1.5 弹性碰撞和非弹性碰撞 习题课 讲义 -2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

动量守恒定律 专题1 碰撞习题课 一、基础梳理 （一）碰撞的三种形式 碰撞类型 特征 重要关系式或结论 弹性 碰撞 动量守恒 机械能守恒 动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 机械能守恒定律：m1+m2=m1v1'2+m2v2'2 v1'= ； v2'= 。 若碰撞前,有一个物体是静止的,设v2=0,则碰撞后的速度分别为： v1'=、v2'=,对这一结果可做如下讨论: （1）若m1=m2,则v1'=0,v2'=v1, 即两者碰后交换速度； （2）若m1≫m2,则v1'>0,v2'>0, 碰后m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去； （3）若m1≪m2,则v1'<0,v2'>0,碰后m1反向以原速率弹回,m2仍静止. 非弹性 碰撞 动量守恒、能量守恒 (机械能有损失) 动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 能量守恒定律：m1+m2=m1v1'2+m2v2'2+ΔE损 完全非弹性碰撞 动量守恒、能量守恒 (机械能损失最大) 【碰后物体粘连、共速】 动量守恒定律：m1v1+m2v2=(m1+m2)v 能量守恒定律：m1+m2(m1+m2)v2+ΔE损max 最大机械能损失：ΔE损max= ； “一动一静”时：ΔE损max= . （二）碰撞中的临界问题 相互作用的两个物体在很多情况下可当做碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”，相当于完全非弹性碰撞模型．常见模型与具体分析如下： 1.如图所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大； 2.如图所示，光滑水平面上有两个带同种电荷的物体A、B，当其中一个A以速度v向静止的另一个B 靠近的过程中（设A、B不会接触），当两者相距最近时，二者速度必定相等； 3.如图所示，物体A以速度v0滑上静止在光滑水平面上的小车B，当A在B上滑行的距离最远时，A、B相对静止，A、B两物体的速度必定相等； 4.如图所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球的竖直速度为零），两物体的速度必定相等（方向为水平向右）； v0 v共 hm v2 v1 5.如图所示，光滑水平杆上有一质量为m的环，通过一长为L的轻绳与M相连，现给M以瞬时水平速度v0.（设M上升最高不超过水平杆），则M上升最高时，m、M速度必定相等． v0 v0 v=0 v=0 hm v共 v共 v共 v共 v1 v2 二、内化知识·对点验收 【例1】在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度，静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　） A.将1号移至高度h释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度h。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度h B.将1、2号一起移至高度h释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 C.将右侧涂胶的1号移至高度h释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号不能摆至高度h D.将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度h释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 【例2】如图所示，在光滑的水平面上有两物块、，其中的质量为，的质量为，物块的左端固定一个轻弹簧。一开始物块及弹簧静止，物块以速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物块发生作用，则弹簧最大的弹性势能是（ 　 　） A. B. C. D. 【例3】（多选）A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，已知，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（　　） A.， B.， C.， D.， 【例4】甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为（　　） A.1J B.2J C.3J D.4J 【例5】如图所示，小木块用细线吊在O点，此刻小木块的重力势能为零．一颗子弹以一定的水平速度射入木块A中，并立即与A有共同的速度，然后一起摆动到最大摆角α（0<α<90°）．如果保持子弹质量和入射的速度大小不变，而使小木块的质量稍微增大，关于最大摆角α、子弹的初动能与木块和子弹一起达到最大摆角时的机械能之差ΔE，有（ ） A.α角增大，ΔE也增大 B.α角增大，ΔE减小 C.α角减小，ΔE增大 D.α角减小，ΔE也减小 【例6】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为原来静止的小物块。已知车的净质量均为，将1号车以速度向右推出，先与2碰撞结合为一体后再撞击3，最终三车合为一体。忽略一切摩擦和阻力，则第二次碰撞过程中损失的机械能为（　　） A.18J B.36J C.54J D.72J 【例7】长为、质量为的平板小车停在光滑水平面上，质量为的木块可视为质点）以速度滑上小车的左端，最后刚好停在小车的右端，如图甲所示；若小车以速度向左运动时，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，则（ ） A.木块最终将滑出小车 B.木块最终停在小车上，但还离右端一段距离 C.木块将滑出小车 D.两种情况中木块相对小车滑行的时间相等 【例8】如图所示，将一半径质量的光滑半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧靠在固定的竖直墙壁上。现让一质量的小球可视为质点自左侧槽口点正上方的点从静止开始落下，、间的距离，小球与半圆槽相切滑入槽内。已知重力加速度，求： （1）小球运动到半圆槽最低点时的速度大小； （2）小球第一次离开半圆槽时的速度大小； （3）小球第一次离开半圆槽后，能够上升的最大高度. 【例9】如图所示，A、B两个木块质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触面光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求： （1）木块A的最终速度大小； （2）铁块刚滑上B时的速度大小. 【例10】利用冲击摆可以粗略测量子弹的速度。如图所示，质量为M = 2 kg的沙袋用结实的轻绳悬挂在天花板上的O点，O点到沙袋重心的距离为L = 1.5 m。质量为m = 10g的子弹以水平速度射向沙袋中心，射穿后子弹的速度减小为v1 = 100m/s。子弹射穿沙袋后沙袋上摆的最大高度h = 0.1125 m。子弹射穿沙袋的时间极短，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力可以忽略。求： （1）子弹射穿沙袋后瞬间沙袋的速度大小v； （2）子弹射穿沙袋后瞬间轻绳对沙袋的拉力大小F； （3）子弹射入沙袋前的速度大小. 【例11】如图所示，光滑悬空轨道上静止一质量为2m的小车A，用一段不可伸长的轻质细绳悬挂一质量为m的木块B。一质量为m的子弹以水平速度v0射入木块B并留在其中(子弹射入木块时间极短)，在以后的运动过程中，摆线离开竖直方向的最大角度小于90°，试求： （1）木块能摆起的最大高度； （2）小车A运动过程的最大速度. 【例12】如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为m的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度v0，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求： （1）B与C碰撞前的瞬间，B的速度大小； （2）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小； （3）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能. 三、课后知能作业 1.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（　　） A.动量守恒，机械能不守恒 B.动量不守恒，机械能守恒 C.动量守恒，机械能守恒 D.无法判定动量、机械能是否守恒 2.质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是（　　） A.， B.， C.， D.， 3.如图所示，用轻弹簧相连的质量均为的A、B两物块静止于光滑的水平地面上，弹簧处于原长，质量为的物块C以的初速度在光滑水平地面上向右运动，与前方的物块A发生碰撞（碰撞时间极短），并且C与A碰撞后二者粘在一起运动，A、B、C三者位于同一直线上.在以后的运动中： （1）碰撞瞬间，物块A的速度多大； （2）碰撞后弹簧弹性势能的最大时，物块C的速度多大.    4.如图所示，质量的小球用一条不可伸长的轻绳连接，绳的另一端固定在悬点O上，绳子长度。将小球拉至绳子偏离竖直方向的角度处由静止释放，小球运动至最低点时，与一质量的物块发生正碰，碰撞时间很短。之后物块在水平面上滑行一段的距离后停下。已知物块与水平面间的动摩擦因数，取重力加速度，，，求： （1）碰前瞬间小球的速度大小； （2）碰后瞬间小球和物块的速度大小. 5.如图所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3kg的薄板，板上有质量m＝1kg的物块，两者以v0＝4m/s的初速度朝相反方向运动，薄板与物块之间存在摩擦且薄板足够长，取水平向右为正方向，求： （1）物块最后的速度； （2）当物块的速度大小为3m/s时，薄板的速度. 6.