1.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.2.3　直线的一般式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 1.直线的一般式方程 任何一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线.方程Ax+By+C=0(A,B,不全为0)叫作直线的一般式方程,简称一般式. 2.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式方程的关系 |微|点|助|解| (1)直线的一般式方程是关于x,y的二元一次方程,方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数; (2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合; (3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. (　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. (　　) (3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. (　　) (4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.直线x+y+1=0的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设直线的倾斜角为α,则直线斜率k=-=tan α,因为α∈[0,π),则α=,故选B. 3.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图,已知l∥x轴,则直线l的方程可以用下面哪种形式写出 (　　) A.点斜式 B.斜截式 C.截距式 D.一般式 答案:ABD 4.经过点A(8,-2),斜率为-2的直线方程为 (　　) A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0 C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0 答案:C 题型(一)　直线的一般式方程 [例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式. (1)斜率是-,且经过点A(8,-6); (2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3; (3)直线的倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的一半,且过点(-,2). 解:(1)根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8),化简可得x+2y+4=0. (2)根据截距式可得直线方程为+=1,化简可得2x-y-3=0. (3)因为直线y=-x+1的斜率为-,所以直线y=-x+1的倾斜角为120°,所以由题意得所求直线的倾斜角为60°,则斜率k=tan 60°=. 设所求直线为y=x+c,将(-,2)代入可得2=×(-)+c,解得c=5, 所以所求直线方程为y=x+5, 整理得x-y+5=0. |思|维|建|模| 求直线的一般式方程的策略 (1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不全为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式,注意斜截式、截距式的适用条件. (3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断. 　　[针对训练] 1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式. (1)经过点A(8,-2),斜率是-; (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4). 解:(1)由点斜式写出直线方程y=-(x-8)-2=-x+2,其一般式为x+2y-4=0. (2)由点斜式写出直线方程y=0×(x-4)+2=2,其一般式为y-2=0. (3)由两点式写出直线方程=⇔=,其一般式为x+y-1=0. 题型(二)　由截距、斜率的值求参数 [例2]　设直线l的方程为(m2-m-6)x+(3m2+5m-2)y=3m+6(m∈R,m≠-2),根据下列条件分别求m的值. (1)l在x轴上的截距是-4; (2)l的斜率为. 解:(1)令y=0,得x=, 由=-4,解得m=. (2)直线l的斜率k=-=-. 由-=,解得m=. 　　[变式拓展] 1.若本例中直线l的倾斜角为45°,试求m的值. 解:由k=-=tan 45°, 即3-m=3m-1, 得m=1. 2.若本例中直线l在x轴和y轴上的截距相等,试求m的值. 解:当x=0时,y==, 当y=0时,x=, 则=,即m=-1. 3.若本例中直线l垂直于y轴,试求m的值. 解:由直线l的斜率k=-=0, 得m=3. |思|维|建|模| (1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距,可将其化为斜截式,求其在x轴上的截距,可令y=0,解出x即为所求. (2)涉及字母参数时,注意分母为零的讨论. 题型(三)　直线的一般式方程的应用 [例3]　已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点. (1)证明:直线l过定点; (2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值. 解:(1)证明:已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),则(x-2y)m+2x-y-3=0,由解得即直线l过定点(2,1). (2)设直线的方程为+=1,a>0,b>0,则A(a,0),B(0,b),又直线l过定点(2,1), 所以+=1.又点P(-1,-2),则·=(a+1,2)·(1,b+2)=a+2b+5=(a+2b)+5=9++≥9+2=13,当且仅当=,即a=4,b=2时取等号,所以直线l的方程为x+2y-4=0,所以直线l过(4,0),即4(m+2)-3=0,解得m=-. |思|维|建|模| 含参直线方程的研究策略 (1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b. (2)对已知方程进行必要的转化. 　　[针对训练] 2.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值; (2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围. 解:(1)由条件知,a≠0且a≠,在直线l的方程中,令y=0得x=,令x=0得y=, ∴=×3,解得a=1或a=, 经检验,a=1,a=均符合要求,故实数a的值为1或. (2)当a=时,直线l的方程为x+=0. 即x=-1,此时直线l不通过第四象限; 当a≠时,直线l的方程为y=x+. 直线l不通过第四象限,即 解得<a≤1.综上所述,当直线l不通过第四象限时,实数a的取值范围为. [课时检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.直线+=1化成一般式方程为 (　　) A.y=-x+4 B.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 解析:选C　由+=1可得4x+3y=12,即4x+3y-12=0. 2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　　) A.m≠0 B.m≠- C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0 解析:选C　因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1. 