第21章二次函数与反比例函数同步训练2025-2026学年沪科版数学九年级上册

第21章二次函数与反比例函数 一、单选题 1．反比例函数的大致图像是（   ） A． B． C． D． 2．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 3．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过菱形的顶点A．若菱形的面积为6，则的值为（    ） A． B． C．3 D．6 4．二次函数（，，是常数，）的图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，对于下列说法： ①；②当时，；③；④；⑤． 其中结论正确的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（    ） A．8 B． C．4 D． 6．如图，矩形的顶点A和对称中心都在双曲线上，若矩形的面积为8，则k的值为（   ） A．8 B． C． D．4 7．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，与y轴交于点C，对称轴为．给出五个结论：①；②；③；④当时，；⑤若，点P是抛物线对称轴上一点，则周长的最小值为，其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数（，的图象上，点A的坐标为，连接，若，，则k的值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 9．如图，在第一象限内作，边在正半轴上，反比例函数经过点，交边于点，若的面积为6，．则 ，点的坐标为 ． 10．如图，正方形的边在轴上，反比例函数的图象经过点和边上点，若正方形的边长为，，则的值是 ． 11．把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 12．如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为，则双曲线的解析式为 ． 13．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ． 三、解答题 14．如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与轴交于，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求当时，不等式的解集； (3)若点在轴上，连接把的面积分成两部分，求此时点的坐标． 15．为预防“手足口病”，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间的函数关系如图所示．已知，药物燃烧阶段，y与x成正比例，燃完后y与x成反比例．现测得药物燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中含药量低于时，对人体才能无毒害作用．那么从消毒开始，求经过多长时间后教室内的空气才能达到安全要求． 16．汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示． (1)这辆汽车的功率是多少？请写出v关于F的函数表达式． (2)当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米/时？ (3)如果限定汽车的速度不超过30米/秒，那么F在什么范围内？ 17．如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． (1)求的值； (2)请直接写出时自变量的取值范围； (3)点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 18．如图，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点，过B作轴，交反比例函数于点D，连接． (1)求b，k的值； (2)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据解析式判定图象经过的象限即可． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：A ． 2．A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 3．C 【分析】此题考查菱形的性质，反比例函数k的几何意义． 连接交于点D，由菱形的面积为6，求出，然后由反比例函数k的几何意义可得答案．． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，菱形的面积为6 ∴， ∴， 故选C． 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据开口方向、与y轴交点在y轴正半轴得到，根据对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据对称性，抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间，则当时，，据此可判断②③④；再根据抛物线与x轴有两个交点，运用根的判别式可判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴当时，不一定成立，故②错误； 当时，，故③正确； ∵， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴的有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根， ∴，即，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 延长交y轴于点E，设点A坐标为，根据中心对称性质得到矩形中心点坐标，利用矩形面积建立，求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 设点A坐标为， ∵四边形是矩形， ∴矩形中心的纵坐标为， ∴矩形中心的坐标为， ∴， ∵矩形的面积为8， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．A 【分析】本题可根据二次函数的图象与性质，分别对五个结论进行分析判断．本题主要考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的对称轴、与轴交点个数与判别式的关系以及最短路径问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点 ，即，故①正确 对称轴为 ，即，，故②错误 当时， ，故③错误 抛物线开口向下， 当时， ，， 又， 无法确定与的大小关系，故④错误 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 的周长为 的周长的最小值为 ， 的周长的最小值为，故⑤正确 综上，正确的结论有①⑤，共个 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，过点 作轴于点 ，过点作 于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图像上．列出方程，求得的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点 作轴于点 ，过点作 于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为 ， ∴， ∴， ∵在反比例函数的图像上， ∴ ， 解得：或（舍去）， ∴. 故选：B. 9． 3 【分析】本题主要考查反比例函数和平行四边形的性质，因式分解解方程，设点C到线段的距离为h，结合面积列出，则；过点B作于点M，过点D作于点N，则，设点，点，即有，化简得，结合，得或，根据点D位于第一象限得即可． 【详解】解：设点C到线段的距离为h， ∵的面积为6， ∴， 则； 过点B作于点M，过点D作于点N，如图， 则，， 设点，点， ∵． ∴，化简得，则， ∵， ∴，解得或， ∵点D位于第一象限， ∴， 则点． 10． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质，熟练掌握在反比例函数上的点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．由正方形的边长为，可求，设A点坐标为，则点E的坐标为，可得，求出，即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， 设A点坐标为，则点E的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A和E， ， ， ， 故答案为：． 11．且 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式组得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 12． 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，先根据矩形的特点设出的坐标，根据矩形的面积求出点横纵坐标的积，由为的中点求出点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，则，，设， ∵和都在反比例函数图象上， ∴，， 即， ∵梯形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：， 故答案为：． 13．1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解； 【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴； ∵， ∴； ∴； 由题意得：， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1 14．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （1）求得，把代入双曲线，可得y与x之间的函数关系式； （2）求得直线与双曲线的交点，可得当时，不等式的解集； （3）分两种情况进行讨论，把的面积分成两部分，则或，即可得到或，进而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入，可得， ， 把代入双曲线， 可得， 与x之间的函数关系式为； （2）， 解得：或， 直线与双曲线交于点和， 由图象可知，当时，不等式的解集为：； （3），令，则， 点B的坐标为， 把代入，可得 ， ， 令，则，即， ， 把的面积分成两部分， 或， 或， 或． 15．经过后教室内的空气才能达到安全要求 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． 根据题意设药物燃烧结束后函数关系式为，将代入，即可得到此阶段的函数关系式，将代入反比例函数关系式中，求出对应的x的值，即可解决问题． 【详解】解：设药物燃烧结束后函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴此阶段函数解析式为， 当时，， 解得：， 即从消毒开始经过50分钟后教室内的空气才能达到安全要求． 16．(1)， (2)当它所受的牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时 (3)若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合函数图像分析出相关信息是解题的关键． （1）函数图像过点， 将点的坐标代入函数关系式，即可求得功率，进而写出函数解析式； （2）将代入函数解析式，即可求出速度v的大小； （3）汽车的速度不超过30米/秒，即，结合函数解析式，解不等式即可求出F的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，反比例函数表达式为， 把代入，得， （瓦）， ∴． （2）解：当牛时， （米/秒）（千米/时）， 即当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为180千米/时． （3）解：由，得． 所以，若限定汽车的速度不超过30米/秒，则F应不小于2000牛． 17．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入，得，即可作答； （2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集； （3）先求出双曲线的解析式为；设，，则，，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴ ∴，，， ∴直线的解析式为， 将代入， 得； （2）解：由（1）知，即，且相交于，两点， 根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得： 双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或， 时自变量的取值范围：或； （3）解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为， 依题意，设，， ∵过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点的坐标为． 18．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A的坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值； （2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入得： ； （2）解：对于，当时，， ∴点， ∵轴， ∴点D的纵坐标为4， 由（1）得：反比例函数解析式为， 当时，， ∴点，即， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$