专题04 不等式性质及一元二次不等式（2知识点+8考点+3易错点）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《阶梯册》考点训练

专题04 不等式性质及一元二次不等式 知识点一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 知识点二、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点01 利用作差法或作商比较大小 1．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 4．设，比较与的大小 【答案】 【详解】， ， ， . 5．（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）法一： ． 由于， 所以当时，，，  即 法二：因为，所以 所以，则     即 法三：因为，要证 即证 即证 由于，   所以原不等式成立 （2）解：因为，， 所以 因为，且，所以，， 所以，即 考点02 不等式的性质 6．已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 7．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 8．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 10．已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 【答案】3 【详解】命题：若（1）；（2），则（3）． 因为，， 所以不等式两边同时除以可得，即， 所以由（1）；（2）可得（3）成立； 命题：若（1），（3），则（2）. 因为，，所以，即， 所以由（1），（3），可得（2）成立； 命题：若（2）；（3），则（1）. 因为，所以. 因为，所以，所以， 所以由（2）；（3），可得（1）成立． 所以组成的3个命题都是真命题. 故答案为：3. 考点03 求代数式的取值范围 11．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 12．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 13．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 14．（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】记①，②，因为， 所以由①②得，A错误，B正确； 由①，②得，， 两式相加得，所以，C正确，D错误． 故选：BC. 15．对于实数，若，则的最大值为 . 【答案】3 【详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 考点04 解不含参数的一元二次不等式 16．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，可得，即不等式的解集为， 对于A中，集合是成立的充要条件，所以A不符合题意； 对于B中，集合 是的必要不充分条件，所以B符合题意； 对于C中，集合 是的充分不必要条件，所以C不符合题意； 对于D中，集合是的既不充分也不必要条件，所以D不符合题意. 故选：B. 17．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 18．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 故选：A． 19．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 化简得，， 故选：B． 20．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 考点05 解分式不等式、绝对值不等式 21．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：或， 所以． 因为，所以. 故选：B 22．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 故选：B. 23．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不等式，不等式， 而集合是集合的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 24．不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 25．已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由得，解得，则， 由得，则， 所以若成立，则成立， 但成立，但不一定成立， 则是的充分不必要条件. 故选：B. 考点06 由二次不等式的解求参数 26．已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题可得得、为方程的根， 将代入，得， 即. 故答案为： 27．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 28．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 29．已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【详解】由题意，不等式的解集是， 所以，，所以①正确； 变形为，其解集为， 所以，得，故成立，所以②正确； 若不等式的解集为，由韦达定理知： ，所以③错误； 若不等式的解集为， 由韦达定理知：， 则，解得， 所以④正确. 综上，正确的为：①②④ 故选：C 30．（多选）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 考点07 二次不等式的恒成立问题和有解问题 31．当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 32．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令则，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 33．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 34．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】    可将当时，有解转化为至少有一个负数解，构造，，画出图形，如图： 当时，两个图像相交于点，要使其相交于轴左侧，则需满足， 在的图像不断左移的过程中，若与左侧曲线相切， 则有，对应的，解得，则， 综上所述，． 故答案为： 35．已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值范围； (2)设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为命题是假命题，所以命题的否定“， 使得不等式成立”为真命题， 则，解得， 故实数m的取值范围； （2）若是的充分条件，则， ，解得，即. 考点08 解含参数的一元二次不等式 36．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 37．（多选）对于给定的实，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】ABD 【详解】当时，， 因为，所以的图象开口向上， 方程的根为和， 所以不等式的解集为或； 因为不等式是二次不等式，所以不等于； 当时，不等式可化为， 因为，所以的图象开口向下， 若，则不等式变为，无解，不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，解集可能为，，，或. 故选：ABD 38．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 39．解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 40．已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 所以，解得， 不等式的解集为. （2）若，， 则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得； 当时，因为，所以解得或； 当时，，所以由不等式可解得； 当时，，所以由不等式可得. 易错01 不等式性质应用不当 1．（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，但不成立，故B错误； C：当时，，故C错误； D：由，得，故D正确. 故选：D 易错02 解分式不等式时忽略了分母 1．不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】移项， 即 等价于解得 所以不等式的解集是 故选：C. 易错03 解含参数不等式时分类讨论不当 1．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 2．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 刷基础 1．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 2．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，而， 所以是成立的充分不必要条件. 故选：A 3．下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为恒成立，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当是，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 4．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 5．（多选）在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 6．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 7．若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，显然解集为空，满足题设； 当时，在上无解， 所以，可得； 综上，. 故选：C 8．已知关于的方程的两根为，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】设， 当时，；当时，； 由题意得，解得或． 故答案为：或． 9．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 【答案】14.5 【详解】根据题意，如图所示的几何图形，则，，， 设绳索长度为尺，则秋千被向前推10尺时，绳索顶端距踏板的竖直距离为尺， 此时，，刚好构成一直角三角形， 则根据勾股定理可列方程为，解得， 即绳索长度为14.5尺．    故答案为：14.5 10．命题，命题，若是的充分条件，则的取值范围是 ，若是的必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 ； 【详解】由题意，，， 若是的充分条件，则， 所以，解得， 又因为，所以的取值范围为. 