3.1.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

第3课时　直线与椭圆的位置关系——[教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　　　　　　　　　 [课时目标]　会判断直线与椭圆的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用. 题型(一)　直线与椭圆位置关系的判断 　　一般,联立直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的方程,得消去y,得一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 　2　  Δ>0 相切 　1　  Δ=0 相离 　0　  Δ<0 [例1]　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)相交;(2)相切;(3)相离? 解:(1)联立得9x2+8mx+2m2-4=0,Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2, 当直线与椭圆相交,即Δ>0时,144-8m2>0,解得-3<m<3. (2)当直线与椭圆相切,即Δ=0时,144-8m2=0,解得m=±3. (3)当直线与椭圆相离,即Δ<0时,144-8m2<0,解得m>3或m<-3. 　　|思|维|建|模| 　　判断直线与椭圆的位置关系,可以直接由直线方程和椭圆方程联立后,通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程,然后利用判别式判断即可;有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系,从而判断直线与椭圆的位置关系. 　　[针对训练] 1.直线l:ax+y-a+1=0与椭圆+=1的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 解析:选A　法一　∵ax+y-a+1=0,即a(x-1)+y+1=0,∴直线l恒过定点M(1,-1).又∵椭圆+=1,∴+<1,∴定点M在椭圆内,∴直线l与椭圆相交. 法二　⇒(3a2+2)x2-6a(a-1)x+3(a2-2a-1)=0, ∴Δ=36a2(a-1)2-12(3a2+2)(a2-2a-1)=48a2+48a+24=48+12>0恒成立, ∴直线l与椭圆相交. 2.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围为　　　　　　　　　　　.  解析:联立整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 因为直线l与椭圆C有公共点. 所以Δ=(8k)2-24(2k2+1)≥0, 解得k≥或k≤-. 答案:∪ 题型(二)　弦长问题 [例2]　已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长为　　　　.  解析:∵直线AB过椭圆+=1的右焦点F2(1,0),且斜率为2,∴直线AB的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 法一　由方程组 解得或则交点A(0,-2),B. ∴|AB|===. 法二　设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去y,得3x2-5x=0,解得x1=0,x2=.∴|AB|=|x1-x2|=×=. 法三　设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去x,得3y2+2y-8=0,则由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-, ∴|AB|=|y1-y2|=×=. 答案: 　　|思|维|建|模| 求弦长的一般步骤 (1)联立直线与椭圆的方程; (2)设法消去未知数y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系得到x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2); (3)代入弦长公式|AB|=·|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=(k≠0)求解. 　　[针对训练] 3.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为 (　　) A.±1 B.± C. D.± 解析:选A　由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. 由题意,得|AB|== =,解得m=±1. 4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求|AB|的最大值. 解:(1)由题意可得解得a=3,c=2.∴b2=a2-c2=5. ∴椭圆C的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). 由⇒14x2+18mx+9m2-45=0. 由Δ=(18m)2-4×14×(9m2-45)>0,得m2-14<0. ∴x1+x2=-,x1x2=. ∴|AB|= =≤,当且仅当m=0时等号成立. ∴|AB|max=. 题型(三)　中点弦问题 [例3]　已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点.当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 解:法一:根与系数的关系、中点坐标公式法 设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4). 联立 消去y,得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=. 因为线段AB的中点恰好为P(4,2), 所以==4, 解得k=-,且满足Δ>0. 所以直线l的方程为y-2=-(x-4), 即y=-x+4. 法二:点差法　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有 两式相减得+=0, 整理得kAB==-. 因为P(4,2)是线段AB的中点, 所以x1+x2=8,y1+y2=4, 所以kAB=-=-, 所以直线AB的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4. 法三:共线法　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,由于点P(4,2)为线段AB的中点,因此B(8-x,4-y). 因为A,B两点都在椭圆上, 所以 ①-②,得x+2y-8=0. 即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-8=0. 　　|思|维|建|模|　解决椭圆中点弦问题的三种方法 根与系数 的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 点差法 利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系 共线法 利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其中一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),将A,B的坐标分别代入椭圆方程,作差即得所求直线方程 　　[针对训练] 5.若椭圆+=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为 (　　) A.9x+4y-13=0 B.4x+9y-13=0 C.x+2y-3=0 D.x+3y-3=0 解析:选B　若直线AB⊥x轴,则点A,B关于x轴对称,则直线AB的中点在x轴,不合乎题意,所以直线AB的斜率存在,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=y1+y2=2,所以两式作差可得+=0,即+=0,即+=0,可得直线AB的斜率为kAB==-,所以直线AB的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x-y+9=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设直线2x-y+9=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,弦的中点坐标是M(-4,1),则x1+x2=-8,y1+y2=2,直线AB的斜率k==2.由得+=0,∴=-×=2,∴=,故椭圆的离心率e===. [课时检测] 1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是 (　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析:选A　把x+y-3=0代入+y2=1,得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0.∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离. 2.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由消去y得2x2+(x-1)2=4,即3x2-2x-3=0,∴弦的中点的横坐标是x=×=,代入直线方程y=x-1中,得y=-,∴弦的中点坐标是. 3.经过点P且与椭圆+y2=1相切的直线方程是 (　　) A.x+2y-4=0 B.x-2y-4=0 C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0 解析:选A　显然当x=1时,直线与椭圆有两个交点,不符合题意;当存在斜率k时,直线方程设为y-=k(x-1),与椭圆的方程联立,得得(1+4k2)x2+4kx(-2k)+4k2-4k-1=0, 直线与椭圆相切,故Δ=0,即[4k(-2k)]2-4×(1+4k2)×(4k2-4k-1)=0, 解得k=-,所以切线方程为x+2y-4=0,故选A. 4.