2.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

2.2.3　直线的一般式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 1.直线的一般式方程 我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0) y=-x-(B≠0) +=1(A,B,C≠0) 从以上表格中可以看出,若直线的一般式方程为Ax+By+C=0(AB≠0),则其斜率为-,在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为-. |微|点|助|解| (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x,y,常数项的先后顺序排列,x的系数一般不为分数和负数; (2)当A≠0,B=0时,直线与x轴垂直,即直线与y轴平行或重合; (3)当A=0,B≠0时,直线与y轴垂直,即直线与x轴平行或重合. 3.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系 4.利用一般式解决直线的平行与垂直问题 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. (　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. (　　) (3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. (　　) (4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.直线x+y+1=0的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设直线的倾斜角为α,则直线斜率k=-=tan α,因为α∈[0,π),则α=,故选B. 3.若直线x+2y-1=0与mx-2y+2=0平行,则实数m的值为 (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.2 解析:选B　由x+2y-1=0可知,其斜率为-,又两直线平行,所以可得=-,解得m=-1. 4.若直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,则a等于 (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:选B　因为直线4x+2y-1=0与直线ax+4y=0垂直,所以×=-1,解得a=-2. 题型(一)　求直线的一般式方程 [例1]　根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式. (1)斜率是-,且经过点A(8,-6); (2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3; (3)经过点(3,-5),且一个方向向量为a=(2,4). 解:(1)根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8),化简可得x+2y+4=0. (2)根据截距式可得直线方程为+=1,化简可得2x-y-3=0. (3)由直线的方向向量为a=(2,4),可得直线的斜率k=2,所以所求直线方程为y+5=2(x-3),即2x-y-11=0. 　　|思|维|建|模| 求直线一般式方程的策略 (1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件. (3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断. 　　[针对训练] 1.根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式. (1)经过点A(8,-2),斜率是-; (2)经过点B(4,2),平行于x轴; (3)经过点P1(3,-2),P2(5,-4). 解:(1)由点斜式写出直线方程y=-(x-8)-2=-x+2,其一般式为x+2y-4=0. (2)由点斜式写出直线方程y=0×(x-4)+2=2,其一般式为y-2=0. (3)由两点式写出直线方程=⇔=,其一般式为x+y-1=0. 题型(二)　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 [例2]　已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的一般式方程,l'满足: (1)过点(-1,3),且与l平行; (2)过点(-1,3),且与l垂直. 解:(1)法一　由题意l的方程可化为y=-x+3,则l的斜率为-. 由l'与l平行,得l'的斜率为-,又l'过点(-1,3),由点斜式知直线l'的方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0. 法二　由l'与l平行,可设l'的方程为3x+4y+m=0,将点(-1,3)代入上式得m=-9,所以直线l'的方程为3x+4y-9=0. (2)法一　由题意l的方程可化为y=-x+3,则l的斜率为-. 由l'与l垂直,得l'的斜率为, 又l'过点(-1,3),由点斜式可得直线l'的方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0. 法二　由l'与l垂直,可设l'的方程为4x-3y+n=0,将点(-1,3)代入上式得n=13,所以直线l'的方程为4x-3y+13=0. 　　|思|维|建|模| 求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法 (1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程. (2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;过点(x0,y0)且与已知直线平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0,与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2,过点(x0,y0)且与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B(x-x0)-A(y-y0)=0. 　　