若是的必要条件，则， 所以，所以， 又因为，所以的取值范围为. 故答案为：；. 11．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 12．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】，理由见解析. 【详解】，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 刷能力 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 2．（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 3．已知方程有两个不等的正实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】设，易得即， 从而所以或即为所求的取值范围． 故答案为：或. 4．（多选）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABD 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，方程组的解为，不是整数， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为或 故选：ABD. 5．已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 故选：D． 6．关于x的不等式（）的解集为 ． 【答案】 【详解】根据题意，， 即，又，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【详解】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B 2．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2024·25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 4．（2024·25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 5．（2024·25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 6．（2024·25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求； (2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，， 且， 则或，故或. （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 7．（2024·25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）时，，解得或， 原不等式的解集为或； （2）令，由得， 故，， 故， 当时，取得最小值，最小值为. 8．（2024·25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 不等式性质及一元二次不等式 知识点一、不等式的性质 1.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 双向性 传递性 单向性 可加性 双向性 同向可加性 单向性 可乘性 单向性，注意的符号 同向同正可乘性 单向性 可乘方性 单向性 可开方性 单向性 2.倒数以及分数的有关性质 倒数的性质 . . . . 分数的性质（） ； ； 知识点二、一元二次不等式及其解法 1．三个“二次”之间的关系 判别式 的图象 一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 2．一元二次不等式恒成立问题 （1）恒成立的充要条件是：或 （2）恒成立的充要条件是：或 考点01 利用作差法或作商比较大小 1．已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 3．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 4．设，比较与的大小 5．（1）已知，证明； （2）已知，，其中且，比较的大小． 考点02 不等式的性质 6．已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 8．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10．已知三个不等式（1）；（2）；（3），以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成的真命题个数为 个. 考点03 求代数式的取值范围 11．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 15．对于实数，若，则的最大值为 . 考点04 解不含参数的一元二次不等式 16．不等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 17．不等式的解集为 ． 18．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 19．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 20．若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 考点05 解分式不等式、绝对值不等式 21．设集合，则（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 23．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．不等式的解集为 ． 25．已知，若，，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点06 由二次不等式的解求参数 26．已知关于x的不等式的解集为，则的值为 ． 27．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 28．（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 29．已知不等式 的解集是，则 ①； ②若不等式的解集为，则； ③若不等式的解集为，则； ④若不等式的解集为，且，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③ 30．（多选）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 考点07 二次不等式的恒成立问题和有解问题 31．当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 33．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 34．已知当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ． 35．已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． (1)求实数m的取值范围； (2)设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 考点08 解含参数的一元二次不等式 36．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 37．（多选）对于给定的实，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（   ） A． B． C．或 D．或 38．若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 39．解关于的不等式（为常数且）. 40．已知关于x的不等式． (1)若，，且，试求它的解集； (2)若，，试求它的解集． 易错01 不等式性质应用不当 1．（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 易错02 解分式不等式时忽略了分母 1．不等式的解集是 . 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 易错03 解含参数不等式时分类讨论不当 1．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 刷基础 1．（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．命题，命题，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程的两根为，，且，则实数的取值范围为 ． 9．程大位是我国明代著名数学家、珠算发明家．其杰作《算法统宗》里的一道题为：平地秋千未起，扳绳离地一尺，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．仕女佳人争蹴，终朝语笑欢戏，良工高士请言知，借问索长有几？将其译成现代汉语，其大意是，一架秋千当它静止不动时，踏板离地一尺，将它向前推两步（古人将一步算作五尺）即10尺，此时踏板升高离地5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，则绳索的长为 尺． 10．命题，命题，若是的充分条件，则的取值范围是 ，若是的必要条件，则的取值范围是 . 11．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 12．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 刷能力 1．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 3．已知方程有两个不等的正实数根，则实数的取值范围为 ． 4．（多选）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的值可能为（   ） A． B． C． D．5 5．已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 6．关于x的不等式（）的解集为 ． 7．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 刷期中期末真题 1．（2024·25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 5．（2024·25高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 6．（2024·25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，集合. (1)当时，求； (2)设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．（2024·25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数的图象与x轴交于，两点，求的最小值. 8．（2024·25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$