1.1集合的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1 集合的概念 1 所学内容 人教A版(2019): 必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三章 函数的概念与性质 第四章 指数函数与对数函数 第五章 三角函数 人教A版(2019): 必修第二册 第六章 平面向量及其应用 第七章 复数 第八章 立体几何初步 第九章 统计 第十章 概率 人教A版(2019): 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 第二章 直线与圆的方程 第三章 圆锥曲线的方程 人教A版(2019): 选择性必修第二册 第四章 数列 第五章 一元函数的导数及其应用 人教A版(2019): 选择性必修第三册 第六章 计数原理 第七章 随机变量及其分布 第八章 成对数据的统计分析 学习建议 2. 课前预习(教材内容、课后练习及练习册的知识清单、概念辨析) 3. 记笔记(知识点、典型例题、方法总结) 1. 课前准备(教材、点金训练、笔记本、草稿本、三色笔(黑、蓝、红)) 4. 课后复习(选填强调正确率,解答注意格式的规范性、字迹的工整性) 5. 课外巩固(巩固知识,见多识广) 6. 学会自己归纳总结 7. 建立纠错本 3 引入： 在小学和初中，我们已经接触过一些集合， 例如： (1)自然数的集合； (2)同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆). 把一些确定的东西放在一起,就形成了集合;用{ }圈住这些东西即可. 思考： 以下这组例子有哪些共同的特点? 研究范围是什么?研究的对象是什么? (1)1~10之间的所有偶数； (2)树人中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2－3x+2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. 思考： 比较下面两组例子有什么不同? 研究范围有没有变化?研究对象相同吗? (1)1~10之间的所有偶数； (2)树人中学今年入学的全体高一学生； (3)所有的正方形； (4)到直线l的距离等于定长d的所有点； (5)方程x2－3x+2＝0的所有实数根； (6)地球上的四大洋. (1)1~10之间的小的数； (2)树人中学今年入学的长得高的高一学生； (3)大的正方形； (4)到直线l的距离较近的点； (5)地球上的四大洋中面积较大的洋. 一、集合与元素的概念： 二、集合与元素的关系： 如果a是集合A的元素, 就说a属于集合A, 记作a∈A 如果a不是集合A的元素, 就说a不属于集合A, 记作a∉A 元素可以是数、点、图形、代数式, 也可以是人或物等. 1____{1, 2,3} 4____{1, 2,3} 元素： 把研究对象统称为元素, 常用小写拉丁字母a, b, c…表示 集合： 把某些确定的对象集在一起,组成的总体叫做集合(简称集) 常用大写拉丁字母A, B, C…表示 7 三、元素的性质： ①确定性：明确的判断标准 判断下列每组对象能否构成一个集合： ①与定点A, B等距离的点; ②高中学生中的游泳能手； ③数学必修1课本上的所有难题; ④所有的一元二次方程; ⑤无限接近π的所有数; ⑥一组对边平行的四边形; ⑦新冠肺炎死亡率低的国家; ⑧北斗导航卫星系统的所有卫星. 8 三、元素的性质： ①确定性：明确的判断标准 集合A={1, 1, 2} ②互异性：元素互不相同 若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是__________. 若以数集中的三个元素为边长构成一个三角形,则该三角形不可能是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 相同的元素在集合中只能算作一个 9 三、元素的性质： ①确定性：明确的判断标准 ②互异性：元素互不相同 ③无序性：不存在顺序之分 A={1, 2}和B={2, 1}表示同一个集合 注意区别集合：{1, 2}, {(1, 2)}, {(2,1)} 四、集合的相等：构成两个集合的元素是一样的 相同的元素在集合中只能算作一个 例题讲练： 例1. 已知集合A={a－2, a2+4a, 10}, 若－3∈A, 则实数a=_______. 例2. 设集合A={x, y}, B={0, x2},若A=B, 则2x+y=_______. 例题讲练： 练2. 已知集合A={a+3, 2, a2+2a－3}, 若5∈A, 则a=_______. 练1. 由实数x, －x, , 组成的集合最多含有_____个元素. 练3. 若集合{a, , 1}={a2,a+b,0}, 则a2024+b2025=_______. 五、常用数集及其记法： 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N N*或N+ Z Q R 也即非负整数集 含0 不含0 形象记为： 星星(*)在天上，十字(+)在地下 练习.用符号“∈”或“∉”填空 (教材P5练习T2) 0______N (2) －3______N (3) 0.5______Q (4) _______Z (5) _____R (6) π_______R (7) 1_____{(1,2)} (8) {a}_____{{a},{b}} 六、集合的分类： 按集合中元素的多少分为 有限集 无限集 思考：方程x2+2=0的所有实数根能不能构成集合？ 特别地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 袋子被扎破，空了 14 七、集合的表示法： (1)自然语言： 用文字叙述的形式表示集合 (2)列举法： 把集合的所有元素一一列举出来,用逗号“，” 隔开,并用花括号“{ }”括起来表示集合 “{ }”表示“所有”“全体” 如：A={2,4,6,8,10} {1,2,3,…,1000} N={0,1,2,3,…} 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. 例. 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)方程组 的解构成的集合； (4)写出元素0, {0}, {0, 1}, ∅构成的集合. 15 七、集合的表示法： (1)自然语言： 用文字叙述的形式表示集合 思考1. 你能用自然语言描述集合{0,3,6,9}吗? (2)列举法： 把集合的所有元素一一列举出来,用逗号“，” 思考2. 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗? 隔开,并用花括号“{ }”括起来表示集合 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. “{ }”表示“所有”“全体” 16 七、集合的表示法： (1)自然语言： 用文字叙述的形式表示集合 (3)描述法： 设A是一个集合, 把集合A中所有具有共同特征P(x) 的元素x组成的集合表示为 {x∈A | P(x)} 该集合的代表元素 (即元素的一般形式) 数—x或y; 点—(x, y) 代表元素的 取值范围 元素的共同特征 (所满足的精细条件) 分隔线 花括号 (2)列举法： 把集合的所有元素一一列举出来,用逗号“，” 隔开,并用花括号“{ }”括起来表示集合 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. “{ }”表示“所有”“全体” 17 例题讲练： 例. 用描述法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)方程组 的解构成的集合. 练1. 用适当的方法表示下列集合: (教材P5练习T3) (1)由方程x2－9=0的所有实数根组成的集合; (2)一次函数y=x+3与y=－2x+6图象的交点组成的集合; (3)不等式4x－5<3的解集. 用描述法表示集合的步骤 (1)确定代表元素,写在“|”的前面； (2)确定元素的共同特征,写在“|”的后面; (3)用花括号{ }把它们括起来. 注:集合的所有表示都要写在{ }内 例题讲练： 练2. 将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来: (1)A={x∈R|x2－1=0}; (2) B={x∈Z|x2－1=0}; (3) C={x∈N|x2－1=0}; (4)D={(x,y)|x2+y2=0}; (4)E={(x,y)|y=x－1,且y=2x}. 练3. 用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义: {x∈R|x=2k－1, k∈Z}; {x∈R|x=2k, k∈Z}; (3) 七、集合的表示法： (1)自然语言： 用文字叙述的形式表示集合 {x∈A | P(x)} 该集合的代表元素 (即元素的一般形式) 数—x或y; 点—(x, y) 代表元素的 取值范围 元素的共同特征 (所满足的精细条件) 分隔线 花括号 (3)描述法： 设A是一个集合, 把集合A中所有具有共同特征P(x) 的元素x组成的集合表示为 隔开,并用花括号“{ }”括起来表示集合 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. (2)列举法： 把集合的所有元素一一列举出来,用逗号“，” “{ }”表示“所有”“全体” 七、集合的表示法： (1)自然语言： 用文字叙述的形式表示集合 {x∈A | P(x)} (4)图示法： 画一条封闭的曲线，用它的内部表示集合. 如集合{1, 2} 1 2 Venn图(韦恩图) (3)描述法： 设A是一个集合, 把集合A中所有具有共同特征P(x) 的元素x组成的集合表示为 隔开,并用花括号“{ }”括起来表示集合 适用于元素个数有限或无限但有规律的集合. (2)列举法： 把集合的所有元素一一列举出来,用逗号“，” “{ }”表示“所有”“全体” ▲约定：若从上下文的关系看, x∈R, x∈Z是明确的,则可省略不写. 21 八、区分数集与点集： 区别： A={x | y=x2－2x+1}; 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的代表元素用有序实数对表示. B={y | y=x2－2x+1}; C={(x, y) | y=x2－2x+1}; D={x | x2－2x+1=0}. {x | …} 数集 {(x, y) | …} 点集 ▲认清代表元素 {x|y=x2+4} {y|y=x+3} {x|x<3} {t|t<3} 集合是否相等, 与元素是否相同有关, 与元素的字母表示无关. =R ▲认清元素本质： 例题讲练： 练1. 下列说法: ①集合{x∈N|x3=x}用列举法可表示为{－1,0,1}; ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}; ③方程组 的解集为{x=1, y=2}. 其中说法正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 练2. 下列各组中表示同一集合的是________. ①A={3,－1},B={－1,3}; ② A={(3,－1)},B={(－1,3)}; ③ A={(3,－1)},B={x=3,y=－1)}; ④A={y|y=x2－1},B={x|y=x2－1}; ⑤A={y|y=x2－1},B={t|t=x2－1}; ⑥A={y|y=x2－1},B={(x,y)|y=x2－1}; 23 例题讲练： 例3. 用列举法表示下列集合: 认识元素 24 例题讲练： 例4. 已知集合A={x|ax2+2x+1=0}. 25 例题讲练： 26 例题讲练： 27 定义集合运算A B={x|x=x1·x2，x1∈A,x2∈B},若集合A={1,3,4}, B={2,3},则A B的所有元素之和为( ) A.48 B.54 C.40 D.36 例题讲练： 28 例题讲练： 练习. 29 例题讲练： 30 初高衔接之乘法公式和因式分解 ①完全平方公式: ②平方差公式: ③立方和公式: 立方差公式: ④三数和的平方公式: ⑤完全立方和公式: 完全立方差公式: 必记公式： 31 初高衔接之乘法公式和因式分解 32 初高衔接之一元二次方程 33 初高衔接之一元二次方程 34 初高衔接之一元二次方程 35 初高衔接之一元二次方程 练习： 36 $$