高效同步练习15.3 角的平分线-【追梦之旅·大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（沪科版2024）

高效同步练习1S 知识点①作已知角的平分线 1.(4分)阅读下列作图步骤：①在OA和OB上 分别截取0C,OD.使OC=OD:②分别以C,D 为圆心，以大于，CD的长为半径画弧，两弧在 ∠AOB内交于点P:③作射线OP,连接CP DP,则△OCP≌△ODP的依据是( A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 2.(8分)如图，已知锐角三角形ABC,∠A=60 (1)尺规作图：①作BC的垂直平分线： ②作∠B的平分线BM,且BM交AC于点M: (2)若1与BM交于点P,∠BCP=32°，求 ∠CMP的度数. 知识点②角的平分线的性质 3.(4分)如图，OC平分∠A0B,在OC上取一点 P,过P作PQ⊥OB,若PQ=7cm,则点P到 OA的距离为( ) A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 第3题图 第4题图 58 25分仲同岁练可，精棒离效抓 ,3角的平分线 4.(5分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE是 △ACD的高线.若AB=5,SAD=4,则DE的 长为 5.(8分)（黄山期末）如图所示，OM平分 ∠POQ,MA⊥OP.MB⊥OQ,点A,B为垂足， AB交OM于点N.求证：OA=OB. 知识点③角的平分线的判定 6.生活情境·修建市场(4分)三条公路将A,B, C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果 在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸 市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸 市场应建的位置是() A.∠A,∠B两内角平分线的交点处 B.在AC,BC两边中线的交点处 C.在AC,BC两边高线的交点处 D.在AC,BC两边垂直平分线的交点处 B 第6题图 第7题图 7.(5分)如图，PM⊥OA,PN⊥OB,∠B0C=30°， PM=PN,则∠AOB= 考点ZBK人年饭数学上册 易错点)对角的平分线的判定理解不正确 8.(5分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论： ①DC=DE: ②DA平分∠CDE: ③DE平分∠ADB: ④BE+AC=AB: ⑤∠BAC=∠BDE. 其中正确的是 (写序号). 9.(4分)如图，AB∥CD,BP和CP分别平分 ∠ABC和∠BCD,AD过点P且与AB垂直.若 AD=6,BC=8.则△BCP的面积为( A.12 B.14 C.24 D.48 10.(4分)如图，在四边形ABCD中，∠A=90° 连接BD,∠ABD=35°，BD⊥CD,过点D作 DP⊥BC于点P,若AD=DP,则∠C的度 数为( A.55 B.35° C.60 D.80° 11.(5分)如图：一把直尺压住射线OB,另一把 直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点 P,小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分 线.”他这样做的依据是 第11题图 第12题图 25分钟同步练可，精棒高效圳 12.(5分)（淄博一模）如图，△ABC中，点O是 ∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC =12,过点O作OD⊥BC于点D,且OD=2, 则△ABC的面积为 13.(10分)如图，△ABC中，∠B=∠C,点D是 边BA延长线上一点， (1)尺规作图：过点D作DE⊥BC于点E,交 AC于点F(要求：保留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)得到的图中，求证：∠BDE=∠AFD. D 画第5章 考点BK人年饭数学上册 5912.解：(1)② (2)①22.5 ②CD=2BE.证明如下：延长BE交CA延长线于点E,:CD平 分∠ACB,,∠ACE=∠BCE,在△CEF和△CEB中」 (∠FCE=∠BCE CE=CE .