2.1.1 倾斜角与斜率(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

　直线和圆的方程 　　　　　　　2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.结合图形,探索确定直线位置的几何要素:点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解倾斜角与斜率的关系,会求倾斜角与斜率范围. 逐点清(一)　直线的倾斜角 [多维理解] 定义 当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 范围 直线的倾斜角α的取值范围为{α|0°≤α<180°},并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0° |微|点|助|解| (1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等. (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画,是对直线的倾斜程度的刻画,是相对于x轴正向位置的刻画,如图. 倾斜角 α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任意一条直线都有唯一的倾斜角. (　　) (2)一条直线的倾斜角可以为-30°. (　　) (3)倾斜角为0°的直线有无数条. (　　) (4)若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1). (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°,得直线l1,则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析:选D　根据题意,画出图象,如图所示. 因为0° ≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知,当0°≤α<140°时,l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时,l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. 3.已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为　　　　. 解析:设直线l2的倾斜角为α2,l1和l2向上的方向所成的角为120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°. 答案:135° 4.已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为　　　　.  解析:有两种情况:①如图(1),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°. ②如图(2),直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°. 答案:60°或120° 逐点清(二)　直线的斜率 [多维理解] 1.直线的斜率 定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α 公式 如果直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),可得斜率公式为k= 2.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 (范围) α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α <180° 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) |微|点|助|解| (1)每条直线都有唯一的倾斜角,但不是所有直线都有斜率,倾斜角为90°的直线不存在斜率. (2)不同的倾斜角对应不同的斜率,当倾斜角不是90°时,倾斜角的正切值就是斜率,此时斜率和倾斜角可以相互转化. (3)当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90°. (4)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关. (5)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (6)若直线与x轴平行或重合,则k=0. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)任一条直线都有倾斜角,都存在斜率. (　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α. (　　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知直线l经过A(-1,0),B(1,2)两点,则直线l的倾斜角是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设直线l的倾斜角为α,由已知可得直线l的斜率k=tan α==1,又α∈[0,π),所以倾斜角是,故选B. 3.若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.{α|0°≤α<90°} B.{α|90°≤α<180°} C.{α|90°<α<180°} D.{α|0°≤α<180°} 解析:选C　因为直线l经过第二、三、四象限,所以直线l的斜率小于0,所以直线l的倾斜角为钝角,故选C. 4.若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为 (　　) A.-2 B.2 C.-3 D.3 解析:选D　因为3≠1,所以直线AB斜率存在.又A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=3. 5.已知直线l1经过点M(-4,3),N(8,-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半,则直线l2的斜率为　　　　　　.  解析:设直线l1的倾斜角为α,则直线l1的斜率k1=tan α==-,由于α∈[0,π),所以sin α=,cos α=-,所以直线l2的斜率k2=tan===5. 答案:5 逐点清(三)　直线的方向向量 [多维理解] 　　一般地,如果已知(x,y)为直线l的一个方向向量,则 (1)当x=0时,直线l的斜率不存在,倾斜角为90°. (2)当x≠0时,直线l的斜率存在,设为k,则k=,即斜率为k的直线的一个方向向量的坐标可以为(1,k). |微|点|助|解| (1)任意的直线都有方向向量,且不唯一; (2)直线的方向向量是非零向量; (3)任意斜率不存在时的直线的一个方向向量为a=(0,1); (4)斜率存在时的直线的方向向量a=(1,k); (5)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ)(θ为倾斜角). [微点练明] 1.若向量a=(3,1)是直线l的一个方向向量,则直线l的斜率为 (　　) A.- B. C.3 D.-3 解析:选B　由直线l的一个方向向量为a=(3,1),则斜率k=,故选B. 2.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角θ= (　　) A.0 B. C. D. 解析:选B　由题意知,因为直线l的一个方向向量为(,1),所以直线l的斜率k==.又k=tan θ,所以tan θ=.因为θ∈[0,π),所以θ=. 3.若直线l的倾斜角为,方向向量为e=(-1,a),则实数a的值是 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　∵直线l的方向向量为e=(-1,a),∴直线l的斜率为k==-a.又直线的倾斜角α=,∴斜率k=tan=-=-a,解得a=. 4.已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2,则直线l的一个方向向量为　　　　.  解析:不妨令直线l的一个方向向量为(x,y),则k=,所以可以取x=1,则y=2,此时直线l的一个方向向量为(1,2)(答案不唯一). 答案:(1,2) 逐点清(四)　直线的倾斜角与斜率的综合应用 [典例]　已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 解:如图,由题意知kPA==-1,kPB==1.