5.4.1 二项式定理的推导(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　　　　　　[课时目标] 1.能用计数原理证明二项式定理.　2.掌握二项式定理及其展开式的通项. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. (a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn.可以简写成(a+b)n= . (1)这个公式称为二项式定理. (2)二项展开式:等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，二项展开式中共有(n+1)项. (3)二项式系数:各项的系数(k=0，1，2，…，n)称为二项式系数. (4)二项式通项:(a+b)n的二项展开式的第(k+1)项称为二项式通项，记作Tk+1=an-kbk. |微|点|助|解| (1)每一项中a与b的指数和为n; (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止; (3)若a与b的位置交换，则展开式形式变化; (4)an-kbk表示的是第(k+1)项; (5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题. 基础落实训练 1.若N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4，则N= (　　) A.(x-1)4 B.(x+1)4 C.(x-3)4 D.(x+3)4 解析:选B　N=16+32(x-1)+24(x-1)2+8(x-1)3+(x-1)4=(x-1)4+(x-1)3·2+(x-1)2·22+(x-1)·23+24=(x-1+2)4=(x+1)4. 2.二项式的展开式中，含x2项的系数是 (　　) A.-462 B.462 C.792 D.-792 解析:选D　展开式的通项为 x12-k(-1)kx-k=(-1)kx12-2k，k∈{0，1，2，…，12}，令12-2k=2，解得k=5，所以x2项的系数是(-1)5 =-792. 3.用二项式定理展开(x+2)4=　　　　　　　　.  解析:(x+2)4=x420+x321+x222+x123+x024=x4+8x3+24x2+32x+16. 答案:x4+8x3+24x2+32x+16 题型(一)　二项式定理的正用和逆用 [例1]　(1)设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1，则S等于 (　　) A.(x-1)3 B.(x-2)3 C.x3 D.(x+1)3 (2)用二项式定理展开(2x+)4=　　　　.  解析:(1)S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3×10+(x-1)2×1+(x-1)×12+×13=[(x-1)+1]3=x3. (2)(2x+)4=(2x)4()0+(2x)3·()1+(2x)2()2+(2x)1()3+(2x)0·()4=16x4+32+24x3+8+x2. 答案:(1)C　(2)16x4+32+24x3+8+x2 |思|维|建|模|　二项式定理的正、逆用 正用 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点:前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a-b)n的展开式会出现正负项间隔的情况.对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开 逆用 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 　　 [针对训练] 1.(1)求的展开式; (2)化简:(x+1)n-(x+1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n. 解:(1)法一　=(3)4+(3)3·+(3)2·+(3)·+=81x2+108x+54++. 法二　==(1+3x)4=[1+·3x+(3x)2+(3x)3+(3x)4] =(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. (2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 题型(二)　二项展开式项的系数 [例2]　(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数; (2)求的展开式中x3的系数. 解:(1)由已知得二项式通项为 Tk+1=(2)6-k· =26-k·(-1)k·， ∴T6=26-5·(-1)5·=-12. ∴第6项的二项式系数为=6， 第6项的系数为-12. (2)设展开式中的第(k+1)项为含x3的项， 则Tk+1=x9-k·=(-1)k··x9-2k， 令9-2k=3，得k=3，即展开式中第4项含x3， 其系数为(-1)3·=-84. |思|维|建|模| 二项式通项的应用的常见题型 (1)求第k项，Tk=an-k+1bk-1; (2)求含xk的项(或xpyq的项); (3)求项的系数或二项式系数. 　　[针对训练] 2.已知二项式. (1)求展开式的第4项的二项式系数; (2)求展开式的第4项的系数; (3)求展开式的第4项. 解:的展开式的通项是 Tk+1=(3)10-k =310-k·(k=0，1，2，…，10). (1)展开式的第4项(k=3)的二项式系数为 =120. (2)展开式的第4项的系数为 37=-77 760. (3)展开式的第4项为T4=T3+1=-77 760. 题型(三)　与展开式中特定项有关的问题 [例3]　(1)在二项式的展开式中，x的指数为整数的项的个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若的展开式的常数项为60，则实数a的值为 (　　) A.4 B.2 C.8 D.6 解析:(1)展开式的通项为Tr+1==，r=0，1，2，3，4，5，6，7. 当r=1，3，5，7时，x的指数为整数，共有4项. (2)的展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2，则常数项为(-1)2a=60，解得a=4. 答案:D　(2)A |思|维|建|模| 求展开式中特定项的方法 求展开式中特定项的关键是抓住其通项，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解.判断有理项的方法是要保证字母的指数一定为整数. 　　[针对训练] 3.在的展开式中，系数为有理数的项是 (　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析:选C　在的展开式中，根据通项Tk+1=(x2)7-k可知，k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数. 4.二项式的展开式的中间项为　　　　.  解析:设的展开式的通项为Tr+1=(-1)r，总共11项，中间项为第6项，此时r=5， 所以T6=(-1)5=-252. 答案:-252 [课时检测] 1.已知S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3，则S可化简为 (　　) A.x4 B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4 解析:选A　S=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4，故选A. 2.(1-2x)8展开式中第4项的二项式系数为 (　　) A.-448 B.1 120 C.56 D.70 解析:选C　(1-2x)8展开式中第4项的二项式系数为=56. 3.的展开式中常数项为 (　　) A.-24 B.-4 C.4 D.24 解析:选D　展开式的通项Tr+1=x4-r(-2)rx-r=(-2)rx4-2r，令4-2r=0，解得r=2，故T3=(-2)2=24，故常数项为24. 4.(2024·北京高考)(x-)4的二项展开式中x3的系数为 (　　) A.15 B.6 C.-4 D.-13 解析:选B　(x-)4的二项展开式的通项为Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r(r=0，1，2，3，4)，令4-=3，解得r=2，故所求即为(-1)2=6. 5.的展开式中所有有理项的系数和为 (　　) A.85 B.29 C.-27 D.-84 解析:选C　展开式的通项为Tr+1=x8-r·=(-1)r，其中r=0，1，2，3，4，5，6，7，8，当r=0，3，6时为有理项，故有理项系数和为(-1)0+(-1)3+(-1)6=1+(-56)+28=-27，故选C. 6.(x-y)7的展开式中x3y4的系数为-105，则实数m= (　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:选D　(x-y)7的展开式的通项为Tr+1=(-1)rx7-ryr，所以Tr+1=(-1)rx6-r·yr+1.令解得r=3，mTr+1=m·(-1)rx7-ryr.令解得r=4.由题意，可知(-1)3+m·(-1)4=-+m=(m-1)=-105，所以m=-2. 7.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为 (　　) A.0，0，0，0 B.-4，6，-3，0 C.4，-6，4，-1 D.-4，6，-4，1 解析:选D　依题意，得x4=[(x+1)-1]4=·(x+1)4·(-1)0+·(x+1)3·(-1)+·(x+1)2·(-1)2+·(x+1)1·(-1)3+·(x+1)0·(-1)4=(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1，又x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4，所以b1=-4，b2=6，b3=-4，b4=1. 8.(5分)展开=　　　　.  解析:=(2x)5-(2x)4+(2x)3-(2x)2+(2x)-=32x5-80x2+-+-. 答案:32x5-80x2+-+- 9.(5分)已知的展开式中的常数项为-160，则a=　　　.  解析:的常数项为(2x)3=23(-a)3，因此23(-a)3=-160，解得a=1. 答案:1 10.(5分)二项式的展开式中x2y3的系数是　　　　.  解析:展开式的通项为Tk+1=(3x)5-k·=35-kx5-kyk，令k=3，则T4=32x2y3=-x2y3. 答案:- 11.(5分)设常数a>0，展开式中x3的系数为，则a=　　　.  解析:设展开式的通项为Tr+1=·(ax2)4-r=·a4-r·(-1)r·，由题意可得，当r=2时，·a2·(-1)2=，解得a=. 答案: 12. (5分)已知(1+x)m+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+aixi(m，n∈N+，i=max{m，n})对任意实数x都成立，若a1=12，则a2的最小值为　　　　.  解析:由题意得，a1=+=m+n=12. a2=+=+===-6=-6=-6=66-mn. 因为m+n=12≥2，所以mn≤36，当且仅当m=n=6时等号成立， 所以a2=66-mn≥30，即a2的最小值为30. 答案:30 13.(10分)(1)求的展开式;(5分) (2)化简(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).(5分) 解:(1)由二项式定理可得， =()4-()3·+·()2·-()1·+=x2-2x+-+. (2)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1. 14.(10分)已知二项式的展开式中共有10项. (1)求展开式的第5项的二项式系数;(3分) (2)求展开式中的常数项.(7分) 解:(1)由题意可得n=9， 所以展开式的第5项的二项式系数为=126. (2)展开式的通项为Tr+1=·=(-1)r， 其中r=0，1，2，…，9，令=0，得r=3，所以展开式中的常数项为(-1)3··=-. 15.(15分)已知f(x)=的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为5∶2. (1)求f(x)展开式中的常数项;(8分) (2)若(1+ax)f(x)的展开式中含x3项的系数为20，求a的值.(7分) 解:(1)因为===，即n2-5n-24=0， 解得n=8或n=-3(舍去)，所以f(x)展开式中的常数项为()4=1 120. (2)(1+ax)f(x)=(1+ax)的展开式中含x3项的系数为(-2)+a(-2)2=20，解得a=. 5 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $$