1.2集合间的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2 集合间的基本关系 1 引入： 观察下面几个例子, 类比实数之间的相等关系、大小关系, 你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1)A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}； (2)C为树人中学高一(2)班全体女生组成的集合,D为这个班全体学生组成的集合; (3)E={x|x是有两条边相等的三角形}, B={x|x是等腰三角形}. 一、子集的概念： 子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集. 记作 A⊆B (或B⊇A) 读作“A包含于B” (或“B包含A”) 符号语言：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B 注意符号的“开口”方向 图形语言： B A 集合A“小”,集合B“大” A(B) 或 类比实数中的“a≤b” “⊆”类似于“≤” 开口朝向谁,谁就“大” 规定： 一、子集： 子集的性质： 空集是任何集合的子集. ①∅⊆A , A⊆A; ②若A⊆B , B⊆C, 则A⊆C . (即空集是任何集合的子集;任何一个集合是它本身的子集) (传递性) 不一定. 若集合A中存在着不是集合B中的元素,则集合A不包含于集合B,记作A⊈B 或B ⊉A . 思考: (1)任意两个集合之间是否有包含关系? (2)若A⊆B，则A是B中部分元素组成的集合. 你认为该说法对吗? 不对. ∵A可能是空集，也可能与集合B相等. 4 思考： 引例(3)中集合E与F中的元素有什么关系?与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，在集合中，你有什么发现? 集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A=B. 二、集合相等： 图形语言： A(B) 集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等. 如{y|y=x2+1}与{x|x≥1}. 5 三、真子集： 真子集：若集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集. 记作 A⫋B (或B⫌A) 读作“A真包含于B” (或“B真包含A”) 符号语言：若A⊆B，且存在x∈B，但x∉A，则A⫋B. 图形语言： B A 三、真子集： 规定： 真子集的性质： 空集是任何非空集合的真子集. ①Ø⫋A(A≠Ø); ②若A⫋B , B⫋C, 则A⫋C . (即空集是任何非空集合的真子集) (传递性) 思考：若∅⫋{x|x2－x+a=0}, 则a的取值范围是_________. N*______N______Z______Q______R. 例题讲练： (1)a_____{a,b,1,0} 用适当的符号填空. (2){a}_____{a,b,c} (3)0_____Ø (4)Ø_____{Ø} (5)Ø_____{x∈R|x2+1=0} (6)0_____{x|x2=0} (7){0}_____{x|x2=x} (8){0,1}_____N (9){x|x=2n+1,n∈N}_____{x|x=2n－1,n∈Z} (10){x|x是平行四边形}_____{x|x是菱形} (11){x|y=x2+1}_____{y|y=x2+1} (12){(2,1)}_____{x|x2－3x+2=0} (13){1,2,4}_____{x|x是8的约数} (14)(－1,－1)_____{(x,y)|y=x2+3x+1,x∈N} ——区分“∈”与“⊆” 例题讲练： (1)A={x|x<0}, B={x|x<1}; 判断下列两个集合之间的关系. (2) A={x|x=3k, k∈N}, B={x|x=6z, z∈N}; (3) A={x∈N+|x是4与10的公倍数}, B={x|x=20m, m∈N+}. 教材P9练习T3 例题讲练： 1.下列四个命题中正确的有___________. ①空集没有子集； ②空集是任何一个集合的真子集； ③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集. 2.请分别写出集合Ø,{a},{a,b},{a,b,c}的所有子集: 四、有限集合的子集个数： 若一个集合中含有n个元素，则该集合的子集有2n个，真子集有__________个，非空子集有__________个，非空真子集有__________个. 例.设集合A={x|－1<x<2,且x∈N}，则集合A的真子集有( )个. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2n－1 2n－1 2n－2 练.已知集合A={x∈N|2<x≤k}恰有15个非空子集,则( ). A. 6<k<7 B. 6≤k<7 C. 5<k<6 D. 5≤k<6 例题讲练 概念辨析 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)集合{0}是空集. ( ) (2)空集是任何集合的真子集. ( ) (3)若A⫋B，则B中至少有一个元素不属于A. ( ) (4)若B⊆A，元素a∉A，则a∉B. ( ) 2.下列四个集合中，是空集的为( ) A.{0} B.{x|x>8,且x<5} C.{x|x2－1=0} D.{x|x>4} 12 例题讲练 ——集合间关系的判断 题型1 1.下列各个关系式中，正确的是( ) A. Ø={0} B. ∈Q C. {3,5}≠{5,3} D. {1}⊆{x|x2=x} 2.(多选)下列各组集合之间满足A⊆B的是( ) A. A={－1,1},B={(－1,1)} B. A={x|－1<x<4},B={x|x－5<0} C. A={x|x是正整数},B={x|x是非负数} D. A={x|x=2n－1,n∈N*},B={x|x=2n+1,n∈N*} 点金训练＋补充 13 例题讲练 3.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x|x2－x=0}之间的关系的Venn图是( ) 判断集合间关系的方法 (1)观察法: 将集合的元素一一列举然后观察. (2)元素特征法: 首先确定集合的元素是什么,弄清集合中元素的特征,再利用集合中元素的特征判断集合间的关系. (3)数形结合法: 利用数轴(连续实数集适用)或Venn图. A B C D N M N M N M M N ——集合间关系的判断 题型1 点金训练＋补充 14 例题讲练 A. A⫋B B. A=B C. B⫋A D. B⊆A 练习： ——集合间关系的判断 题型1 关键: 不同集合化为统一形式 > 自备例题和练习题 15 例题讲练 例1 A. ±2 B. ±2或0 C. ±2或1或0 D. ±2或±1或0 (2)已知集合A={－1,0,1},则含有元素0的集合A的子集的个数为( ) (1)若集合A={1,4,x},B={1,x2},且B⊆A,则x=( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (3)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是( ) A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 ——子集、真子集的个数 题型2 16 例题讲练 ——子集、真子集的个数 题型2 A. 3 B. 4 C. 15 D. 16 2.(多选)若集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4},则集合M可能为( ) 1.集合{(1,2),(3,4)}的子集个数为( ) A. {1,2} B. {1,2,3} C. {1,2,4} D. {1,2,3,4} 变式1:若集合M满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4},则集合M的个数为_______. 探究训练 变式2:满足条件{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数为_______. 集合A中含有n个元素,集合B中含有m个元素(n,m∈N*,且m>n): 若A⊆M⊆B,则符合条件的集合M有________个; 若A⫋M⊆B,则符合条件的集合M有________个; 若A⊆M⫋B,则符合条件的集合M有________个; 若A⫋M⫋B,则符合条件的集合M有________个. 写集合的子集时,不要漏掉空集和它本身. 变式3:已知A={1,2,3},B={x|x=a+b,a,b∈A},则集合B的子集个数为____. 例题讲练 ——根据集合间的包含关系求参数 题型3 变式1:集合M={x|6x2－5x+1=0},N={x|ax=1},若M⊇N，则实数a的取值集合为_____________. 例2 (1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合A={0,－a},B={1,a－2,2a－2},若A⊆B,则a=( ) A. 2 B. 1 C. D. －1 变式2:集合A={x|4x2－5x+1=0},B={x|ax2+(2a－4)x+1=0},若B⊆A，则实数a的取值范围是_____________. 易错点: 忽视对空集的讨论而致错. 若A⊆B，在未指明A非空时，应分为A=∅和A≠∅讨论. 易错点: 未检查是否满足题意. 例题讲练 ——根据集合间的包含关系求参数 (2)已知集合A={x|－2≤x≤5},集合B= {x|m+1≤x≤2m－1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 思考1:在本例(2)中,若把条件“B⊆A”改为“A⊆B”,解题过程有何变化? 例2 题型3 易错点: ①忽视对空集的讨论而致错. ②端点值能否取等而致错. 步骤: ①考虑子集是否为空集. ②连续实数集借助数轴分析. ③不等式左右端点值大小比较. ④判断端点大小能否取等. 包含关系中：端点值能否取等而致错——小有大无而致错 19 例题讲练 ——根据集合间的包含关系求参数 (2)已知集合A={x|－2≤x≤5},集合B= {x|m+1≤x≤2m－1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 例2 题型3 思考2:若本例(2)条件“A={x|－2≤x≤5}”改为“A={x|－2<x<5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围? 思考3:若本例(2)条件“ B⊆A ”改为“ B⫋A ”,其他条件不变,结论如何? 20 例题讲练 ——根据集合间的包含关系求参数 探究训练 题型3 1.已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,则a+b=________. 2.已知集合A={x|a－1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},若B⊆A,则实数a的取值范围为________. 例题讲练 ——根据集合间的包含关系求参数 练习 题型3 1.已知集合A={x|－1<x≤1},B={x|a－1≤x<2a－1},若B⊆A,则a的取值范围是________. 2.已知集合A={x|1<ax<2},B={x|－1<x<2},若A⫋B,则a的取值范围为______. 22 小结归纳 两个集合间的基本关系； 要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法. 2. 了解子集与真子集的区别与联系； 注意空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 涉及A⊆B时，不要忘记讨论A为空集的情况；注意不等式的左右端点大小能否取等(检验法;“小”有“大”无不取等). 4. 类比方法，分类讨论与数形结合思想. 23 对比归纳 元素与集合的关系 集合与集合的关系 实数间的大小关系 集合间的关系 a≤b a=b A=B( ) a≤a 若a≤b，b≤c，则a≤c 若a<b ，b<c ，则 a<c (a=b或a<b) (a≤b且b≤a) 24 区分： (1,2)是点的坐标，横坐标为1，纵坐标为2； {1,2}是数集，元素有2个，分别为实数1、2； {(1,2)}是点集，元素有1个，为(1,2)。 ①(1,2)、{1,2}、{(1,2)} ②{(b,a)}与{(a,b)} ③a、{a} a∈{a} ④0、{0}、∅、{∅} 25 $$