要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求直线l的倾斜角α的取值范围. 解:由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}. 2.若本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 解:由本例知与线段AB有公共点时,斜率k满足k≤-1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(-1,1). 3.若本例改为“已知两点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上”,求的最大值. 解:设Q(3,0), 则kAQ==-3,kBQ==-, ∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点, ∴的取值范围是, 故的最大值为-. 　　|思|维|建|模| 数形结合法解决范围问题 　　已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围,如果直线PA,PB的斜率都存在,则步骤如下: (1)连接PA,PB; (2)由k=求出kPA,kPB; (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. 　　[针对训练] 1.点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上,当x∈[2,5]时,的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为点M(x,y)在函数y=2x+4的图象上,所以当x=2时,y=8;当x=5时,y=14;故设A(2,8),B(5,14),而可看作函数y=2x+4的图象上的点与点P (-1,-2)连线的斜率,故当x∈[2,5]时,kPB≤≤kPA,而kPA=,kPB=,所以 ≤≤,故选B. 2.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围. 解:(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为. (2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以由(1)知直线AD的斜率的变化范围是. [课时检测] 1.如图,直线l的倾斜角为 (　　) A.60° B.120° C.30° D.150° 解析:选D　由题图易知l的倾斜角为45°+105°=150°. 2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5) 解析:选D　对于D,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在. 3.已知倾斜角为的直线过A(1,0),B(0,m),则m= (　　) A. B.- C.- D. 解析:选C　由题意得=tan,解得m=-,故选C. 4.如图,斜率分别为k1,k2,k3的直线l1,l2,l3的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1 解析:选C　由k=tan α,结合y=tan x的函数图象可知,直线l3对应的倾斜角为钝角,则k3<0,直线l1与l2都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角,则k2>k1>0,故k2>k1>k3. 5.(多选)下列四个命题中,正确的是 (　　) A.若直线的倾斜角为θ,则sin θ≥0 B.直线的倾斜角θ的取值范围为[0,π) C.若一条直线的倾斜角为θ,则此直线的斜率为tan θ D.若一条直线的斜率为tan θ,则此直线的倾斜角为θ 解析:选AB　因为直线的倾斜角的取值范围是[0,π),即θ∈[0,π),所以sin θ≥0,当θ≠时直线的斜率 k=tan θ,所以C错误,A、B正确;若直线的斜率k=tan =,此时直线的倾斜角为,所以D错误. 6.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,b)在同一直线上,则实数b等于 (　　) A.-12 B.-6 C.6 D.12 解析:选C　因为kAB=kAC,又kAB==3,kAC==,所以3=,即b=6. 7.在平面直角坐标系内,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0,则边AC,AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2 B.0 C. D.2 解析:选B　由题意知,△ABC的边AC,AB所在直线的倾斜角分别为60°,120°,所以边AC,AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0. 8.已知直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.[0,2] B.[0,1] C. D. 解析:选A　如图所示,当直线l在l1的位置时,k=tan 0°=0;当直线l在l2的位置时,k==2,故直线l的斜率的取值范围是[0,2]. 9.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a= (　　) A. B. C.1 D. 解析:选B　设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α,且tan 2α=,由题可知 tan 2α=kAC=,tan α=kAB=,所以=,解得a=.故选B. 10.直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A. B.(-∞,-2]∪[1,+∞) C.[-2,1] D.∪[1,+∞) 解析:选D　∵直线l过点M(-1,2),且与以P(-4,-1),Q(3,0)为端点的线段相交,如图所示,∴所求直线l的斜率k满足kPM≤k或k≤kMQ.又kPM==1,kMQ==-,则k≥1或k≤-,∴k∈∪[1,+∞). 11.(5分)若斜率为2的直线经过点A(-2,3),B(2m+1,1),则实数m=　　　　.  解析:kAB===2,解得m=-2. 答案:-2 12.(5分)直线l经过点(-1,0),倾斜角为150°,若将直线l绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l',则直线l'的斜率为　　　　.  解析:因为直线l的倾斜角为150°,所以绕点(-1,0)逆时针旋转60°后,得到直线l'的倾斜角α=(150°+60°)-180°=30°,斜率k=tan α=tan 30°=. 答案: 13.(5分)一束光线从点M(2,4)射入,经x轴上点S反射后经过点N(9,3),则反射光线的倾斜角为　　　　.  解析:设S(t,0),由反射定律可知kMS=-kNS,即=-,解得t=6,则反射光线的斜率kNS==1,所以反射光线的倾斜角为45°. 答案:45° 14.(10分)已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时, (1)直线l与x轴平行?(2分) (2)直线l与y轴平行?(2分) (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1)?(2分) (4)直线的倾斜角为45°?(2分) (5)直线的倾斜角为锐角?(2分) 解:(1)若直线l与x轴平行,则直线l的斜率k==0,∴m=1. (2)若直线l与y轴平行,则直线l的斜率不存在,∴m=-1. (3)直线l的方向向量的坐标为(3,1),故直线l的斜率k=,即=,解得m=. (4)由题意可知,直线l的斜率k=1,即=1,解得m=0. (5)由题意可知,直线l的斜率k>0,即>0,解得-1<m<1,故m的取值范围为(-1,1). 15.(10分)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,求证:若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0. 证明:由题意知kAB=,kAC=,又A,B,C三点共线,∴kAB=kAC,∴=, ∴+x1x2+=+x1x3+,∴(x2-x3)(x1+x2+x3)=0,∵x2≠x3,∴x1+x2+x3=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$