△CEF≌△CEB(ASA),FE=BE=2 L∠CEF=∠CEB BF.,∠DAC=∠CEF=乙BAF=90°，∴，∠ACD+∠F=∠ABF4 ∠F=90°，，∴.∠ACD=∠ABF,在△ACD和△ABF中. LACD=∠ABF AC=AB ,△ACD≌△ABF(ASA),.CD=BF ∠CAD=∠B.4F=90 ∴.CD=2BE. 高效同步练习15.1轴对称图形 第」课时轴对称图形 1.C2.B3.C4.D5.B 6.解：画图如下。 7.解：如图.（答案不唯一） 图1 图2 第2课时轴对称 1.D 2.解：如图所示： A() 3.C4.B5.A6.C 7.20em2【解析】由轴对称园形的性质可得Sa=S△一Sm =SAM= 2×10x2×8=20(em). 8.(1)证明：在长方形ABCD中，∠A=∠C=90°，AD∥BC,AB= DC..∠AEB=∠EBF.由折叠的性质可得∠C=∠C=90°，BE CF,BC=DC,.∠A=∠C,AB=BC,∠EBF=∠BFC', ∠AEB=∠BFC,∴.△ABE≌△C'BF(AAS),.BE=BF (2)解：由(I)知△ABE≌△CBF,S△=Sac,BE=F= DE.SRaBEEn=SaCt十S6T=Saw+SANEE=S版n= (AE+BF)·AB8×4 2 216. 第3课时平面直角坐标系中的轴对称 1.A2.B3.C4.A5.A6.C7.B 8.(u,-b)【解析】：点A第一次关于x轴对称后在第四象限 点A第二次关于y轴对称后在第三象限，点A第三次关于x轴 对称后在第二象限，点A第四次美于y抽对称后在第一象限 即点A回到原始住置，“每四次对称为一个循环组依次循环 :2025+4=506…1.,经过第2025次变换后所得的A点与 第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为(，-b). 9.解：(1)A(1,-4),如图△ABC即为所求： (2)如图，△AB,C,即为所求： 同步练可，精练高效城考 (3)S期4，=2×(2+6)×7=28。 高效同步练习15.2线段的垂直平分线 第「课时线段的垂直平分线的性质及判定 1.C2.3 3.12【解析】，DE是AB的中垂线，，DB=DM.△BDC的周 长为22，.BC+BD+CD=22,即BC+CD+DA=BC+CA=22':BC =10..AG=12. 4.C 5.B【解析】，DE是线段AB的垂直平分线，GF是线段BC的 垂直平分线，∴，EB=EA,GB=GC.EB+GB+EG=16,.EA+GC +EG=16...GA+EG+EG+EG+EC=16...AC+2EG=16.EG= 1,,AC=14.故选B 6.C【解析】连接DC.AD,CD,AC是△ACD的三条边，，AD+ DG≥AC.:MN为边BC的垂直平分线，，DC=BD,:AB=5 BC=10,AC=9,.△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC≥ AB+AC=5+9=14,故选C. 7.(1)证明：连接CD.BD.·DG是BC的垂直平分线，.CD=BD AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠FAD= ∠BMD,∠F=∠DEB=90°，又AD=AD,∴.△ADFa△ADE (AAS),·.DF=DE.在Rt△CDF和RI△BDE中， (CD=BD (DF=DE R△CDF≌Rt△BDE(Hl）,∴.BE=CF: (2)解：由(1)可知△ADF≌△ADE,BE=CF,.AE=AF=6. △ABC的周长=AB+AC+BC=AE+BE+AF-CF+BC=AE+AF+B(C =6+6+7=19. 第2课时 线段的垂直平分线的画法与应用 1.C2.A 3.解：如图，点P即为凉亭的位置. A 4.C 5.解：()如图，DE即为所求： C4 (2)由题意可得DE垂直平分AB,∠ADE=90°，∠A=80°， ,,∠AED=10. 高效同步练习15,3角的平分线 1.D 2.(1)解：①如图，直线1为所作：②如图，BM为所作： B (2)连接CP,,直线1垂直平分BC.,PB=PC..∠PBC= ∠BCP=32.BM平分∠ABC,∴.∠ABM=∠CBIM=32°， ∠PC=∠A+∠ABM=60°+32°=92 3.D 4.1.6【解析】过D作DF⊥AB于F.DF⊥AB,DE是△ACD的 高线，AD是△MBC的角平分线，DE=DF.:Sam=2×B× DF=4.AB=5,解得DF=1.6..DE=1.6. 5.证明：0M平分∠P0Q,MA1OP.MB1OQ,÷AM=BM,在Rt △A0M和R△B0M中，{QWW,胜△AOW≌m△B0M (HL)...0A=OB. 6.A7.60°8.