3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§4　向量在立体几何中的应用 4. 1　直线的方向向量与平面的法向量 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.能用向量语言表述直线和平面. 　　2.理解直线的方向向量与平面的法向量. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量. 1.直线的方向向量 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量.与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量. 2.直线的向量表示 已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量.那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得=ta.反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上.因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. |微|点|助|解| (1)空间中，一个向量若是直线l的方向向量，必须满足两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 3.平面的法向量 (1)如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，记作n⊥α. (2)设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有·n=0.反过来，满足此式的点P都在平面α内，所以把此式称为平面α的一个向量表示式. |微|点|助|解| 　　在求平面的法向量时，方程组有无数多个解，所以平面的法向量不是唯一的，只需给x，y，z中的一个变量赋予一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的一个法向量，则·n=0. (　　) (2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行. (　　) 答案：(1)√　(2)√ 2.若A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为 (　　) A. B. C. D. 答案：D 3.已知直线l的一个方向向量m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(-1，2，z)两点，则y-z= (　　) A.0 B.1 C. D.3 答案：A 4.已知向量==，则平面ABC的一个法向量为 (　　) A. B. C. D. 答案：D 5.经过点(1，1，1)且与z轴垂直的平面的方程为　　　　　　.  解析：因为与z轴垂直的平面的一个法向量n=(0，0，1)，所以所求平面的方程为z-1=0. 答案：z-1=0 题型(一)　求直线的方向向量 [例1]　如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1，B1D=2DC1，CE=EC1，设=a，=b，=c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线AD，AE的方向向量. 解：=+=++ =++ =++ =++=a+b+c， 所以直线AD的一个方向向量是a+b+c. =+=+ =+ =+=b+c， 所以直线AE的一个方向向量为b+c. |思|维|建|模| 　　求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. [针对训练] 1.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　　.  解析：因为DD1∥AA1，=(0，0，1)，故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；因为BC1∥AD1，=(0，1，1)，故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). 答案：(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量. 证明：连接MO(图略)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC的中点，又M是PC的中点， ∴MO∥PA. ∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， ∴PA∥平面BDM.∵PA⊂平面PAG，平面PAG∩平面BDM=GH， ∴PA∥GH，∴是直线GH的一个方向向量. 题型(二)　直线方向向量表示的应用 [例2]　在空间直角坐标系中，已知点A(-2，1，-1)，B(1，-3，4)，C(1，0，-3)，P为直线AC上的一点，且BP⊥AC，求的值. 解：设=t，因为=(3，-1，-2)，=(-3，4，-5)，所以=+=+t=(-3，4，-5)+t(3，-1，-2)=(3t-3，4-t，-5-2t). 又BP⊥AC，所以·=0，即(3，-1，-2)·(3t-3，4-t，-5-2t)=0，解得t=.故=. |思|维|建|模| 　　直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的，然后根据共线建立方程组求解. 　　[针对训练] 3.已知在空间直角坐标系O-xyz中，点A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点，且3||=||，则点C的坐标为　　　　.  解析：由题意得=(-2，-6，-2). ∵C为线段AB上一点，且3||=||， ∴=，∴=+=(4，1，3)+(-2，-6，-2)=.故点C的坐标为. 答案： 题型(三)　平面的法向量 [例3]　如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1). (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA=A， ∴AD⊥平面SAB， ∴=是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中， ==(1，1，-1). 