精品解析： 辽宁省抚顺市新宾县苇子峪镇中学2024-2025学年下学期九年级3月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市新宾县苇子峪镇中学九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回； 4.本试题卷包括两部分,三道大题，23道小题，共4页。如缺页、印刷不清，考生须声明。 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是沈阳市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，属于正方体的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是人类迄今为止观察到最远的星系（也就是红移最大的星系），拍摄到这个星系的是于1990年发射的哈勃太空望远镜．该星系距地球大约为140光年，已知1光年km．140光年用科学记数法表示为（ ） A. km B. km C. km D. km 5. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图方式放置，使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 上星期六，我校七（1）班名同学全部参加了郊外野营活动，分成、、、四小组，每小组人，那么该班小宇同学被分在小组的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，为的中点，连接以点为圆心，长为半径作，若于点，于点，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解为________________． 12. 在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 13. 如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为___________________． 14. 目前，我市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”，已知某小区智能回收机早晚高峰时段环保金发放标准为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元环保金．李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元．若设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则x满足的方程为______ 15. 已知点，且，点B为x轴正半轴上一点，点P为内一点，，则周长的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算． （2）先化简再求值其中． 17. 为了抗击新冠病毒，保护学生和教师的生命安全，新希望中学元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，甲，乙两种口罩的售价分别是元/盒，元/盒；甲，乙两 种口罩的数量分别是个/盒，个/盒． （1）求新希望中学甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ （2）按照教育局要求，学校必须储备两周的用量，新希望中学师生共计人，每人每天个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？ 18. 有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）： b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）： c．甲公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，． d．乙公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，，． e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下： 公司 甲公司 乙公司 平均数 73 73 中位数 n 75 众数 74 k 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中m=_____，n=_____，k=______； （2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量； （3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）． 19. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 20. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为，在点E的正下方20米的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽A离地高度（长）．（计算结果精确到米，参考数据：，，） 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 22. 【提出问题】 如图1，等腰直角三角形中，，，点D为上一点，将线段绕点D逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系． 【分析问题】 小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点D作的垂线与相交于点F（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系． （1）根据小明的思路，补全的证明过程； （2）直接写出，，之间的数量关系：______； 【拓展思考】 （3）如图3，延长、相交于点M，点N是的中点，若M，D，N三点共线时，求线段的长度． 23. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市新宾县苇子峪镇中学九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2.考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回； 4.本试题卷包括两部分,三道大题，23道小题，共4页。如缺页、印刷不清，考生须声明。 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图是沈阳市某日的天气预报，该天最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，将该天的最高气温减去最低气温即可得出答案． 【详解】解：， ∴最高气温比最低气温高． 故选：A． 2. 下列图形中，属于正方体的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的平面展开图特点即可作答． 【详解】解：A、为圆锥的平面展开图，该选项不符合题意； B、为长方体的平面展开图，该选项不符合题意； C、为圆柱的平面展开图，该选项不符合题意； D、为正方体的平面展开图，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟悉各种几何体的平面展开图特点，是解答此题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算求值即可； 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选： B． 【点睛】本题考查了幂的运算法则：同底数幂相乘（除），底数不变指数相加（减）；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的幂等于幂的积． 4. 如图是人类迄今为止观察到最远的星系（也就是红移最大的星系），拍摄到这个星系的是于1990年发射的哈勃太空望远镜．该星系距地球大约为140光年，已知1光年km．140光年用科学记数法表示为（ ） A. km B. km C. km D. km 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可． 【详解】解：140光年=140×9.5×1012km=1330×1012km=1.33×1015km， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于1的数表示成a×10n的形式（1≤|a|＜10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数． 5. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 6. 将一副三角板按如图方式放置，使，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设BC与EF交于点G，由平行和对顶角的性质可求出，再由三角形外角的性质即可求出． 【详解】如图，设BC与EF交于点G． ∵， ∴． ∴． ∵，． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角板的认识，三角形外角的性质，平行线的性质以及对顶角相等．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键． 7. 上星期六，我校七（1）班名同学全部参加了郊外野营活动，分成、、、四小组，每小组人，那么该班小宇同学被分在小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵名同学分成、、、四小组，每小组人， ∴该班小宇同学被分在小组的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 8. 二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据加减消元法，由①+②得出11x＝33，求出x，再把x＝3代入①求出y即可． 【详解】解：， 由①+②，得11x＝33， 解得：x＝3， 把x＝3代入①，得9+2y＝13， 解得：y＝2， 所以方程组的解是， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法解方程组． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，点在轴上，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点在新坐标系中的坐标，进而求出点的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】以点为坐标原点，原来的轴为轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点的坐标为，点的坐标为 ， ∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴点在新坐标系中的坐标为 ，即 ， 则点在原坐标系中的坐标为， 故选：． 10. 如图，在中，，，，为的中点，连接以点为圆心，长为半径作，若于点，于点，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，，得，又为的中点，有，根据，，，知四边形是矩形，从而可得，，即得阴影部分的面积为． 【详解】解：，，， ， 为的中点， ， ，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 阴影部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查阴影面积，解题的关键是掌握扇形面积公式，证明四边形是矩形． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分式方程的解为________________． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点经过______次这样的运动后到达点． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．根据题意，点和的纵坐标的差为18，结合平移方式，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴点经过9次这样的运动后到达点． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，点在上，点在上，连接、、，若，，则的长为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．过作于，过作于，通过判定，即可得到，再根据等腰直角三角形的性质，用勾股定理进行计算即可得到的长． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于，则， 又， ，， ， ， ，即， 又， ， ， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 14. 目前，我市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”，已知某小区智能回收机早晚高峰时段环保金发放标准为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元环保金．李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元．若设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则x满足的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元”即可列出一元一次方程． 【详解】设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则其他时段为， 根据题意得． 故答案为：． 15. 已知点，且，点B为x轴正半轴上一点，点P为内一点，，则周长的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点A、B在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点A、B，连接． ∵点，且， ∴， ∵点P关于的对称点为C， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算． （2）先化简再求值其中． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题； （2）先去小括号，再去中括号，最后合并同类项，把x y的值代入求出即可． 【详解】解：（1）原式= = =2； （2）原式= = = 当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算和实数的混合运算，主要考查学生的化简能力和计算能力，注意运算顺序. 17. 为了抗击新冠病毒，保护学生和教师的生命安全，新希望中学元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，甲，乙两种口罩的售价分别是元/盒，元/盒；甲，乙两 种口罩的数量分别是个/盒，个/盒． （1）求新希望中学甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ （2）按照教育局要求，学校必须储备两周的用量，新希望中学师生共计人，每人每天个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？ 【答案】（1）甲口罩购进了400盒，乙口罩购进了600盒.（2）购买的口罩数量能满足教育局的要求. 【解析】 【分析】（1）设新希望中学甲口罩购进了x盒，乙口罩购进了y盒.根据“新希望中学元购进甲、乙两种医用口罩共计盒，甲，乙两种口罩的售价分别是元/盒，元/盒”列出二元一次方程组解答即可； （2）根据“甲，乙两 种口罩的数量分别是个/盒，个/盒．”求出新希望中学共买口罩的个数，根据“新希望中学师生共计人，每人每天个口罩”求出两周师生需要的口罩总数进行比较即可. 【详解】解：（1）设新希望中学甲口罩购进了x盒，乙口罩购进了y盒.由题意，得 解得 答：新希望中学甲口罩购进了400盒，乙口罩购进了600盒. （2）甲，乙口罩共400×20+600×25=23000（个） 全校师生两周共需800×2×14=22400（个） 23000＞22400 答：购买的口罩数量能满足教育局的要求. 故答案为（1）甲口罩购进了400盒，乙口罩购进了600盒.（2）购买的口罩数量能满足教育局的要求. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用. 解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组. 18. 有甲、乙两家肉禽类公司到某超市推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似．