5.2 第1课时 排列与排列数及排列数公式(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§2　排列问题 第1课时　排列与排列数及排列数公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标]　理解并掌握排列及排列数的概念，能用计数原理推导排列数公式，能用排列数公式解决简单的实际问题. 逐点清(一)　排列的概念 [多维理解] 排列及排列问题 排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 排列问题 把有关求排列的个数的问题叫作排列问题 |微|点|助|解| (1)要求m≤n，按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同. (2)判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑: ①“取”指检验取出的m个元素是否重复； ②“排”指检验取出的m个元素是否有顺序，其判断标准是，交换两个元素位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. [微点练明] 1.下列问题是排列问题的是 (　　) A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法? B.10个人互相通信一次，共写了多少封信? C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线? D.从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种? 解析:选B　从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，故A不符合题意；10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，故B符合题意；平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，故C不符合题意；从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，故D不符合题意. 2.用具体数字表示下列问题. (1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数； (2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数. 解:(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个). (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个). (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2=120(个)分配方案. 3.四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法?将它们列出来，并计算. 解:先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理得，有4×3×2×1=24(种)， 画出树状图. 由树状图可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. =4×3×2×1=24. 逐点清(二)　排列数公式 [多维理解] 1.排列数公式 (1)从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种，所以=n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].上述这个公式叫作排列数公式. (2)当m=n时，=n(n-1)(n-2)·…·2·1，记作n!，读作:n的阶乘. 2.阶乘的相关结论 (1)规定:=1，0!=1. (2)排列数公式的另一种形式:=(m≤n，且m，n∈N+). (3)=n(m≤n，且m，n∈N+). (4)=m+(m≤n，且m，n∈N+). |微|点|助|解| (1)排列数公式的特点: ①公式中的m，n应该满足:m，n∈N+，并且m≤n，当m>n时不成立. ②排列数公式右边是若干数的连乘积，其特点是:第一个因数是n(下标)，后面的每一个因数都比它前面的因数小1，最后一个因数为n-m+1(下标-上标+1)，共有m(上标)个连续自然数相乘. (2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N+)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N+)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数，所以只表示排列数，而不表示具体的排列. [微点练明] 1.(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)(x∈N+，x>15)可表示为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　(x-2)(x-3)(x-4)·…·(x-15)====. 2.若=12，则n= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　由排列数公式可得=n(n-1)=12，解得n=4或n=-3.由于n≥2且n∈N+，故n=4. 3.计算=　　　　；化简+2+3+…+n=　　　　.  解析:第一空:====. 第二空:因为k=(k+1)-=-， 所以+2+3+…+n=1+(-)+(-)+…+(-) =1-+=-1. 答案:　-1 4.计算:(1)；(2)；(3)-；(4). 解:(1)=12×11×10×9=11 880. (2)=6×5×4×3×2×1=720. (3)-=9×8×7×6-9×8×7 =9×8×7×5=2 520. (4)===21. 逐点清(三)　排列数公式的应用 [典例]　(1)解不等式<6； (2)证明:-=m. 解:(1)由<6， 得<6×， 化简得x2-19x+84<0，解得7<x<12.　① 又∴2<x≤8，　② 由①②及x∈N+得x=8.故原不等式的解集为{8}. (2)证明:∵-=-=·=·=m·=m， ∴-=m. |思|维|建|模| 　　排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质.提取公因式，可以简化计算. 　　[针对训练] 1.解不等式:3+12≤11. 解:由题意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11(x+1)x，化简得2x2-7x+3≤0， 即(2x-1)(x-3)≤0，所以≤x≤3.因为x≥2，且x∈N+，所以不等式的解集为{2，3}. 2.解方程:=140. 解:易知所以x≥3，x∈N+. 由=140，得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2)， 化简得4x2-35x+69=0， 解得x1=3，x2=(舍去).所以原方程的解为x=3. 3.证明:=1·3·5·…·(2n-1). 证明:因为左边= = = ==1·3·5·…·(2n-1)=右边，所以原等式成立. [课时检测] 1.[多选]下列问题是排列问题的是 (　　) A.从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组 B.从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动 C.从a，b，c，d中选出3个字母 D.从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数 解析:选AD　由排列的定义知A、D是排列问题. 2.等于 (　　) A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3 答案:C 3.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为 (　　) A.6 B.4 C.8 D.10 解析:选B　列树状图如图所示.故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 4.-的值是 (　　) A.480 B.520 C.600 D.1 320 解析:选C　=12×11×10=1 320，=10×9×8=720，故-=1 320-720=600. 5.[多选]下列等式成立的是 (　　) A.=(n-2) B.= C.n= D.= 解析:选ACD　=(n-2)(n-1)n=(n-2)，A正确；==，当n>2时，≠，B错误；n=n·(n-1)!=n!=，C正确；=·==，D正确. 6.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为 (　　) A.9 B.12 C.15 D.18 解析:选B　本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为 由此可知共有12个符合题意的四位数. 7.已知=100(n∈N+，n≥2)，则n= (　　) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:选C　因为=100(n∈N+，n≥2)，所以2n(2n-1)(2n-2)=100n(n-1)，整理可得2n-1=25，解得n=13，经检验，满足题意. 8.(5分)从6个不同元素中取出2个元素的排列数为　　　　.(用数字作答)  解析:根据题意，结合排列数公式得=6×5=30. 答案:30 9.(5分)计算:=　　　　.  解析:因为=7×6×=6×，所以原式==36. 答案:36 10.(5分)从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是　　　　.(结果用数字作答)  解析:从某班7名学生干部中选择2名，分别参加周一早上和周五下午的校门口志愿服务活动，则不同的安排方法数是=42. 答案:42 11.(5分)一条铁路线原有n个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，则原有车站　　　个，现有车站　　　个.  解析:由题意可得，-=58，即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58，解得n=14.故原有车站14个，现有车站16个. 答案:14　16 12.(5分)已知m，n，p均为正整数，则满足m!+n!=5p的一组解为(m，n，p)=　　　　.  解析:因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0，5p尾数为5，所以m，n≤4，而1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，所以可得(m，n，p)=(1，4，2)或(4，1，2). 答案:(1，4，2)(或(4，1，2)，写出一个即可) 13.(10分)京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站. (1)计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票?(8分) (2)计算排列数.(2分) 解:(1)对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站， 因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数，即21×20=420. 所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票. (2)=21×20=420. 14.(10分)计算下列各题: (1)；(3分) (2)若3=2+6，求n；(3分) (3)解不等式:3≤2+6.(4分) 解:(1)==1. (2)由3=2+6，得 3n(n-1)(n-2)=2(n+1)n+6n(n-1). 所以3n2-17n+10=0. 解得n=5或n=(舍去). 因为n≥3且n∈N+，所以n=5. (3)因为=x(x-1)(x-2)，=(x+1)x，=x(x-1)，所以原不等式可化为3x(x-1)·(x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1).因为x≥3，解得3≤x≤5.易知x∈N+，所以原不等式的解集为{3，4，5}. 5 / 73 学科网（北京）股份有限公司 $$