设平面SCD的一个法向量n=(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，∴得 令y=-1，则z=1，x=2， ∴n=(2，-1，1). 即n=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量. |思|维|建|模| 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n=(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量. (3)列方程组： (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. 　　[针对训练] 4.已知点A(1，0，0)，B1，D1(0，0，2)，C(0，1，0)，若在平面AB1D1内存在点E，使得CE⊥平面AB1D1，则点E的坐标是　　　　　.  解析：不妨设点E的坐标为(x0，y0，z0)，平面AB1D1的一个法向量为n=(x1，y1，z1)， 因为A(1，0，0)，B1，D1(0，0，2)，C(0，1，0)， 所以=(0，1，2)，=(-1，0，2)，=(x0，y0-1，z0)，=(x0-1，y0，z0)， 因为CE⊥平面AB1D1，所以CE⊥AB1，CE⊥AD1，所以即　 ①. 又由⇒不妨令z1=1，则x1=2，y1=-2，故n可以取(2，-2，1)， 从而·n=0，即2x0-2y0+z0=2　②， 联立①②可得，x0=，y0=，z0=，故点E的坐标为. 答案： 5.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求： (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 解：(1)由题意，可得D(0，0，0)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)， 连接AC，因为底面ABCD为正方形， 所以AC⊥BD. 又因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以DD1⊥AC， 且BD∩DD1=D，则AC⊥平面BDD1B1，所以=(-2，2，0)为平面BDD1B1的一个法向量.(答案不唯一). (2)=(2，2，0)， =(1，0，2). 设平面BDEF的一个法向量为n=(x，y，z)， 则所以令x=2，得y=-2，z=-1，所以n=(2，-2，-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一). [课时检测] 1.若A(-1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 (　　) A.(1，2，3) B.(1，3，2) C.(2，1，3) D.(3，2，1) 解析：选A　因为=(2，4，6)，又(1，2，3)=(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量. 2.若n=(2，-3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的一个法向量的是 (　　) A.(0，-3，1) B.(2，0，1) C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1) 解析：选D　由题意可得，要求平面α的一个法向量，即求与n共线的一个向量.易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1). 3.平面α的一个法向量n=(1，2，3)，P(1，1，1)，P∈α，Q∈α，则点Q的坐标可以是 (　　) A.(-1，-1，-1) B.(4，2，-1) C.(3，2，1) D.(2，2，0) 解析：选D　设点Q(x，y，z)在平面α上，因为P(1，1，1)，所以=(x-1，y-1，z-1)，由·n=(x-1) ×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0，得x+2y+3z=6，依次验证选项，只有D满足. 4.在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(1，0，2)，B(0，1，0)，C(-2，1，1)，向量n=(1，λ，μ)是平面α的一个法向量，则λ+μ= (　　) A.-7 B.-5 C.5 D.7 解析：选D　因为=(-1，1，-2)，=(-2，0，1)，所以n·=-1+λ-2μ=0，n·=-2+μ=0，可得μ=2，λ=5，所以λ+μ=7. 5.已知点A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C为线段AB上一点且=，则点C的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且=，∴=，即(x-4，y-1，z-3)=(-2，-6，-2)，∴∴x=，y=-1，z=. 因此点C的坐标为.故选C. 6.已知平面α={P|n·=0}，其中点P0(1，2，3)，法向量n=(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是 (　　) A.(3，2，1) B.(-2，5，4) C.(-3，5，4) D.(2，-4，8) 解析：选B　对于A，=(2，0，-2)，n·=1×2+1×0+1×(-2)=0；对于B，=(-3，3，1)，n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0；对于C，=(-4，3，1)，n·=1×(-4)+1×3+1×1=0；对于D，=(1，-6，5)，n·=1×1+1×(-6)+1×5=0，故选B. 7.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=AB=CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量为 (　　) A.(0，1，0) B.(0，1，1) C.(1，1，1) D.