1.2.1 直线的点斜式方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

1.2　直线的方程 1.2.1　直线的点斜式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　 [课时目标] 1.了解由斜率公式推导直线点斜式方程的过程,掌握点斜式方程和斜截式方程的特点及适用范围. 2.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关问题,体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 1.直线的点斜式方程 (1)过点P1(x1,y1),斜率为k的直线方程y-y1=k(x-x1)叫作直线的点斜式方程,简称点斜式. (2)过点P1(x1,y1)且与x轴垂直的直线方程为x=x1. |微|点|助|解| (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能用此式. (2)当直线与x轴平行或重合时方程可简写为y=y1,特别地,x轴的方程是y=0.当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程,此时可将方程写成x=x1,特别地,y轴的方程是x=0. 2.直线的斜截式方程 (1)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距. (2)方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程,简称斜截式. |微|点|助|解| (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况,由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距. (2)截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同,都是y=kx+b的形式,但有区别:当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数.故一次函数y=kx+b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程. 3.曲线的方程和方程的曲线 一般地,当点P在曲线C上时,其坐标(x,y)满足方程F(x,y)=0,并且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点(x,y)都在曲线C上.这时,我们将方程F(x,y)=0称为曲线C的方程,也称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=. (　　) (2)直线y-3=k(x+1)恒过定点(-1,3). (　　) (3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√ 2.若直线l过点(-1,1)且斜率为1,则直线l的方程为 (　　) A.x-y-2=0 B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x+y+2=0 解析:选C　直线l的斜率为1,又直线l过点(-1,1),则直线l的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0. 3.直线l在y轴上的截距为2,且斜率为-1,则该直线方程为 (　　) A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 答案:A 4.直线y=x+3在y轴上的截距为　　　　　　.  解析:由直线的斜截式可得,直线y=x+3在y轴上的截距为3. 答案:3 题型(一)　直线的点斜式方程 [例1]　写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点B(-1,4),倾斜角为135°; (2)过点C(-1,2),且与y轴平行; (3)过点D(2,1)和E(3,-4); (4)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍. 解:(1)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)]. (2)∵直线与y轴平行,∴斜率不存在, ∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是-1,故这条直线的方程为x=-1. (3)∵直线过点D(2,1)和E(3,-4),∴斜率k==-5.故所求直线的点斜式方程为y-1=-5(x-2). (4)∵y=x的斜率是,∴直线y=x的倾斜角为30°, ∴所求直线的倾斜角为60°,故其斜率为. ∴所求直线的点斜式方程为y+3=(x-2). |思|维|建|模| 求直线的点斜式方程的思路 　　[针对训练] 1.[多选]已知直线l的倾斜角为45°,且过点(1,2),则在直线上的点是 (　　) A.(0,1) B.(-2,-1) C.(3,3) D.(3,2) 解析:选AB　直线的斜率k=tan 45°=1,方程为y-2=x-1,即y=x+1,将A、B、C、D中各点代入知,A、B正确. 2.求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点P(-3,-1),斜率k=; (2)过点P(0,5),且与x轴平行; (3)过点P(,1),倾斜角是120°. 解:(1)∵直线过点P(-3,-1),斜率k=, ∴直线的点斜式方程为y+1=(x+3). (2)∵与x轴平行的直线斜率为0, ∴直线的方程为y=5. (3)∵直线的倾斜角是120°, ∴k=tan 120°=-.又直线过点P(,1), ∴直线的点斜式方程为y-1=-(x-). 题型(二)　直线的斜截式方程 [例2]　写出下列直线的斜截式方程: (1)直线的斜率是3,在y轴上的截距是-3; (2)直线的倾斜角是60°,在y轴上的截距是5; (3)直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2. 解:(1)由直线的斜截式方程可知, 所求方程为y=3x-3. (2)∵k=tan 60°=, ∴所求直线的斜截式方程为y=x+5. (3)∵直线在x轴上的截距为4,在y轴上的截距为-2,∴直线过点(4,0)和(0,-2).∴k==, ∴所求直线的斜截式方程为y=x-2. |思|维|建|模| 直线的斜截式方程的求解策略 (1)求直线的斜截式方程只要分别把直线的斜率和在y轴上的截距代入方程即可. (2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程. 　　[针对训练] 3.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍,那么直线l的方程是　　　　　　.  解析:直线y=x+2的斜率为,在y轴上的截距为2,则直线l的斜率为,在y轴上的截距为4,故直线l的方程是y=x+4. 答案:y=x+4 4.根据下列条件求直线的斜截式方程: (1)斜率是,截距是-2; (2)倾斜角是135°,截距是3; (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解:(1)由题意,当直线在y轴上的截距为-2时,直线的斜截式方程为y=x-2;当直线在x轴上的截距为-2时,直线的方程为y=(x+2),即直线的斜截式方程为y=x+.综上,直线的斜截式方程为y=x-2或y=x+. (2)由题意,直线倾斜角是135°,截距是3,所以斜率为k=tan 135°=-1.当直线在y轴上的截距为3时,直线的斜截式方程为y=-x+3;当直线在x轴上的截距为3时,直线的方程为y=-(x-3),所以直线的斜截式方程为y=-x+3.综上,直线的斜截式方程为y=-x+3. (3)因为直线的倾斜角为60°,所以斜率k=tan 60°=. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3, 所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3, 故所求直线的斜截式方程为y=x+3或y=x-3. 题型(三)　含参数的直线方程的几何特征 [例3]　已知直线l:y=kx+2+k. (1)求证:直线l恒过一个定点; (2)当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方,求实数k的取值范围. 解:(1)证明:由y=kx+2+k,得y-2=k(x+1),由直线的点斜式方程可知,直线恒过定点(-1,2). (2)设y=f(x)=kx+2+k, 因为当-3<x<3时,直线上的点都在x轴上方, 需满足即 解得-≤k≤1, 所以实数k的取值范围是. 　　[变式拓展] 1.若本例(2)条件改为直线不经过第四象限,求k的取值范围. 解:∵直线l:y=kx+2+k不经过第四象限, ∴解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞). 2.若本例条件变为直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S的最小值并求此时直线l的方程. 解:如图所示,直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,则k>0,直线l:kx-y+2+k=0中,令y=0,解得x=-, 令x=0,解得y=2+k,∴S△AOB=×OA×OB=××(2+k)==++2≥2+2=4,当且仅当=,即k=2时等号成立.∴S的最小值为4,此时的直线方程为2x-y+4=0. |思|维|建|模| 　　对于含参数k的直线方程y-y0=k(x-x0),该直线恒过定点(x0,y0). 　　[针对训练] 5.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有的直线恒过定点 (　　) A.(1,3) B.(-1,-3) C.(3,1) D.(-3,-1) 解析:选C　直线kx-y+1-3k=0变形为y-1=k(x-3),由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1). 6.若直线y=x+k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1,则实数k的取值范围是　　　　　.  解析:令x=0,得y=k.令y=0,得x=-2k.所以|k|·|-2k|≥1,即k2≥1.解得k≤-1或k≥1. 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) [课时检测] 1.方程y=k(x-2)表示 (　　) A.通过点(-2,0)的所有直线 B.通过点(2,0)的所有直线 C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线 解析:选C　易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴. 2.已知直线l的方程为y+=(x-1),则l在y轴上的截距为 (　　) A.9 B.-9 C. D.- 解析:选B　由y+=(x-1),得y=x-9,∴l在y轴上的截距为-9. 3.已知直线方程为y=-x+2,则直线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设直线y=-x+2的倾斜角为θ,可知tan θ=k=-1 ,又 0≤θ<π,所以θ=. 4.已知直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2的位置关系如图所示,则有 (　　) A.k1<k2且b1<b2 B.k1<k2且b1>b2 C.k1>k2且b1>b2 D.k1>k2且b1<b2 解析:选A　设直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2.由题图可知90°<α1<α2<180°,所以k1<k2,又b1<0,b2>0,所以b1<b2.故选A. 5.[多选]下列说法正确的是 (　　) A.若直线过点(-3,-2)且与x轴平行,则该直线的方程为y=-2 B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2) C.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线 D.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tan θ(x-1) 解析:选ABC　对于A,因为直线与x轴平行,故斜率为0,所以直线方程为y=-2; 对于B,直线y=ax-3a+2,整理得y-2=a(x-3),所以无论a取何值,点(3,2)都满足方程,故B正确; 对于C,当m=0时,x=2,表示平行于y轴的直线,故C正确; 对于D,当θ=90°时,该直线斜率不存在,故D错误. 6.[多选]已知直线l过点(-1,2),倾斜角为θ,若sin θ=,则直线l的方程可能是 (　　) A.3x-4y+11=0 B.4x-3y+10=0 C.3x+4y-5=0 D.4x+3y-2=0 解析:选AC　因为sin θ=,θ∈[0,π),所以cos θ=±.所以直线l的斜率k==±.当k=时,直线l的方程为y-2=(x+1),即3x-4y+11=0;当k=-时,直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+4y-5=0. 7.一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是 (　　) A.m>1,且n<1 B.mn<0 C.m>0,且n<0 D.m<0,且n<0 解析:选B　由直线y=-x+经过第一、三、四象限,得->0,<0,∴m>0,n<0.因此一次函数y=-x+的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn<0. 8.(5分)在y轴上的截距为-6,且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是　　　　　　　　.  解析:因为直线与y轴相交成30°角,所以直线的倾斜角为60°或120°,所以直线的斜率为或-.又因为在y轴上的截距为-6,所以直线的斜截式方程是y=x-6或y=-x-6. 答案:y=x-6或y=-x-6 9.(5分)已知两点A,B,则直线AB的斜率k的值是　　　,直线AB在y轴上的截距是　　　　.  解析:根据题意,得直线AB的斜率k==3,则直线AB的点斜式方程为y-(-1)=3,变形可得y=3x-,则直线AB在y轴上的截距是-. 答案:3　- 10.(5分)将直线y=x+-1绕其上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的点斜式方程是　　　　　　　　　.  解析:由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.∵沿逆时针方向旋转15°后,倾斜角变为60°,∴所求直线的斜率为.又∵直线过点(1,),∴由直线的点斜式方程可得y-=(x-1). 答案:y-=(x-1) 11.(5分)已知直线l的斜率为,且与坐标轴所围成的三角形的周长是30,则直线l的方程为　　　　 　　　　.  解析:由直线l的斜率为,可设直线l的方程为y=x+b.令x=0,得y=b; 令y=0,得x=-b. 由题意得b+-b+=30, ∴b+b+b=30,∴b=±5. ∴所求直线l的方程为y=x±5,即5x-12y+60=0或5x-12y-60=0. 答案:5x-12y+60=0或5x-12y-60=0 12.(5分)设点A(-1,0),B(1,0),若直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是　　　　.  解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2]. 答案:[-2,2] 13.(5分)已知直线l过点(2,2),且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2,则直线l的方程为　　　　.  解析:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,经检验符合题目要求. 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx-2k+2. 当k=0时,显然不符合题意; 当k≠0时,令y=0,得x=,由三角形的面积为2,得××2=2,解得k=, 故直线l的方程为y-2=(x-2),即x-2y+2=0. 综上所述,直线l的方程为x=2或x-2y+2=0. 答案:x=2或x-2y+2=0 14.(10分)求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程. (1)经过点(,-1);(5分) (2)在y轴上的截距是-5.(5分) 解:∵直线y=-x+1的斜率k=-, ∴其倾斜角α=120°. 由题意,得所求直线的倾斜角α1=α=30°, 故所求直线的斜率k1=tan 30°=. (1)∵所求直线经过点(,-1),斜率为, ∴所求直线方程是y+1=(x-), 即x-3y-6=0. (2)∵所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,∴所求直线的方程为y=x-5, 即x-3y-15=0. 15.(15分)在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(1,1),B(5,1),点C在x轴上,且∠CAB=. (1)求直线AC的斜率;(7分) (2)求直线BC的方程.(8分) 解:(1)如图,A(1,1),B(5,1),可知直线AB平行于x轴, 已知点C在x轴上且∠CAB=,可知直线AC与x轴非负半轴所夹角度为,即直 线AC的倾斜角为,故直线AC的斜率kAC=tan=-1. (2)由(1)可知kAC=-1,可得直线AC的方程为y-1=-1(x-1),即lAC:x+y-2=0, 将y=0代入,即求得C点坐标为(2,0). 已知B(5,1),kBC==,可得直线BC的方程为y-0=(x-2),化简得lBC:x-3y-2=0. 16.(15分)已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程(答案含t);(5分) (2)在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值.(10分) 解:(1)由题意知当直线斜率存在时,kPQ=, 当t=5时,直线PQ的方程为x=5,当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t). 即(2t-10)y=t(x+t-10). (2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB,因为OA=a,所以A(a,0),B(2a,0),C(2a,a),因为点C(2a,a)在直线PQ上,所以(2t-10)a=t(2a+t-10),所以a=t(10-t)=-(t-5)2+.又当正方形ABCD的面积最大时,a最大,所以当t=5时,a=,此时四边形ABCD的面积最大. 1 / 94 学科网（北京）股份有限公司 $$