①2④5.9.A10.A 11,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 12.I2【解析】作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,连接OL. ,点D是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，+.OE=OD.OF=OD. 即0E=0F=0D=2.六S6w=Sam+Sam+Saam=2B·0E ZK人年级数学上册 77 +BG OD+AG OF-x2x(AB+BCAC)=12 13.(1)解：如图，DE即为所求 B EC (2)证明：.·DE⊥BC.,.∠DEB=∠DEC=90°，.∠B+∠BDE =90°.∠C+∠CFE=90",",∠B=∠C,∴.∠BDE=∠CFE. ∠CFE=∠AFD,.∠BDE=∠AFD. 高效同步练习15,4等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质定理」及推论 1.D 2.C【解析】设等腰三角形的麻角为x,顶角为30°+x,根据题 意，得2x+30°+x=180°，解得x=50°，故逃C 3.A4.C5.A6.70°或55 7.A 8.B【解析】延长ED交AG于，点F.△ABC是等腰三角形 ∠ABC=I20°，AB∥DE,∴.∠BAC=∠DF℃=30°.，∠CDE= ∠DFC+∠FCD,∠CDE=78°，.∠FCD=78°-30°=48°，. ∠ACD=48.故选B. 9,证明：，AD是BC的垂直平分线.∴，AB=AC,BD=CD,∴，∠ABC =∠ACB.∠DBC=∠DCB.∴.∠ABD=∠ACD. 第2课时等腰三角形的性质定理2 1.c 2.C【解析】：AC=BC,∠A=40°，.∠B=∠A=40°，∴.∠ACB= 180°-40°-40°=100°：AC=BC,点D是AB边上的中点 .∠ACD= 2∠ACB=50.DE∥AC,.LCDE=∠ACD=50, 故选C. 3.轴对称对称：轴4.等腰三角形的三线合一 5.解：BE=AE,∠BAD=∠ABE=259.,AB=AC,点D为BC 边的中点.÷AD平分∠BAC,,∠BAC=2∠BAD=50° 6.B7.558.4 9.解：(1)连接AE.EF重直平分AB,.AE=BE.,BE=AC. .AE=AC.:D是EC的中点，∴AD⊥BC (2)设∠B=x.,AE=BE,.∠BAE=∠B=x,∠AEC=2x ,AE=AC.∴.∠C=∠AEC=2x°，3x9+759=180°.解得x=35., ∠B=35°. 第3课时等腰三角形的判定 1.B2.C 3.B【解析】·等边三角形ABC的周长为6，：.BC=2*E,F是 边BC上的三等分点，.BC=3EF=2..ED∥AB,FD∥AC,. ∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60P.+,△DEF是等边三角 形，一Cawn=3EF=2故选B. 4.185.A 6.解：(1)25115小 (2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.理由如下：*∠ADC=∠B+ ∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CIDE,∠B=∠ADE=40°，·∠BAD= ∠CDE.且AB=GD=2,∠B=∠C=40°.∴.△ABD≌△DcE (A5A). (3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA=I10°或80°. 【解析】若AD=DE时.，AD=DE,∠ADE=40°，∴.∠DEA= ∠DAE=70°，·∠DEA=∠C+∠EDC.:.∠EDC▣30°，.∠BDA =180°-∠ADE-∠EDC=180°-40°-30°=1I0:若AE=DE时. ,AE=DE,∠ADE=40°，∴.∠DAE=40°，∴.∠AED=I00°. ∠DEM=∠C+∠EDC.∠EDC=60°，.∠BDA=180°-∠ADE ∠EDC=180°-40°-60°=80°.若AD=AE时.·∠ADE=40° ∠AED=40°，此时点D与点B重合，不符合题意，金去.然上所 述：当∠BDA=80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三 角移， 第4课时含30角的直角三角形的性质定理 1.C2.C3.D4.2 5.:,AB=AC,∠BAC=120,.∠B=∠C=30°.：AE⊥AB.AE =3em,.BE=2E=6m,∠EAC=30°，.∠C=∠EAC=30°， AE=EC,BC=BE+EC=6+3=9(cm). 6.B【解析】由题意可知DE垂直平分BC,∴，BE=EC=2,∠B= ∠ECD=30P,∠BDE=∠CDE=90°.，·CE平分∠ACB,.∠ACB =2∠ECD=60°，∠A=90°，∠ACE=30,AE=2CE=1.故 78 同步练可，精练高效机考 远B. 7.B【解析】.：AB=AC.∠BAC=120°.∴，∠B=∠C=30°，，DE 1AB,DF⊥AC,毫是为E,F,DE=2BD,DF=2DC,DE+ 8.(1)证明：△ABC为等边三角形，∠C=∠CAB=∠ABC= 60°，AB=AC,在△ABE和△CAD中，AB=CA,∠BAE=∠C.AE= CD.∴.△ABEe△CAD(SAS),∴.BE=AD. (2)解：由(1)知△ABE≌△CMD,∴.AD=BE.∠ABP=∠DAE .∠BPQ=∠ABP+∠BAD=∠BAC=60°.：BQ⊥AD,∠BQ =90°，∴.∠PBQ=30,BP=2PQ=6.PE=1,AD=BE=6+ 1=7. 专题利用轴对称解决最值问题 1.C2.B 3.解：(I)CB'C'B'AB三角形中任意两边的和大于第三边 (2)6 专题等腰三角形中的数学思想 1.解：(I)由折叠的性质可知.DA=DB,.△ACD的周长为DA+ DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm: (2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x.DA=DB..∠B=∠BAD= 2x,在R1△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即2x+2x+x=90°，x= 18°，∠B=2x=36 2.解：设∠EBD=x°.，BE=DE,∴∠EDB=∠EBD=x°，，∠EBD +∠EDB+∠BED=180°，∠BED+∠AED=I80°，AD=DE,.∠A =∠AED=2x°.，：∠A+∠ABD+∠ADB=180P.∠BDC+∠ADB= 180°，.∠BDC=∠A+∠ABD=3x°.BD=BC,.∠BDC=∠C =3x”.“,AB=AC,∴.∠ABC=∠C=3x°.在△ABC中.2x+3x+3x =180,解得x=22.5,∴.∠A=2x°=45°. 3.D 4.D【解析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时.等腰 △4BC的周长为20，.它的底边长为20-8-8=4，∴.它的“优 美比”= 82:当等腰三角形的底边长为8时.：等腰△4BC 41 的网类为20它的降长为了×(20-8)=6六它的化关比 为8.4 名子：综上所运：它的~化关比为了故选D 5.B【解析】本题可分两种情况：①当70°为等腰三角移的底角 时，顶角为180°-2×70°=40°：270°为等腰三角形的顶角：固比 这个等腰三角形的项角为40或70°.故选B 【变式】B【解析】当∠A为顶角，六∠B=180°∠4 2 180°-80 -=50°：当∠B是项角，则∠A是底角，则∠B=180°- 2 80°-80°=20°：当∠C是项角，则∠B与∠A都是底角，则∠B= ∠A=80°.棕上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，故选B. 6.82 专题特殊三角形中常用辅助线的作法 1.A AB=AE. 2.证明：连接AC,AD,在△ABC和△AED中， ∠ABC=∠AED., (BC=DE. △ABC≌△AED(SAS),÷.AC=AD.点F是CD的中点，∴.AF ⊥CD. 3证明：作EF LAC于点FBA=EC,A=FC=2AC.AC= 2AB.:∴.AF=AB..AD平分∠BAC..∠BAD=∠C4D.在△BAE (AB=AF 和△FAE中， ∠BAD=∠CAD,△ABE≌△AFE(SAS), AE=AE ∠ABE=∠AFE=90°.∴.EB⊥AB 4.4cm3 5.解：延长BA、CD交于点M.,∠ADC=120°，∴.∠ADM=60°. ∠C=30°，∠B=90°，∠BMC=60°，∴.△ADM是等边三角形 设AD=AM=DM=x,,CM=8+x,BM=2+x,在Rt△BCW中 ∠C=30°，CM=2BM,.8+x=2(2+x),解得x=4,∴.AD=4 追梦第15章章末复习轴对称图形与等腰三角形 1.B2.D3.B4.C ZK人年级数学上册