(1，1，0) 解析：选B　根据题意，设BD=AB=CD=1，则D(0，1，0)，C(1，1，0)，A(0，0，1)，则=(1，0，0)，=(0，1，-1)，设平面ACD的一个法向量为m=(x，y，z)，则有令y=1，可得z=1，则m=(0，1，1). 8.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=.平面OCB1的一个法向量n= (　　) A.(0，1，1) B.(1，-1，1) C.(1，0，-1) D.(-1，-1，1) 解析：选C　由题意建立如图所示的空间直角坐标系，∵四边形ABCD是正方形，且AB=，∴AO=OC=1，∴OA1=1，∴A(0，-1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，∴=(1，1，0)，=(0，1，0)，又==(1，1，0)，∴B1(1，1，1)，=(1，1，1).设平面OCB1的一个法向量为n=(x，y，z)，则得y=0，x=-z，结合选项，可得n=(1，0，-1)，故选C. 9.[多选]已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，则下列结论正确的是 (　　) A.⊥ B.与共线的单位向量是(1，1，0) C.与夹角的余弦值是- D.平面ABC的一个法向量是(1，-2，5) 解析：选ACD　因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，所以=(2，1，0)，=(-1，2，1)，=(-3，1，1)，·=-2+2+0=0， 故⊥，A正确；(1，1，0)不是单位向量，且(1，1，0)与=(2，1，0)不共线，B错误；cos<>===-，C正确；设m=(1，-2，5)，则m·=2-2+0=0，m·=-1-4+5=0，所以m⊥，m⊥，又AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，所以向量(1，-2，5)是平面ABC的一个法向量，D正确. 10.(5分)在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(1，1，t)，B(2，2，4)，若平面ABC的一个法向量为m=(3，1，-1)，则直线AB的一个方向向量为　　　.  解析：∵A(1，1，t)，B(2，2，4)，∴=(1，1，4-t).又平面ABC的一个法向量为m=(3，1，-1)，∴·m=3+1-4+t=0，解得t=0，∴直线AB的一个方向向量为=(1，1，4). 答案：(1，1，4) 11.(5分)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为　　　　.  解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量为(1，1，1). 答案：(1，1，1)(答案不唯一) 12.(5分)已知空间直角坐标系O-xyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则直线OA的一个方向向量为　　　，点P的坐标满足的条件为　　　　.  解析：直线OA的一个方向向量为=(1，1，1).由题意知OA⊥α，因为AP⊂α，所以OA⊥AP，=(x-1，y-1，z-1)，则·=0， 即x-1+y-1+z-1=0，所以x+y+z=3. 答案：(1，1，1)(答案不唯一)　x+y+z=3 13.(10分)在△ABC中，A(1，-1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，M(x，y，z)是平面ABC内任意一点. (1)求平面ABC的一个法向量；(6分) (2)求x，y，z满足的关系式.(4分) 解：(1)设平面ABC的一个法向量n=(a，b，c). ∵=(2，4，-1)，=(2，2，1)， ∴∴ 令b=2，则a=-3，c=2. ∴平面ABC的一个法向量为n=(-3，2，2)(答案不唯一). (2)由(1)知n=(-3，2，2)为平面ABC的一个法向量，又点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，∴⊥n，∵=(x-1，y+1，z-2)， ∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0， ∴3x-2y-2z-1=0. 故x，y，z满足的关系式为3x-2y-2z-1=0. 14.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD=AD=2，E，F分别是PC，PB的中点. (1)试以F为起点作直线DE的方向向量；(4分) (2)若棱PC上存在一点N，且AN⊥PC，求的值.(6分) 解：(1)如图，连接EF， 因为E，F分别是PC，PB的中点， 所以EF綉BC. 又BC綉AD， 所以EF綉AD. 取AD的中点M，连接MF，所以EF綉DM， 所以四边形DEFM是平行四边形， 所以MF∥DE， 即是直线DE的一个方向向量. (2)以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，2)，C(0，2，0)，所以=(0，2，-2)，=(0，0，2)，=(-2，0，0). 设N(x，y，z)，因为点N在CP上， 所以存在实数t，使得=t(0≤t≤1)， 则=+t=(0，0，2)+t(0，2，-2)=(0，2t，2-2t)， 所以=+=(-2，0，0)+(0，2t，2-2t)=(-2，2t，2-2t). 又AN⊥PC，所以·=4t-2(2-2t)=0， 解得t=，所以=. 15.(15分)已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB=1∶2；(2)AQ∶QB=2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解：由(1)AP∶PB=1∶2， 得=2，即-=2(-)， =+. 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)=(2，4，0)+(1，3，3)， 即x=+=，y=+=， z=0+1=1.因此，P点的坐标是. 因为(2)AQ∶QB=2∶1， 所以=-2-=-2(-)， =-+2. 设点Q的坐标为(x'，y'，z')，则上式换用坐标表示，得(x'，y'，z')=-(2，4，0)+2(1，3，3)=(0，2，6)，即x'=0，y'=2，z'=6. 因此，Q点的坐标是(0，2，6). 105 / 161 学科网（北京）股份有限公司 $$