超市决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了个鸡腿，然后再从中随机各抽取个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： a．甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图（图1）： b．乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图（图2）： c．甲公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，． d．乙公司被抽取的鸡腿质量在这一组的数据是：，，，，，，，． e．甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下： 公司 甲公司 乙公司 平均数 73 73 中位数 n 75 众数 74 k 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中m=_____，n=_____，k=______； （2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量； （3）根据以上数据分析，如果你是超市采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1），， （2）个 （3） 我会选择采购甲公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但甲公司鸡腿质量的中位数克大于乙公司鸡腿质量的中位数克． 我会选择采购乙公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为克，但乙公司鸡腿质量的众数克大于甲公司鸡腿质量的众数克． 【解析】 【分析】（1）先求出乙公司被抽取的个鸡腿质量在B组对应的百分比，再根据百分比之和为1可得m的值，根据众数和中位数的定义可分别求得k和n的值； （2）总数乘以不低于克的数量所占百分比即可； （3）答案不唯一，合理即可，分析过程根据平均数、众数和中位数分别说明即可． 【小问1详解】 乙公司被抽取的个鸡腿质量在B组对应的百分比为， ∴， ∴； 乙公司被抽取的个鸡腿质量出现最多的是，即众数， 甲公司被抽取的个鸡腿质量的中位数； 故答案为；，， 【小问2详解】 根据题意可知乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为： ， 答：估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为55个． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法． 19. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售销这种荔枝日获利元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， ∵改函数图象经过点和点 ∴ 解得： ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设销售销这种荔枝日获利元， 根据题意，得， ，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵销售价格不高于18元/kg， 当时，有最大值为元， 当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键． 20. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为，在点E的正下方20米的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽A离地高度（长）．（计算结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】塔帽A离地高度（长）约为米． 【解析】 【分析】连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解得：，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示， 由题意得：，，，米， ， 四边形是矩形， ，米， ， ， 在中，， ， 设米，则米，米， ， ， 解得：， （米， 答：塔帽A离地高度（长）约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，求出的长是解答本题的关键． 21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连接OA， ∵OA=OD， ∴∠1=∠2． ∵DA平分∠BDE， ∴∠2=∠3． ∴∠1=∠3．∴OA∥DE． ∴∠OAE=∠4， ∵AE⊥CD，∴∠4=90°． ∴∠OAE=90°，即OA⊥AE． 又∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线． （2）⊙O半径为 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线； （2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD=90°． ∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5． 又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED． ∴， ∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD． 在Rt△BAD中，根据勾股定理， 得BD=． ∴⊙O半径为． 22. 【提出问题】 如图1，等腰直角三角形中，，，点D为上一点，将线段绕点D逆时针旋转至，连接，，探究，，之间的数量关系． 【分析问题】 小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点D作的垂线与相交于点F（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系． （1）根据小明的思路，补全的证明过程； （2）直接写出，，之间的数量关系：______； 【拓展思考】 （3）如图3，延长、相交于点M，点N是的中点，若M，D，N三点共线时，求线段的长度． 【答案】（1）证明：如图2中，过点D作的垂线与相交于点F． ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图2中，过点D作的垂线与相交于点F，根据证明三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可； （3）过点D作于点H，证明，设，构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）结论：． 理由：是等腰直角三角形， ， ∵， ， ． 故答案为：； （3）如图3中，过点D作于点H． 如图2中，由（1）可知， ， 如图3中，， ， ， ，， ， ∵M，D，N三点共线， 垂直平分线段， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点．他们把这个点A：定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为． ①当时，求n的取值范围． ②小明发现，当c取不同值时，所有的顶点组成一条新的抛物线，设为，所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为，请直接写出这两条新抛物线顶点之间的距离． 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可；根据题意确定原函数的顶点坐标，得出相应的二次函数解析式，确定顶点坐标即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． 【小问3详解】 根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是； 由得：原抛物线为， ∴， 将变形为代入得出， ∵所有的顶点组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； 同理：∵所有的顶点也组成一条新的抛物线，设为， ∴， ∴顶点坐标为：； ∴距离为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $