高效同步练习15.3.2 等边三角形-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024）

高效同步练习15.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质和判定 知识点①等边三角形的性质 5.(3分)三个等边三角形的摆放位置如图所示， 1.(3分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC 若∠1+∠2=100°，则∠3的度数为() 边上，∠DBC=40°，则∠ADB的度数为( A.80° B.70° C.45° D.30° A.25 B.60 C.90° D.100 第5题图 第6题图 B 6.(3分)（洛阳三模）如图在△ABC中，∠ACB= 第1题图 第2题图 90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作 2.(3分)（许昌一模）如图，等边三角形ABC中， 圆弧，交AB于点D,若CB=4,则BD的 AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上，∠EBC 长为 =45°，则∠ACE等于() 7.(3分)（浙江二模）如图，过 A.150 B.30° 边长为1的等边三角形ABC C.45° D.60 的边AB上一点P,作PE上 知识点②等边三角形的判定 AC于E,Q为BC延长线上一 3.学习情境·动手操作(3分)如图，等边三角形 点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D,则 纸片ABC的周长为6，E,F是边BC上的三等 DE的长为 分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方 8.(9分)（漯河期末）如图，C是线段AB上除点 向各剪一刀，则剪下的△DEF的周 A,B外的任意一点，分别以AC,BC为边在线 长是() 段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,连 A.1 B.2 C.3 D.4 接AE交DC于点M,连接BD交CE于点N, 连接MW. (1)求证：AE=BD: (2)求证：MN∥AB. 图1 图2 第3题图 第4题图 4.生活情境·衣架(3分)（新乡期中）由于木质 衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便 操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易 收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架 杆OA=OB=18cm,若衣架收拢时，∠AOB= 60°，如图2，则此时A,B两点之间的距 离是 cm. 15分钟同步练习，精炼高效抓考点ZBR八年领数学上册 31 第2课时 含30°角的直角三角形 知识点含30°角的直角三角形 6.(3分)如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂 1.(3分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点 直平分线交AB于点E,垂足为点D,CE平分 D为AB边的中点，DE⊥BC于E,若BE=1,则 ∠ACB.若BE=2,则AE的长为( AC的长为() 3 B.1 C. D.2 2 A.2 B.3 C.4 D.5 .2 D B方 第6题图 第7题图 第1题图 第2题图 2.生活情境·钢架(3分)如图，一辆货车，为了 7.生活情境·钢架(3分)如图所示是“人字形” 钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°，跨 方便装运货物，使用了三角形钢架，已知 度BC=8m,AD为支柱（即底边BC的中线） ∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=1.4m则AB的 两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等 长为( )m, 于() A.1.4 B.0.7 C.2.8 D.2.4 A.8m B.4 m 3.(3分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B= C.2 m D.7.5m 15°，DE垂直平分AB,交BC于点E,若AE= 6cm,则AC=( 8.(8分)（商丘期末）如图，△ABC为等边三角 形，AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于 A.6 cm B.5 cm C.4cm D.3 cm 点Q,PQ=3,PE=1. (1)求证：BE=AD: (2)求AD的长 第3题图 第4题图 4.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B= 30°，AD平分∠CAB,交BC于点D,若CD=1, 则BD= 5.(7分)如图，在△ABC中，AB=AC,AE⊥AB交 BC于E,∠BAC=120°，AE=3cm,求BC的长. 32 15分钟同步练习，情炼高效抓考点BR八年级数学上册3.解：(1)如图①所示，线段N即为所求（答案不唯一）： 图①D 图② (2)如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一）4 4.解：如图所示： (A) D B- 5.解：(1)如图，△'BC为所作： (2)s6m=3x3-2×1×3-2×2x1-7×2x3=3.5 6.解：如图.（部分答案不唯一） 图1 图2 第2课时用坐标表示轴对称 1.A2.B3.C4.A5.B6.A7.C 8.A【解析】，△ABC关于线m对称，且m=1,C、B关于直 线m=1对称.，，点C的坐标(4,1)，设点B坐标为(x,1), 2=1,解得x=-2,故点B坐标为(-2,1).故选A 4+ 9.(a,-b)【解析】：点A第一次关于x轴对称后在第四象限。 点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴 对称后在第二象限，点A第四次关于y轴对称后在第一象限。 即点A回到原始位置，∴每四次对称为一个循环组依次備环 :2025÷4=506…1.,经过第2025次变换后所得的A点与 第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为(，-b). 10,解：(1)A(1,-4),如图△ABC即为所求： (2)如图.△A,B,C,即为所求： 1 (3)四边形ABB,4,的面积=2×(2+6)×7=28。 高效同步练习15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.A 3.C【解析】设等腰三角形的底角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°，故选C. 4.等腰三角形的三线合一 5.46.70°或55° 7.3或8【解析】①当腰长为8时，底边长=19-2×8=3，经检 验，符合三角形三边关系：②底边长为8，此时腰长=(19-8)÷2 =5.5,经检验，符合三角形三边关系，因此该等殷三角形的底 边长为3或8. 8.A 同中练习，待炼高效损专。 9.B【解析】延长ED交AC于，点F.:△ABC是等腰三角形， ∠ABC=I20°，AB∥DE,∴.∠BAC=∠DFC=30°.∠CDE= ∠DFC+∠FCD,∠CDE=78°，∠FCD=78°-30°=48°，. ∠ACD=48°.故速B. 10.609 11.证明：(1).AD是BC的垂直平分线，.AB=AC,BD=CD, ∠ABC=∠ACB.∠DBC=∠DCB,:∠ABD=∠ACD: (2),AB=AC,AD是BC的垂直平分线，∴.∠BAD=∠CAD. DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF. 第2课时等腰三角形的判定 1.B2.C 3.证明：：BD是△ABC的角平分线，∠EBD=∠DBC.DE∥ BC,∴.∠EDB=∠DBC,∴∠EBD=∠EDB.EB=ED,.△BED 是等腰三角形. 4.A5.A 6.解：(1)25115小 (2)当DC=2时.△ABD≌△DCE,理由如下：∠ADC=∠B+ ∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=40°.∴，∠B.AD= ∠CDE.且AB=CD=2,∠B=∠C=40°.∴.△ABD≌△DCE (ASA). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA=110或80° 【解析】若AD=DE时.AD=DE,∠ADE=40°，.∠DEA= ∠DAE=70°∠DEA=∠C+∠EDC,∠EDG=30°，∴.∠BDA =180°-∠ADE-∠EDC=180°-40°-30°=110°：若AE=DE时 .AE=DE,∠ADE=40P,.∴∠DAE=40,.∠AED=100°. ∠DEA=∠C+∠EDC,∴.∠EDC=60°，∴.∠BDA=18O°-∠ADE- ∠EDC=180°-40°-60°=80°.若AD=AE时..：∠ADE=40 ∠AED=40°，此时点D与点B重合，不符合题意，舍去，解上所 述：当∠BDA=80°或1I0°时，△ADE的形状可以是等展三 角形 高效同步练习15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质和判定 1.D2.A 3.B【解析】，等边三角形ABC的周长为6，BC=2.E,F是 边BC上的三等分点，.BC=3EF=2.ED∥AB.FD∥AC, ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠G=60°，.△DEF是等边三角 形，.C△wr=3EF=2故选B. 4.185.A6.4 【解析】过点P作PFBC交AC于点F,,PFBC,△ABC 是等边三角形，，∠PFD=∠QCD,△APF是等边三角形，.AP =PF=AF.PE L AC,..AE=EF.AP CO,..PF=CQ. ∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌△OCD(AAS).FD=CD.'AE= EFEF+FD=AE+CD=DE=AC.AC=1 DE=2 8证明：(I):△ACD和△BCE是等边三角形，∴.AC=DC,CE= CB,∠DCA=∠ECB=6O°，∴，∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DGE (AC=DC. .∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中. ∠ACE=∠DCB, CE=CB △ACE≌△DCB(SAS),∴.AE=BD: (2),由(1)得，△ACE≌△DCB,∴.∠CAM=∠CDN.∠ACD =∠ECB=60°，.∠DCN=60°.在△ACM与△DCN中 I∠MAC=∠NDC. AC=DC. ,∴.△ACM≌△DCN(ASA),∴MC=NC ∠AGM=∠DCN=60° :∠MCN=60,.△MCN为等边三角形，∠NMC=∠DCM. .MN//AB. 第2课时含30°角的直角三角形 1.C2.C3.D4.2 5.解：AB=AG,∠BMC=120°，∴∠B=∠C=30°.'AE⊥AB,AE =3cm,.BE=2ME=6cm,∠EMC=30°，∴.∠C=∠EAC=30°，∴. AE=EC,BC=BE+EC=6+3=9(cm). 6.B【解析】由题意可知DE垂直平分BC,.BE=EC=2,∠B= ∠ECD=30°，∠BDE=∠CDE=90°.：CE平分∠ACB,∴.∠ACB =2∠ECD=60°，LA=90,∠ACE=30°，AE=2CE=1故 B眼人年餐数呼上明 73 选B 7.B【解析】AB=AC,∠BAC=120°，.∠B=∠C=30°.：DE ⊥AB,DF⊥AC,鲁足为E,F,DE= 2 BD.DF= 2 DC..DE+ 2DC=- (BD+DC)=2BC=4m.放进B. 8.(I)正明：：△ABC为等边三角形，.∠C=LCAB=∠ABC= 60°，AB=AC.在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C.AE= CD,∴.△ABE≌△CMD(SAS),.BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD.∴.AD=BE.∠ABP=∠DAE ∠BPQ=∠ABP+∠B4D=∠BAC=60°.：BQ⊥AD,.∠BQP =90°，.∠PB0=30°，.BP=2PQ=6.PE=1,AD=BE=6+ 1=7. 数学活动 1.A2.A 3.(I)【特例呈现】证明：连接AD.AB=AC.点D是BC的中点 ,AD平分∠BAC.,DE⊥AB.DF⊥AC.DE=DF: (2)【一般探索】BD=CD 证明：连接AD,交C于点M.,AB=AC,BD=CD,.点A,D在 线段BC的垂直平分线上，AD垂直平分BC,AB=AC,AD1 BC.,AD平分∠BAC.DE⊥AB.DF⊥AC,DE YE =DF: (3)同意小强同学的说法，如图，当点D在BC的 垂直平分线上，在∠BAC外角平分线上，满足条B】 件，但△ABG不是等腰三角形. 高效同步练习综合与实践最短路径问题 1.c 2A【解析】延长CD至C,使CD=CD.,∠ADC=90°，，点C 与，点C关于AD对称，连接CB交AD于P',此时PC+BP= BC最小.“，∠A+∠ADC=90°+90°=180°，.CDAB.,∠C= ∠ABC,∠BCC=180°-∠ABC=120°.·CD=CD,.CC= 2CD..·BC=2CD,.CC=BC,.∠C=∠ABC=∠CBC=30° 过点B作BE⊥CD交DC的延长线于E,则BE=AD=2,在RI △BEC'中，∠C=30°，BE=2,.BC=2BE=4,即PB+PC的值 菱小值为4，故选A 3.C4.B 5.解：(1)CB'C'B'AB三角形的任意两边之和大于第三边 (2)6【解析】连接C,NC,:△ABC是等边三角形，AD是 BG边上的中线，∴，AD垂直平分BC,:BIH=CW,.BM+MN= C+MW≥NC,.当点V,M,C三点共线时，BM+/N有最小位 即NC的长度.·AD=6,N是AB的中，点，△ABC是等边三角 形，∴.NC=AD=6,∴.BM+N的最小值为6. 追梦第十五章章末复习轴对称 一、选择题 1.B2.D3.B4.C 二、填空题 5.16.367,12 2【解析】：在△ABL,中，∠A=70,AB=A,B,∠BM,A= 70°，A,A=AB,∠B,A是△A,A,B,的外角，∠B,AA,= ∠BAA 2=359:同理可得，∠B,44=17.5∠B,4d=7× 17.50=35 ∠A-4B1= 70 247 三、解答题 9.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示： (2)如图，△A,B,C即为所求： (3)如图，点P即为所求： 74 同步练习，情炸高效抓专 10.解：(1)①如图，点D即为所求： 2射线AE即为所求： (2),DF垂直平分线段AB..DB=DA,,∠DAB=∠B=30 ∠C=40°，.∠B4C=110°，.∠C4D=110°-30°=80. AE平分∠DAC,点∠DAB=)∠DAG=40 11.解：(1)：△ABC是等边三角形..∠A=∠B=∠ACB=60.: DE∥AB,.:∠B=∠EDG=60°，∠A=∠CED=60.,EF⊥ED. ∴.∠DEF=90e,,∠F=30 (2)由(1)可知∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.，△DCE是等 边三角形..CE=DC=DE=2.又，在Rt△DEF中，∠F=30P, .DF=2DE=4. 12.解：(1)= (2)= 理由如下：过点E作EF∥BC,交AC于点F在等边△ABC中 ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AG.EF∥BC, ∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∴，∠AEF=∠AFE=∠BAC= GO°，.AE=AF=EF,六，AB-AE=AC-AF,即BE=CF.ED= EC.∴.∠EDB=∠ECB.∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB= ∠ECGB+∠FCE.,∠BED=∠FCE,在△DBE和△EFC中. ED=CE ∠DEB=∠ECF.∴.△DBE≌△EFC(SAS).,DB=EF.,AE EB=CF =BD: (3)CD的长是3或1.【解析】①如图1，过点E作EF⊥CD 于点F,AB=AC=1,AE=2.,B是AE的中点.△ABC是 等边三角形，：AB=AC=BC=1,LABC=60P,.∠DBE= LABC=60,B=1,LAEF=30BF== 2.CP 3 =2+1=2BD=BC,EBF1GD,CD=2CF=3:②如国2. 过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M.,AB=BC=I, AE-2.BE=3.ZABC=60 LBEM=30BM=2BE 3 CM=BM-8G=EC=ED,EM 1CD.:.CD=2CM =1.综上，CD的长是3戎1 图1 图2 高效同步练习16.1,1同底数幂的乘法 1.B2.C 3D【解析】x+y-3=0,x+y=3,2×2=2=2=8.故 选D. 4.B【解析】，5×10=50..2"×2=2，.2=2Y,∴a+b=c.故 选B. 5.C6.C 7.6【解析】2×2=21=2=20，m+4=10,得n=6. &解：0)原式=（宁（宁产 1 (2)原式=(b-a)·(b-a)'+(b-a)°·(6-e)=(b-a)'+(b a)'=2(-u). 9.解：x-·x=x",且y1·y=y”,.m-n+2m+1▣11，m-1 +4-n=5,解得m=6.n=4.,mn2=6×4=96. 10.B11.C 12.G【解析】.：2=5，.2=2×2=5×8=40.故选G 13.54 14.12【解析}心=·'=36，'=6..a'=6,.a'+a=12 B眼人年餐数呼上明