[针对训练] 2.(多选)已知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是 (　　) A.l1在x轴上的截距为-1 B.l2过点(0,-1)且可能垂直于x轴 C.若l1∥l2,则a=-1或a=2 D.若l1⊥l2,则a= 解析:选AD　对于A,因为直线l1:x+(a-1)y+1=0,令y=0,解得x=-1,所以l1在x轴上的截距为-1,故A正确;对于B,因为直线l2:ax+2y+2=0的斜率k=-,即斜率存在,直线l2不与x轴垂直,故B错误;对于C,若a=2,则直线l1,l2均为x+y+1=0,即两直线重合,不平行,故C错误;对于D,若l1⊥l2,则a+2(a-1)=0,解得a=,故D正确.故选AD. 3.经过点(1,1),且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程是　　　　　　.  解析:设所求直线方程为2x+3y+m=0,代入点(1,1),得m=-5,故所求直线方程为2x+3y-5=0. 答案:2x+3y-5=0 题型(三)　直线的一般式方程的应用 [例3]　已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点. (1)证明:直线l过定点; (2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值. 解:(1)证明:已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),则(x-2y)m+2x-y-3=0,由解得即直线l过定点(2,1). (2)设直线的方程为+=1,a>0,b>0,则A(a,0),B(0,b),又直线l过定点(2,1), 所以+=1.又点P(-1,-2),则·=(a+1,2)·(1,b+2)=a+2b+5=(a+2b)+5=9++≥9+2=13,当且仅当=,即a=4,b=2时取等号,所以直线l的方程为x+2y-4=0,所以直线l过(4,0),即4(m+2)-3=0,解得m=-. 　　|思|维|建|模| 含参直线方程的研究策略 (1)明确各种形式方程的系数的几何意义.如点斜式中的斜率k和定点(x0,y0),斜截式中的斜率k和y轴上的截距b,两点式中的两点坐标,截距式中x轴和y轴上的截距a,b. (2)对已知方程进行必要的转化. 　　[针对训练] 4.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值; (2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围. 解:(1)由条件知,a≠0且a≠, 在直线l的方程中,令y=0得x=, 令x=0得y=, ∴=×3,解得a=1或a=, 经检验,a=1,a=均符合要求, 故实数a的值为1或. (2)当a=时,直线l的方程为x+=0. 即x=-1,此时直线l不通过第四象限; 当a≠时,直线l的方程为y=x+. 直线l不通过第四象限,即 解得<a≤1, 综上所述,当直线l不通过第四象限时,实数a的取值范围为. [课时检测] 1.直线+=1化成一般式方程为 (　　) A.y=-x+4 B.y=-(x-3) C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12 解析:选C　由+=1可得4x+3y=12,即4x+3y-12=0. 2.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　　) A.m≠0 B.m≠- C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0 解析:选C　因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1. 3.经过点(1,),倾斜角为120°的直线方程为 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y=0 C.x+y-4=0 D.x-y+2=0 解析:选A　因为直线斜率为tan 120°=-,所以该直线方程为y-=-(x-1),即x+y-2=0. 4.如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选B　因为AC<0,且BC>0,所以A,B,C均不为零,由直线方程Ax+By+C=0,可化为y=-x-,因为AC<0,且BC>0,可得k=->0,y轴截距-<0,所以直线通过第一、三、四象限,不通过第二象限. 5.若直线a2x+y-1=0的斜率大于-4,则a的取值范围为 (　　) A.(-2,2) B.(-2,0)∪(0,2) C.(-∞,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析:选A　直线a2x+y-1=0,即y=-a2x+1,则直线的斜率为-a2,即-a2>-4,解得-2<a<2.所以a的取值范围为(-2,2). 6.已知直线l的斜率与直线3x+4y-5=0的斜率相等,且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 (　　) A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0 C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0 解析:选C　直线3x+4y-5=0的斜率为-,可设l的方程为y=-x+b.令y=0,得x=b,由题可知·|b|=24,得b=±6,由于直线l在第一象限与坐标轴围成三角形,所以b=6,所以选C. 7.(多选)已知直线l1:mx-y+1=0,直线l2:x-my+1=0,则下列命题正确的是 (　　) A.直线l1恒过点(0,1) B.若直线l2的方向向量为(1,1),则m=-1 C.若l1∥l2,则m=±1 D.若l1⊥l2,则m=0 解析:选AD　直线l1:y=mx+1,由解得x=0,y=1,即直线l1过定点(0,1),所以A正确;若直线l2的方向向量为(1,1),可得直线l2的斜率为k2=1,所以=1,解得m=1,所以B错误;由l1∥l2,可得m×(-m)-(-1)×1=0,即m2=1,解得m=±1,当m=1时,直线l1与l2重合;当m=-1时,直线l1与l2平行,所以C错误;由l1⊥l2,可得m×1+(-1)×(-m)=0,解得m=0,所以D正确. 8.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞) C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ 解析:选C　若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限.若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限.若a≠0且a≠2,将l的方程转化为y=-x-,因为l经过第四象限,所以-<0或解得a<0或<a<2或a>2.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪,故选C. 9.(5分)若直线l经过点P(-2,-1)且一个方向向量为n=(6,8),则直线l的一般式方程为　　　　　　　.  解析:因为直线l的一个方向向量为n=(6,8),所以直线l的斜率为k=,由点斜式得直线l的方程为y+1=(x+2),即4x-3y+5=0. 答案:4x-3y+5=0 10.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是　　　　.  解析:由已知得∴m=3. 答案:3 11.(5分)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),则△ABC的欧拉线的一般式方程为　　　　　　　　.  解析:由△ABC的顶点A(-3,0),B(3,0),C(3,3),可知△ABC的重心为点,即点(1,1).由题意,可知BC⊥AB,所以△ABC的外心为斜边的中点,即点,所以△ABC的欧拉线的方程为=,即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 12.(5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为　　　　　　　　. 解析:因为l:mx+y-m+2=0⇒y+2=-m(x-1),即直线l过定点Q(1,-2),斜率为-m,因为kQM==-2,kQN==5, 如图所示,所以-m≤-2或-m≥5,解得m≥2或m≤-5. 答案:(-∞,-5]∪[2,+∞) 13.(10分)菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),边BC所在直线过点P(4,-1). (1)求边BC,AD所在直线的一般式方程;(5分) (2)求对角线BD所在直线的一般式方程.(5分) 解:(1)由菱形的性质可知BC∥AD,则kAD=kBC=kCP==-2. 所以边BC所在直线的方程为y+5=-2(x-6),即2x+y-7=0; 边AD所在直线的方程为y-7=-2(x+4),即2x+y+1=0. (2)设线段AC的中点为E,则E(1,1),kAC==-,由菱形的几何性质可知,BD⊥AC且E为BD的中点,则kBD=-=, 所以对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0. 14.(10分)已知直线l过点P(2,3),根据下列条件分别求出直线l的方程: (1)直线l的倾斜角为135°;(3分) (2)直线l与直线x-2y+1=0垂直;(3分) (3)直线l与直线x-2y+1=0平行.(4分) 解:(1)因为直线l的倾斜角为135°,所以直线l的斜率为tan 135°=-1, 由直线l过点P(2,3),得直线l的方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0. (2)因为直线l与直线x-2y+1=0垂直,所以设直线l的方程为2x+y+c=0. 又直线l过点P(2,3),所以2×2+3+c=0,解得c=-7,所以直线l的方程为2x+y-7=0. (3)因为直线l与直线x-2y+1=0平行,所以设直线l的方程为x-2y+m=0. 又直线l过点P(2,3),所以2-2×3+m=0,解得m=4,所以直线l的方程为x-2y+4=0. 15.(10分)已知直线l1:2x+ay+4=0与直线l2平行,且l2过点(2,-2),并与坐标轴围成的三角形面积为,求a的值. 解:由l2与l1:2x+ay+4=0平行,可设l2的方程为2x+ay+c=0(c≠4).令x=0,得y=-;令y=0,得x=-.因为直线l2与坐标轴围成的三角形面积为,所以=,解得c2=4,所以c=±2且a>0.又2x+ay+c=0过点(2,-2),所以有4-2a+c=0,从而a=1或a=3. 16.(15分)已知直线l1:x+y+4-3m=0. (1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M;(7分) (2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小,求直线l2的方程.(8分) 解:(1)证明:将直线l1的方程化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0, 解方程组解得 故直线l1恒过定点M. (2)由题意可知,直线l2的斜率存在且不为零, 设直线l2的方程为y+2=k, 令x=0,可得y=k-2, 令y=0,可得x=-1, 由已知可得解得k<0, 所以三角形面积为S==≥=4,当且仅当k=-2时,等号成立,此时直线l2的方程为y+2=-2,即2x+y+4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$