如图所示，光滑的圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的点与光滑水平面相切，点切线竖直，其半径在水平面内有一质量的小球连接着轻质弹簧处于静止状态，现有一质量为的小球从点正上方高处由静止释放，小球、均可视为质点，重力加速度，求： （1）小球从释放到到达圆弧轨道最低点的过程中合力对其的冲量大小； （2）在小球压缩弹簧的过程中弹簧具有的最大弹性势能； （3）小球获得的最大速度的大小． 7.如图所示，光滑水平面上的小车质量为2m，小车左侧部分有半径为R的光滑圆弧轨道，与水平轨道AB相切于A点，小车右端B点固定一个竖直弹性挡板，A、B间距为2R。质量为m的小物块从圆弧轨道最高点以的速度滑下，已知小物块与A、B间轨道的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。 （1）若将小车固定，求物块经过圆弧轨道最低点时受到支持力的大小； （2）若小车不固定，求物块第一次滑过A点时小车的速度大小； （3）若小车不固定，求物块最终静止的位置与A点的距离. 8.某打桩机在重锤与桩碰撞的过程中，使桩向下运动，锤向上运动。现把打桩机和打桩过程简化如下：如图所示，打桩机重锤的质量为，由牵引机械把重锤牵引到距钢桩顶上高处自由下落，打在质量为的钢桩上，已知重锤与钢桩的碰撞可视为弹性碰撞，重锤反弹后再多次与钢桩发生碰撞，且每次碰撞时间极短。已知钢桩在下陷过程中泥土对木桩的阻力恒为，式中为重力加速度，不计空气阻力。求： （1）重锤第1次与钢桩碰撞以后钢桩的深度变化； （2）重锤第2次与钢桩碰撞以后钢桩的深度变化； （3）重锤很多次与钢桩碰撞以后钢桩深入泥土的总深度. 9.如图所示，光滑水平地面上放置一块木板，其左端放有一个质量为的小木块，木板质量为，两者初速度均为0，且它们之间动摩擦因数。一颗质量为的子弹，以的初速度水平射入小木块（未穿出），入射时间极短，取。 （1）求子弹瞬间射入小木块后两者的共同速度v的大小； （2）若最终小木块和木板相对静止，求整个过程中产生的总热量Q多大； （3）若木板的质量与长度L成正比，即（），求当L大小满足什么条件时，不管k取何值小木块都不会从木板上掉落. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 动量守恒定律 1.5 碰撞习题课 一、基础梳理 （一）碰撞的三种形式 碰撞类型 特征 重要关系式或结论 弹性 碰撞 动量守恒 机械能守恒 动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 机械能守恒定律：m1+m2=m1v1'2+m2v2'2 v1'= ； v2'= 。 若碰撞前,有一个物体是静止的,设v2=0,则碰撞后的速度分别为： v1'=、v2'=,对这一结果可做如下讨论: （1）若m1=m2,则v1'=0,v2'=v1, 即两者碰后交换速度； （2）若m1≫m2,则v1'>0,v2'>0, 碰后m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去； （3）若m1≪m2,则v1'<0,v2'>0,碰后m1反向以原速率弹回,m2仍静止. 非弹性 碰撞 动量守恒、能量守恒 (机械能有损失) 动量守恒定律：m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2' 能量守恒定律：m1+m2=m1v1'2+m2v2'2+ΔE损 完全非弹性碰撞 动量守恒、能量守恒 (机械能损失最大) 【碰后物体粘连、共速】 动量守恒定律：m1v1+m2v2=(m1+m2)v 能量守恒定律：m1+m2(m1+m2)v2+ΔE损max 最大机械能损失：ΔE损max= ； “一动一静”时：ΔE损max= . （二）碰撞中的临界问题 相互作用的两个物体在很多情况下可当做碰撞处理，那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题，求解的关键都是“速度相等”，相当于完全非弹性碰撞模型．常见模型与具体分析如下： 1.如图所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大； 2.如图所示，光滑水平面上有两个带同种电荷的物体A、B，当其中一个A以速度v向静止的另一个B 靠近的过程中（设A、B不会接触），当两者相距最近时，二者速度必定相等； 3.如图所示，物体A以速度v0滑上静止在光滑水平面上的小车B，当A在B上滑行的距离最远时，A、B相对静止，A、B两物体的速度必定相等； 4.如图所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来，设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球的竖直速度为零），两物体的速度必定相等（方向为水平向右）； v0 v共 hm v2 v1 5.如图所示，光滑水平杆上有一质量为m的环，通过一长为L的轻绳与M相连，现给M以瞬时水平速度v0.（设M上升最高不超过水平杆），则M上升最高时，m、M速度必定相等． v0 v0 v=0 v=0 hm v共 v共 v共 v共 v1 v2 二、内化知识·对点验收 【例1】在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度，静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　） A.将1号移至高度h释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度h。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度h B.将1、2号一起移至高度h释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 C.将右侧涂胶的1号移至高度h释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号不能摆至高度h D.将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度h释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度h，释放后整个过程机械能和动量都守恒 【答案】C 【解析】A．1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为零，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度h，故A错误； B．1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故B错误； C．1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度h，故C正确； D．碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D错误。 故选C。 【例2】如图所示，在光滑的水平面上有两物块、，其中的质量为，的质量为，物块的左端固定一个轻弹簧。一开始物块及弹簧静止，物块以速度沿水平方向向右运动，通过弹簧与物块发生作用，则弹簧最大的弹性势能是（ 　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意可知，当物块A与物块B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律 由能量守恒定律 联立可得，弹簧最大的弹性势能是 故选B。 【例3】（多选）A、B两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，已知，，当A追上B并发生碰撞后，A、B两球速度的可能值是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】AB 【解析】A．根据题中数据可知 ， 碰前总动量与总动能分别为 碰后总动量与总动能分别为 可知，碰撞过程动量守恒，总动能减小，碰后A的速度小于B的速度，符合要求，故A正确； B．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能减小，碰后A的速度小于B的速度，符合要求，故B正确； C．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能不变，但是给出的数据中，碰后A的速度大于B的速度，且速度方向不变，不符合实际，故C错误； D．碰后总动量与总动能分别为 结合上述可知，碰撞过程动量守恒，总动能增大，不符合要求，故D错误。 故选AB。 【例4】甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。已知甲的质量为1kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为（　　） A.1J B.2J C.3J D.4J 【答案】C 【详解】设甲、乙物块的质量分别为、，由动量守恒定律得 解得 则碰撞过程中两物块损失的机械能为 代入数据解得 故选C。 【例5】如图所示，小木块用细线吊在O点，此刻小木块的重力势能为零．一颗子弹以一定的水平速度射入木块A中，并立即与A有共同的速度，然后一起摆动到最大摆角α（0<α<90°）．如果保持子弹质量和入射的速度大小不变，而使小木块的质量稍微增大，关于最大摆角α、子弹的初动能与木块和子弹一起达到最大摆角时的机械能之差ΔE，有（ ） A．α角增大，ΔE也增大 B．α角增大，ΔE减小 C．α角减小，ΔE增大 D．α角减小，ΔE也减小 【答案】C 【解析】设子弹的质量为m，小木块的质量为M。子弹射入木块后的瞬间，子弹和木块组成的系统动量守恒，以v0的方向为正方向，则mv0＝(M＋m)v，得v＝，小木块质量增大，则小木块与子弹的共同速度v减小，则最大摆角α减小，又ΔE＝mv02－(M＋m)v2，联立解得ΔE＝＝，则M增大时，ΔE增大， 故选C 【例6】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳，收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为原来静止的小物块。已知车的净质量均为，将1号车以速度向右推出，先与2碰撞结合为一体后再撞击3，最终三车合为一体。忽略一切摩擦和阻力，则第二次碰撞过程中损失的机械能为（　　） A.18J B.36J C.54J D.72J 【答案】B 【解析】依题意，碰撞过程系统动量守恒，可得 解得 ， 则第二次碰撞过程中损失的机械能为 故选B。 【例7】长为、质量为的平板小车停在光滑水平面上，质量为的木块可视为质点）以速度滑上小车的左端，最后刚好停在小车的右端，如图甲所示；若小车以速度向左运动时，将木块轻轻放在小车左端，如图乙所示，则（ ） A.木块最终将滑出小车 B.木块最终停在小车上，但还离右端一段距离 C.木块将滑出小车 D.两种情况中木块相对小车滑行的时间相等 【答案】D  【解答】光滑水平面上，木块与小车组成系统所受合外力为零，系统动量守恒。 如题图甲所示，由动量守恒定律可得：， 由能量关系可得：； 如题图乙所示，由动量守恒定律可得， 设木块相对小车滑行的距离为，由能量关系可得：，联立解得，故ABC错误； 题图甲情况中，对小车由动量定理得，题图乙情况中，对木块由动量定理得，解得，故D正确。 故本题选D。 【例8】如图所示，将一半径质量的光滑半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧靠在固定的竖直墙壁上。现让一质量的小球可视为质点自左侧槽口点正上方的点从静止开始落下，、间的距离，小球与半圆槽相切滑入槽内。已知重力加速度，求： （1）小球运动到半圆槽最低点时的速度大小； （2）小球第一次离开半圆槽时的速度大小； （3）小球第一次离开半圆槽后，能够上升的最大高度. 【答案】见解析 【解析】小球从静止开始自由下落到滑至半圆槽最低点的过程，根据机械能守恒定律有， 解得； 小球即将离开半圆槽时，小球和半圆槽在水平方向速度相同，设其为， 小球从半圆槽内最低点运动到即将离开半圆槽的过程， 根据水平方向系统动量守恒有， 得到， 根据机械能守恒定律有， 联立解得； 小球离开半圆槽后向上做斜上抛运动，当竖直方向的分速度等于时，小球上升的高度最大， 小球高开半圆槽时竖直方向的分速度， 竖直方向有， 解得。  【例9】如图所示，A、B两个木块质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触面光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求： （1）木块A的最终速度大小； （2）铁块刚滑上B时的速度大小. 【答案】（1）0.25 m/s　 （2）2.75 m/s 【解析】（1）以铁块和木块A、B为一系统，由系统动量守恒得mv＝(MB＋m)vB＋MAvA，解得vA＝0.25 m/s （2）设铁块刚滑上B时的速度为u，此时A、B的速度均为vA＝0.25 m/s。 由系统动量守恒得mv＝mu＋(MA＋MB)vA，解得u＝2.75 m/s。 【例10】利用冲击摆可以粗略测量子弹的速度。如图所示，质量为M = 2 kg的沙袋用结实的轻绳悬挂在天花板上的O点，O点到沙袋重心的距离为L = 1.5 m。质量为m = 10g的子弹以水平速度射向沙袋中心，射穿后子弹的速度减小为v1 = 100m/s。子弹射穿沙袋后沙袋上摆的最大高度h = 0.1125 m。子弹射穿沙袋的时间极短，重力加速度g取10 m/s2，空气阻力可以忽略。求： （1）子弹射穿沙袋后瞬间沙袋的速度大小v； （2）子弹射穿沙袋后瞬间轻绳对沙袋的拉力大小F； （3）子弹射入沙袋前的速度大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）对沙袋，由动能定理有 代入题中数据，解得 （2）子弹射穿沙袋后瞬间，对沙袋，由牛顿第二定律有 联立解得 （3）规定向右为正方向，对M、m，由动量守恒有 联立解得 【例11】如图所示，光滑悬空轨道上静止一质量为2m的小车A，用一段不可伸长的轻质细绳悬挂一质量为m的木块B。一质量为m的子弹以水平速度v0射入木块B并留在其中(子弹射入木块时间极短)，在以后的运动过程中，摆线离开竖直方向的最大角度小于90°，试求： （1）木块能摆起的最大高度； （2）小车A运动过程的最大速度. 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)因为子弹与木块作用时间极短，子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力，所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒，设子弹与木块开始上升时的速度为v1，设向右为正方向，则有：mv0＝2mv1，当木块摆到最大高度时，三者具有相同的水平速度，根据动量守恒定律得：mv0＝(m＋m＋2m)v2，由能量守恒得·2mv12＝·4mv22＋2mgh，解得h＝。 (2)子弹射入木块后由动量守恒得：2mv1＝2mv1′＋2mv2′，根据能量守恒得：·2mv12＝·2mv1′2＋·2mv2′2，解得v2′＝。 【例12】如图所示，光滑水平直轨道上静止放置三个质量均为m的物块A、B、C，物块B的左侧固定一轻弹簧。给A一个初速度v0，使其向B运动并压缩弹簧（弹簧始终在弹性限度内），当弹簧第一次压缩到最短时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和C碰撞时间极短，求： （1）B与C碰撞前的瞬间，B的速度大小； （2）从A开始运动到弹簧压缩最短时C受到的冲量大小； （3）从A开始运动到A与弹簧分离的过程中，整个系统损失的机械能. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，根据动量守恒定律得 解得 （2）A、B、C三者速度相同，设此时速度为v3，由动量守恒定律得 对C根据动量定理 联立可得 （2）B与C发生完全非弹性碰撞时，设碰撞后的瞬时速度为v2，对B、C组成的系统，由动量守恒定律得 B与C发生完全非弹性碰撞，只有B与C碰撞损失机械能，设为，对B、C组成的系统，由能量守恒定律得 得 三、课后知能作业 1.