1.3集合的基本运算 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.3 集合的基本运算 课前在黑板上画好两个非空集合间的5副关系图，便于推导性质 1 集合间的包含关系 实数间的大小关系 类比 集合间的基本运算 实数间的基本运算 类比 加法运算 “相加” ? 2 观察： 观察下面的集合, 类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗? (1)A={1,3,5}, B={2,4,6}, C={1,2,3,4,5,6}； (2) A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}； (3) A={1,2,3}, B={2,3,5,9}, C={1,2,3,5,9}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的. 3 一、并集 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集,记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言：A∪B={x|x∈A,或x∈B} A,B中全部元素 图形语言： B A x∈A,但x∉B A B x∈B,但x∉A x∈A,且x∈B x∈A,或x∈B中的“或”指: x∈A和x∈B中至少有一个成立 包含三种情况 ①x∈A,但x∉B; ②x∈B,但x∉A; ③x∈A,且x∈B. 性质： ①A∪A=_____; ②A∪Ø=_____; ③A∪B___B∪A; ④A___(A∪B), B___(A∪B); ⑤A∪B=B___A⊆B. 4 求并集: 一、并集 例1(教材P10) A ={4,5,6,8}, B={3,5,7,8}; 例2(教材P10) A ={x|－1<x<2}, B={x|1<x<3}; 练1 设集合A={x∈N*|－1≤x≤2}, B={2,3},则A∪B=( ) A.{－1,0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{－1,2} D.{－1,3} 练2 已知集合P={x|x＜3}, Q={x|－1≤x≤4},那么P∪Q=( ) A.{x|－1≤x<3} B.{x|－1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥－1} 练3 若A={－1,－2,0,1,4},B={y|y=x2,x∈A},则A∪B=__________. 5 思考： 观察下面的集合, 集合A,B与集合C之间有什么关系? (1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}； (2) A={x|x是树人中学今年在校的女同学}, B={x|x是树人中学今年在校的高一年级同学}, C={x|x是渠县中学今年在校的高一年级女同学}, ； (3) A={1,2,3}, B={2,3,5,9}, C={2,3}. 集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的. 6 二、交集 交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集,记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言：A∩B={x|x∈A,且x∈B} A,B中公共元素 图形语言： B A A∩B x∈A,且x∈B x∈A,且x∈B中的“且”指: x既属于A又属于B 当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B＝Ø. 性质： ①A∩A=_____; ②A∩Ø=_____; ③A∩B___B∩A; ④ (A∩B)___A, (A∩B)___B; ⑤A∩B=A___A⊆B. ⑥A∩B=A∪B______A=B. 7 例题讲练 练习1(教材P12) A ={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∩B,A∪B; 练习2(教材P12) A ={x|x2－4x－5=0}, B={x|x2=1},求A∪B,A∩B; 例1 (1)已知集合A={x|－2<x≤3}, B={－2,0,2,4},则图中阴影部分所表示的集合是_________. [探究训练]设集合A={x|x2+x=0}, B={x| x2－x=0},则A∩B=( ). A.0 B.{0} C.Ø D.{－1,0,1} (2)设集合A={x|0<x＜4,x∈N}, B={x| ≤x≤5},则A∩B=______. A B 练3 若A={(x,y)| x－y=1},B={(x,y)| x+y=3},则A∩B=_______. 练4 若A={x|y=x2－2}, B={y|y=x2－2},则A∩B=_________. ——集合交集、并集的运算 题型 8 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 (2)已知集合A={x|1≤x<5}, B={x|－a<x≤a+3}.若A∩B=B,则实数a的取值范围为______. 思考1 本例(1)中,若把“A∪B=R”改为“A∩B=Ø”,则实数a的取值范围将如何变化? 例2 (1)已知集合A={x|x≤－1,或x≥3},B={x|a<x<4}.若A∪B=R,则实数a的取值范围是_______________. 思考2 本例(1)中,若把“A∪B=R”改为“A∪B=A”,则实数a的取值范围将如何变化? 9 例题讲练 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 探究训练 已知集合A={x|x2－x－2=0},B={x|ax=1}.若A∪B=A,则实数a=( ) A. 或1 B. 或1 C. 或1或0 D. 或－1或0 练1 集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<－2或x>5},若A∩B=Ø,则a的取值范围是__________. 变式 若把“A∩B=Ø”改为“A∩B≠Ø”,则实数a的取值范围是______. 10 例题讲练 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 练2已知A={x2,2x－1,－4},B={x－5,1－x,9},且A∩B={9},求A∪B= . 11 例题讲练 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 练1 集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<－2或x>5},若A∩B=Ø,则a的取值范围是__________. 变式 若把“A∩B=Ø”改为“A∩B≠Ø”,则实数a的取值范围是______. 探究训练 已知集合A={x|x2－x－2=0},B={x|ax=1}.若A∪B=A,则实数a=( ) 练2已知A={x2,2x－1,－4},B={x－5,1－x,9},且A∩B={9},求A∪B= . A. 或1 B. 或1 C. 或1或0 D. 或－1或0 12 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 练3 设集合A={x|x2－3x+2=0}, B={x|x2+2(a－1)x+(a2－5)=0}. (1)若A∩B={2}，求实数a的值； (2)若A∪B=A，求实数a的取值范围. 13 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 练4已知集合A={x|2x－1≥3}, B={x|x>a}. (1)若A∩B=A，求实数a的取值范围; (2)若A∪B=A，求实数a的取值范围. 14 例题讲练 ——集合交集、并集性质的应用 题型 练3 设集合A={x|x2－3x+2=0}, B={x|x2+2(a－1)x+(a2－5)=0}. (1)若A∩B={2}，求实数a的值； (2)若A∪B=A，求实数a的取值范围. 练4已知集合A={x|2x－1≥3}, B={x|x>a}. (1)若A∩B=A，求实数a的取值范围; (2)若A∪B=A，求实数a的取值范围. 15 例题讲练： 例3(教材P11) 树人中学开运动会,设 A={x|x是树人中学高一年级参加百米赛跑的同学}, B={x|x是树人中学高一年级参加跳高比赛的同学},求A∩B. A B A∩B 树人中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学 参赛共100人 百米：54人 跳高：68人 百米+跳高：____人 16 容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)－card(A∩B) 用card(A)来表示有限集合A中元素的个数 如：A={1,2,3,5}，则card(A)=4. card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C) －card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)+card(A∩B∩C) 教材P15阅读与思考 A B A∩B A B A∩B C A∩C B∩C A∩B∩C ① ② ③ ①②③ ①③ ②③ ③ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ①②③④⑤⑥⑦ ①④⑥⑦ ②④⑤⑦ ③⑤⑥⑦ ④⑦ ⑤⑦ ⑥⑦ ⑦ 17 容斥原理 练习 2. 某班有50人,参加数学、物理、化学竞赛的人分别有28、23、20人. ①若每人至少参加一项,且三项都参加的有5人,则参加了两项的为_____人； ②每人最多参加两项，那么参加两项的最少有_________人. 1.某班有学生50人,解甲、乙两道数学题,已知解对甲题者有34人,解对乙题者有28人,两题均对者有20人，则至少解对一题者的人数是( ) A.8 B.22 C.30 D.42 18 例题讲练 练习 1.设A={x|－2≤x≤0},B={x|2m－1<x≤2m+3},若A∪B=B,求实数m的取值范围. 2.设A={x|－2≤x≤5},B={x|2m－1≤x≤m},若A∩B=B,求实数m的取值范围. 19 三、全集和补集 写出 {x∈Q|(x－2)(x2－3)=0}, {x∈R|(x－2)(x2－3)=0} U={1,2,3,4,5,6,7,8} 全集：若一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称该集合为全集，通常记为U. 思考：全集一定是实数集R吗? A={1,3,5,6, 8} {2,4,7} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} U ∁UA 2 4 7 A 1 3 5 6 8 20 三、全集和补集 补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为A的补集,记作∁UA. U比A“多” 符号语言： ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言： 性质： ① ∁UU =_____; U A ∁UA ② ∁UØ =_____; ③ ∁U(∁UA) =_____; ④A∪(∁UA)=_____; ⑤A∩(∁UA)=_____; 21 例题讲练 练习 教材P13 1. 已知U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5}, B={1,3,5,7},求A∩(∁UB), (∁UA)∩ (∁UB). 2. 已知S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形}, B={x|x是菱形}, C={x|x是矩形},求B∩C, ∁AB, ∁SA. 3. 图中U是全集,A,B是U的两个子集,用阴影表示: (1) (∁UA)∩ (∁UB); (2) (∁UA)∪(∁UB). U A B U A B 22 例题讲练 (1)若在全集U中研究问题,则集合U没有补集. ( ) (2)集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素. ( ) (3)在全集U中存在元素x,由x∉A,且x∉(∁UA). ( ) (4)若3∉A,则3∈ ∁UA. ( ) 2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM=__________. 1.判断正误 3.设全集U={x|－2≤x≤7},A={x|0≤x<1},则∁UA=__________. 23 例题讲练 ——集合的综合运算 题型1 2.已知全解为U,集合A={0,1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={0,1,4,6,7}, 则集合B=_____________. 1.(2022·全国乙卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则( ) A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M (1)已知全集U=R,集合A={x|x≤0},B={x|x≥1},则∁U(A∪B)= ( ) 例1 A.{x|x≥0} B. {x|x≤1} C. {x|0≤x≤1} D. {x|0<x<1} (2)已知全集U={x|x<10,x∈N*}, A⊆U,B ⊆U, (∁UB)∩A={1,9},A∩B={3}, (∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},求集合A,B. 已知全集U={1,2,3,4},且∁U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(∁UB)= ( ) [探究] A.{3} B. {4} C. {3,4} D. Ø 24 例题讲练 ——与补集相关的参数问题 (1)设U={0,1,2,3}, A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________. (2)设集合A={x|x+m≥0},B={x|－2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=∅,求实数m的取值范围. 例2 题型2 思考1.将本例(2)中的条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UA)∩B=B”,其他条件不变,求m的取值范围. 25 例题讲练 例2 思考2.将本例(2)中的条件“(∁UA)∩B=∅”改为“(∁UB)∪A=R”,其他条件不变,求m的取值范围. 已知全集U={2,3,a2+2a－3},A={|2a－1|,2},∁UA={5},则实数a=_______. ——与补集相关的参数问题 题型2 (2)设集合A={x|x+m≥0},B={x|－2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=∅,求实数m的取值范围. [探究] 26 例题讲练 练习 1. 已知A={x|－1≤x<5},B={x|a<x<a+8},(∁RA)∪B=R,则a的取值范围是 . 2.设A={x|－1<2x+1<7},B={x|a<x<5},若(∁RA)∩B={x|3≤x<5},则a的取值范围是 . ——与补集相关的参数问题 题型2 3.设A={x|2a<x<a+3},∁RB={x|x<－1或x>5},若A∩B≠∅,则a的取值范围是 . 27 例题讲练 练习 4.已知U=R,A={x|x2－x－2=0},B={x|mx+1=0},B∩(∁RA)=Ø,求实数m的值. 5.设全集U={|a－1|,(a－1)(a－2),4,6},若∁U(∁UA)={0,1},则a=______. 28 例题讲练 练习 6.设A,B是两个非空集合,定义A与B的差集为A－B={x|x∈A且x∉B},设M={1,2,3,4,5,6}, N={2,3,4},则M－N= . 7.设A,B是非空集合,定义A⊙B ={x|x∈A∪B且x∉A∩B},若M={x|－1≤x≤4}, N={x|x<2},则M⊙N=( ) {x|－1≤x<2} B.{x|2≤x≤4} C.{x|x<－1或2≤x≤4} D.{x|x<－1或2<x≤4} 29 $$