 d==,即|a+1|=2, ∴a=-3或a=1. 答案:-3或1 12.(5分)已知直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,且l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则l在y轴上的截距为　　　　.  解析:由直线l与m:x-y+c=0(c<0)平行,设直线l的方程为x-y+t=0,因为l,m之间的距离与点A(0,2)到l的距离均为1,则解得所以直线l的方程为x-y=0,即y=x,故直线l在y轴上的截距为0. 答案:0 13.(5分)已知A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当AB取最小值时,实数a的值为　　　　.  解析:∵A(5,2a-1),B(a+1,a-4), ∴AB====,∴当a=时,AB取得最小值. 答案: 14.(5分)已知A(-2,-3),B(2,-1),C(0,2),则△ABC的面积为　　　　.  解析:由A(-2,-3),B(2,-1)可得直线AB方程为=⇒x-2y-4=0,AB==2,点C(0,2)到直线AB的距离为=,所以△ABC的面积为×2×=8. 答案:8 15.(10分)已知直线ax+2y-1=0和x轴,y轴分别交于A,B两点,且线段AB的中点到原点的距离为,求a的值. 解:由题易知a≠0,在直线ax+2y-1=0中,令y=0,有x=,则A,令x=0,有y=,则B,故AB的中点为,∵线段AB的中点到原点的距离为,∴=,解得a=±2.所以a的值为2或-2. 16.(15分)已知直线l1:2x+3y+18=0,l2:2x+3y-8=0,在l1上任取点A,在l2上任取点B,过线段AB的中点作l2的平行线l3. (1)求直线l1与l2之间的距离;(7分) (2)求直线l3的方程.(8分) 解:(1)易知l1与l2平行,所以两平行直线l1与l2间的距离为d==2. (2)由l3与l2平行可知,设l3的方程为2x+3y+C=0(-8<C<18).由题意知l3与l1之间的距离为,所以有=,解得C=5或C=31(舍去),所以直线l3的方程为2x+3y+5=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$