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由椭圆方程得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y得,5x2-8x+8=0, 则x1+x2=,x1·x2=,所以|AB|=·=×=.即弦AB的长为. 5.若椭圆+=1的弦AB中点坐标为, 则直线AB的斜率为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选B　由于+=<1,所以点在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知x1+x2=2,y1+y2=1,两式相减得+=0, 所以kAB==-=-=-. 6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m= (　　) A. B. C.- D.- 解析:选C　将直线y=x+m与椭圆C联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0.因为直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0,解得-2<m<2.由题意,F1(-,0),F2(,0),因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍,即=2×,解得m=-或m=-3(舍去),故选C. 7.(5分)若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　.  解析:∵+=1表示椭圆,∴m>0且m≠3. 由得(m+3)x2+4mx+m=0, ∴Δ=16m2-4m(m+3)>0,解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3,∴m的取值范围是(1,3)∪(3,+∞). 答案:(1,3)∪(3,+∞) 8.(5分)已知直线l:y=kx+1与椭圆+y2=1交于M,N两点,且|MN|=,则k=　　　　.  解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得(1+2k2)x2+4kx=0,所以x1+x2=-,x1x2=0,由|MN|=,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以(1+k2)(x1-x2)2=,所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=, 即(1+k2)=, 化简得k4+k2-2=0,所以k2=1,所以k=±1. 答案:±1 9.(5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为　　　　　　.  解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程+=1,可得 两式相减可得+=0, 变形可得kAB==, 又AB的中点M为(1,-1), 所以x1+x2=2,y1+y2=-2, 代入上式可得,kAB==, 又kAB=kMF,F(4,0),kMF=, 所以=,3b2=a2,又a2=b2+c2,c2=16, 解得a2=24,b2=8, 所以椭圆E的方程为+=1. 答案:+=1 10.(5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=　　　　. 解析:由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2,所以=,由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5. 答案:3∶5 11.(5分)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点(异于A,B),直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,则|MN|的最小值为　　　　. 解析:如图所示,设P(x0,y0),则+=1,易知A(-2,0),B(2,0),直线PA和直线PB的斜率存在,且斜率之积为kPA·kPB=·==-. 设直线PA的方程为y=k(x+2),则M(4,6k), 直线PB的方程为y=-(x-2),则N, 所以|MN|==|6k|+≥2=6. 当且仅当12k2=3,即k=±时,等号成立, 故|MN|的最小值为6. 答案:6 12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且椭圆C经过点P. (1)求椭圆方程;(5分) (2)若A点为椭圆上一动点,求A点到直线y=x-4的最小距离.(5分) 解:(1)∵椭圆C的焦点为F1(0,-1),F2(0,1),∴c=1　①, 又∵点在椭圆C:+=1上, ∴+=1　②, 而a2=b2+c2　③, ∴联立①②③得 ∴椭圆方程为+x2=1. (2)设l:y=x+m与椭圆相切, ∴联立方程组 ∴3x2+2mx+m2-2=0,Δ=4m2-4×3(m2-2)=0,∴m=±, 显然易知当m=-时,l:y=x-与y=x-4距离最近, ∴d===2-. 13.(10分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短半轴长为3,离心率为. (1)求椭圆M的方程;(4分) (2)过P(1,1)的直线l交椭圆M于A,B两点,且P为AB的中点,求弦AB的长度.(6分) 解:(1)由椭圆M:+=1 的短半轴长为3,离心率为,可得b=3且=,即a=c, 因为a2=b2+c2,可得2c2=9+c2,解得c=3, 所以a=3,所以椭圆的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为P(1,1)为AB的中点, 可得=1,=1, 则两式相减得9(x2-x1)(x1+x2)+18(y2-y1)(y1+y2)=0, 即=-=-,即kAB=-, 所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0, 联立方程组 整理得x2-2x-9=0, 可得x1+x2=2,x1x2=-9, 则|AB|=|x1-x2|=·=·=5. 14.(10分)如图,过点B(0,-b)作椭圆+=1(a>b>0)的弦,求这些弦中的最大弦长. 解:设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|BM|2=x2+(y+b)2=x2+y2+2by+b2①, 由+=1,有x2=(b2-y2)②. 将②代入①式,整理得|BM|2=y2+2by+(a2+b2)=·+. ∵-b≤y≤b, 当b≤c时,≤b, ∴当y=时,|BM|的最大值为. 当b>c时,>b, ∴当y=b时,点M为(0,b),即y轴上方顶点位置,∴|BM|的最大值为2b. 综上所述,当b≤c时,这些弦中的最大弦长为;当b>c时,这些弦中的最大弦长为2b. 15.(15分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求C的离心率;(5分) (2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(10分) 解:(1)由题意得解得 所以e===. (2)法一　kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0, |AP|==,由(1)知C:+=1. 设点B到直线AP的距离为d,则d==, 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度, 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 设该平行线的方程为x+2y+E=0, 则=,解得E=6或E=-18, 当E=6时,联立 解得或 即B(0,-3)或B, 当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当B时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0. 当E=-18时,联立得2y2-27y+117=0, Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 法二　当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,A到PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3), 令P(x1,y1),B(x2,y2), 联立消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0, Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-, 所以|PB|==, A到直线PB的距离d=,S△PAB=··=9, 所以k=或k=,均满足题意,所以l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 法三　当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,A到PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-3)+, l与y轴的交点为Q,令x=0, 则Q,联立 则有(3+4k2)x2-8kx+36k2-36k-27=0, 其中Δ=64k2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-, 则3xB=,xB=, 则S=|AQ||xP-xB| ==9,解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意. 则直线l为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $$