1.1 一元二次方程 讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册苏科版 第一章 一元二次方程 1.1 一元二次方程 （讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念，能识别一个方程是否为一元二次方程。 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0（a、b、c 是常数，a ≠ 0），并能指出二次项、一次项、常数项以及二次项系数、一次项系数。 3. 能根据简单的实际问题情境，列出一元二次方程。 知识点梳理 1. 一元二次方程的概念 · 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。 · 关键词理解： · “只含有一个未知数”：方程中只有一个字母代表未知数，如 x、y 等。 · “未知数的最高次数是 2”：方程化为最简形式后，含未知数的项的最高次数是 2。 · “整式方程”：方程的两边都是整式（分母中不含未知数，根号下不含未知数等）。 · 判断一个方程是否为一元二次方程的步骤： 1. 看是否为整式方程。 2. 化简整理后，看是否只含有一个未知数。 3. 看未知数的最高次数是否为 2。 4. 二次项的系数是否不为 0（这一点在一般形式中体现）。 2. 一元二次方程的一般形式 · 一般形式：ax² + bx + c = 0 · 其中，a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。 · 各项名称： · ax² 叫做二次项，a 叫做二次项系数。 · bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数。 · c 叫做常数项。 · 注意： · “a ≠ 0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分，如果 a = 0，那么方程就不是二次方程了。 · 一次项系数 b 和常数项 c 可以是 0。当 b = 0 时，方程化为 ax² + c = 0；当 c = 0 时，方程化为 ax² + bx = 0；当 b = 0 且 c = 0 时，方程化为 ax² = 0（此时 a ≠ 0，方程有解 x = 0）。 · 各项及系数都包括前面的符号。例如，方程 x² - 3x + 2 = 0 中，一次项是 -3x，一次项系数是 -3。 3. 列一元二次方程 · 对于一些实际问题，当我们分析数量关系，设出未知数后，根据题目中的等量关系，可以列出一元二次方程。 · 步骤（简要）： 1. 审题，理解题意。 2. 设适当的未知数。 3. 找出题目中的等量关系。 4. 根据等量关系列出方程。 5. 化简方程（如果需要），看是否符合一元二次方程的形式。 易错点提醒 1. 忽略“整式方程”条件：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先要看它是否为整式方程。如果方程中含有分式（分母中含未知数），则不是一元二次方程。 2. 忽略“a ≠ 0”的条件：在一元二次方程的一般形式 ax² + bx + c = 0 中，必须强调 a ≠ 0。如果一个方程化简后 a = 0，那么它就不是一元二次方程。例如，方程 (m - 1)x² + 2x - 3 = 0，如果 m = 1，它就变成了一元一次方程。 3. 确定各项系数时忽略符号：在确定二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要连同它们前面的符号一起考虑。例如，方程 2x² - 5x + 1 = 0 的一次项系数是 -5，而不是 5。 4. 方程未化简就判断类型：有些方程需要先化简整理，才能判断它是否为一元二次方程。例如，方程 x(x - 1) = 2，化简后为 x² - x - 2 = 0，这才是一元二次方程。不能直接看原式中有 x 乘以 (x - 1) 就认为是。 知识点总结 · 核心概念：一元二次方程的定义、一般形式。 · 一元二次方程定义三要素：整式方程、一个未知数、未知数最高次数是 2。 · 一般形式：ax² + bx + c = 0（a、b、c 为常数，a ≠ 0）。其中 ax² 是二次项，bx 是一次项，c 是常数项；a 是二次项系数，b 是一次项系数。 · 关键提醒：判断方程是否为一元二次方程，需先化简，再看是否满足定义；确定系数时要注意符号；牢记 a ≠ 0。 预习建议 1. 通读教材：仔细阅读课本中 1.1 小节的内容，重点理解一元二次方程的定义和一般形式。 2. 动手实践：对照课本上的例题，尝试自己判断几个方程是否为一元二次方程，并指出它们的各项和系数（如果是）。 3. 尝试练习：完成教材中本小节后的“练一练”或相应的基础练习题，检验自己的预习效果。 4. 疑问记录：在预习过程中，遇到不理解的概念或问题，及时记录下来，带着问题听课，会更有针对性。 5. 联系旧知：回顾一元一次方程的概念和形式，对比理解一元二次方程的“元”和“次”的含义，加深记忆。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程的常数项是（　　） A．2 B． C． D．1 2．已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（　　） … 0 1 2 3 … … 0 0 … A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x2﹣5x＝0 B．x+1＝0 C．y﹣2x＝0 D．2x3﹣2＝0 4．下列方程中是关于的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 5．已知m为方程 的解，m也为方程 （p， q为常数） 的解，则p的值为（　　） A．-4 B． C． D． 6．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 7．明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有一个实数根是： C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 8．已知一元二次方程有一个根为，且，则方程一定有一个根为（　　） A． B． C．2024 D． 二、填空题 9．若x＝1是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的一个根，则m的值是 　 　． 10．已知关于x方程的一个根是1，则m的值等于　 　． 11．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为　 　． 12．已知（m-2）x2-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　 13．若方程(a-1)+5x=4 是一元二次方程，则a=　 　． 14．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是：　 　（只填序号） 三、解答题 15．关于x的一元二次方程有实根. （1）求k的最大整数值； （2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值. 16．已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根. 17．先化简，再求值：，其中是方程的根． 18． 先化简，再求值：÷（-m-1）其中m是方程m2-4m-12=0的根． 参考答案 1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．C 9．0 10．2 11．x（x﹣1）＝110 12．m 2 13．-1 14．①②④ 15．（1）（2） 16．解：设方程的另一个根为m，则 解得： ∴方程的另一个根为 ∴a=-1 3=-3. 17．， 18．，． 学科网（北京）股份有限公司 $$