3.经过点(1,),倾斜角为120°的直线方程为 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y=0 C.x+y-4=0 D.x-y+2=0 解析:选A　因为直线斜率为tan 120°=-,所以该直线方程为y-=-(x-1),即x+y-2=0. 4.如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　因为AC<0,且BC>0,所以A,B,C均不为零,由直线方程Ax+By+C=0,可化为y=-x-,因为AC<0,且BC>0,可得k=->0,y轴截距-<0,所以直线通过第一、三、四象限,不通过第二象限. 5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4,则a的取值范围为 (　　) A.(-2,2) 　　　　B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,2) 　　　　D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:选A　直线a2x+y-1=0,即y=-a2x+1,则直线的斜率为-a2,即-a2>-4,解得-2<a<2.所以a的取值范围为(-2,2). 6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 (　　) A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0 C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0 解析:选C　直线3x+4y-5=0的斜率为-,可设l的方程为y=-x+b.令y=0,得x=b,由题可知·bb=24,得b=±6,由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形,所以b=6,所以选C. 7.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞) C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 解析:选C　若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限.若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限.若a≠0且a≠2,将l的方程转化为y=-x-,因为l经过第四象限,所以-<0或解得a<0或<a<2或a>2.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪,故选C. 8.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是　　　　.  解析:由已知得∴m=3. 答案:3 9.(5分)若直线l沿x轴向左平移3个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置,请写出一条与l垂直的直线方程　　　　.  解析:设直线方程为Ax+By+C=0,变换后:A(x+3)+B(y-1)+C=0,即Ax+By+C+3A-B=0,故3A-B=0.一条与l垂直的直线方程为Bx-Ay=0,即y=3x. 答案:y=3x(答案不唯一) 10.(5分)已知两条直线a1x+b1y+4=0和a2x+b2y+4=0都过点A(2,3),则过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线方程为　　　　　.  解析:由题意得2a1+3b1+4=0,2a2+3b2+4=0,因此过P1(a1,b1),P2(a2,b2)两点的直线的方程为2x+3y+4=0. 答案:2x+3y+4=0 11.(5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为　　　　　　　　.  解析:因为l:mx+y-m+2=0⇒y+2=-m(x-1),即直线l过定点Q(1,-2),斜率为-m,因为kQM==-2,kQN==5,如图所示,所以-m≤-2或-m≥5,解得m≥2或m≤-5. 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞) 12.(10分)已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),边AB,AC上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程. 解:设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点,∵点B在中线BE:y-1=0上,∴设点B坐标为(x,1).又点A坐标为(1,3),D为AB的中点,由中点坐标公式得点D坐标为.又∵点D在中线CD:x-2y+1=0上,∴-2×2+1=0,解得x=5,∴点B坐标为(5,1).同理可求出点C坐标是(-3,-1).故可求出△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0,x-y+2=0. 13.(10分)已知直线l1:3kx-(k+2)y+6=0,直线l2:kx+(2k-3)y+2=0.若这两条直线的倾斜角互补,求k的值. 解:若l1的斜率不存在,则k=-2,此时直线l2:2x+7y-2=0,斜率为-,不符合题意,舍去.若l2的斜率不存在,则k=,此时直线l1:9x-7y+12=0,斜率为,不符合题意,舍去.当l1,l2的斜率都存在时,因为这两条直线的倾斜角互补. 所以+=0,即5k2-11k=0,解得k=0或k=. 当k=0时,l1,l2的斜率都为0,不符合题意,舍去. 综上,k=. 14.(15分)已知直线l:(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0. (1)求证:不论实数λ取何值,直线l恒过一定点P;(8分) (2)在(1)的条件下,若直线l与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且P恰为线段AB的中点,求直线l的斜截式方程.(7分) 解:(1)证明:由直线l:(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0变形得λ(2x+y-7)+x+y-4=0, 令解得由于不论实数λ取何值,总是方程(2λ+1)x+(λ+1)y-7λ-4=0的一个解, 所以直线l恒过定点P(3,1). (2)设A(a,0),B(0,b),则由已知有 解得a=6,b=2.所以直线l的截距式方程为+=1,即x+3y-6=0,故直线l的斜截式方程为y=-x+2. 15.(15分)已知直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R,a≠-1). (1)若直线l与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形,求直线l的方程;(6分) (2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取得最小值时直线l的方程.(9分) 解:(1)令x=0,则y=2+a,令y=0,则x=(a≠-1). 由题意得=|2+a|,解得a=0或a=-2.当a=-2时,直线l的方程为x-y=0,此时直线与两坐标轴不能围成三角形,不满足题意;当a=0时,直线l的方程为x+y-2=0,此时直线与两坐标轴所围成的三角形为等腰直角三角形,满足题意. 综上,直线l的方程为x+y-2=0. (2)由直线方程可得M,N(0,2+a),因为a>-1,所以>0,2+a>0,所以S△OMN=××(2+a)=×= ≥=2,当且仅当a+1=,即a=0时,S△OMN取得最小值.此时直线l的方程为x+y-2=0. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$