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，A、B用一轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹打击木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统（　　） A.动量守恒，机械能不守恒 B.动量不守恒，机械能守恒 C.动量守恒，机械能守恒 D.无法判定动量、机械能是否守恒 【答案】A 【详解】子弹水平射入置于光滑水平面上的木块，并留在其中的过程中系统所受外力之和为零，动量守恒；在子弹打中木块A及弹簧被压缩的整个过程中除弹簧弹力做功外还有摩擦力做功，有内能产生，系统机械能不守恒。 故选A。 2.质量相等的A、B两球在光滑水平面上沿同一直线同一方向运动，A球的动量是，B球的动量是，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是（　　） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【详解】以两球组成的系统为研究对象，取甲球碰撞前的速度方向为正方向，两球的质量均为m，碰撞前系统的总动能 系统的总动量 A.若碰后甲、乙两球动量为，， 系统的总动量 动量守恒； 总动能： 总动能增加，是不可能发生的，故A错误； B.若碰后甲、乙两球动量为：，， 系统的总动量 动量守恒； 总动能 总动能减小，是可能发生的，故B正确； C.若碰后甲、乙两球动量为， 系统的总动量 动量守恒； 总动能 总动能增加，是不可能发生的，故C错误； D.若碰后甲、乙两球动量为，， 系统的总动量 动量不守恒，不可能发生的，故D错误。故选B。 3.如图所示，用轻弹簧相连的质量均为的A、B两物块静止于光滑的水平地面上，弹簧处于原长，质量为的物块C以的初速度在光滑水平地面上向右运动，与前方的物块A发生碰撞（碰撞时间极短），并且C与A碰撞后二者粘在一起运动，A、B、C三者位于同一直线上.在以后的运动中： （1）碰撞瞬间，物块A的速度多大； （2）碰撞后弹簧弹性势能的最大时，物块C的速度多大.    【答案】（1）；（2）； 【详解】（1）由于A、C两者组成的系统碰撞前后瞬间动量守恒，有 解得 （2）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.由于A、B、C三者组成的系统动量守恒， 有 解得 4.如图所示，质量的小球用一条不可伸长的轻绳连接，绳的另一端固定在悬点O上，绳子长度。将小球拉至绳子偏离竖直方向的角度处由静止释放，小球运动至最低点时，与一质量的物块发生正碰，碰撞时间很短。之后物块在水平面上滑行一段的距离后停下。已知物块与水平面间的动摩擦因数，取重力加速度，，，求： （1）碰前瞬间小球的速度大小； （2）碰后瞬间小球和物块的速度大小. 【答案】（1）；（1）， 【详解】（1）根据题意可知，小球从静止释放运动至最低点的过程中，机械能守恒，设小球运动到最低点的速度为，由机械能守恒定律有 代入数据解得 （2）根据题意，设碰后小球的速度为，物块的速度为，物块在水平面上滑动到停止的过程中，由动能定理有 代入数据解得 小球和物块碰撞过程动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律有 代入数据解得 5.如图所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3kg的薄板，板上有质量m＝1kg的物块，两者以v0＝4m/s的初速度朝相反方向运动，薄板与物块之间存在摩擦且薄板足够长，取水平向右为正方向，求： （1）物块最后的速度； （2）当物块的速度大小为3m/s时，薄板的速度. 【答案】（1）2m/s，方向水平向右；（2）m/s，方向水平向右 【详解】（1）由于水平面光滑，物块与薄板组成的系统动量守恒，设共同运动速度大小为v，由动量守恒定律得 Mv0－mv0＝（m＋M）v 代入数据解得 v＝2m/s 方向水平向右。 （2）由（1）知，物块速度大小为3m/s时，方向向左，由动量守恒定律得 Mv0－mv0＝－mv1＋Mv′ 代入数据解得 v′＝m/s 方向水平向右。 6.如图所示，光滑的圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的点与光滑水平面相切，点切线竖直，其半径在水平面内有一质量的小球连接着轻质弹簧处于静止状态，现有一质量为的小球从点正上方高处由静止释放，小球、均可视为质点，重力加速度，求： （1）小球从释放到到达圆弧轨道最低点的过程中合力对其的冲量大小； （2）在小球压缩弹簧的过程中弹簧具有的最大弹性势能； （3）小球获得的最大速度的大小． 【答案】见解析 【解析】（1）小球从点运动到点的过程中机械能守恒 根据动量定理有 （2）当、两球共速时，弹簧具有的弹性势能最大，令共同速度为，规定水平向右为正方向由、两球系统动量守恒得 根据机械能守恒定律 解得 （3）当弹簧恢复原长时，小球获得的速度最大根据动量守恒有 根据能量守恒有 解得  7.如图所示，光滑水平面上的小车质量为2m，小车左侧部分有半径为R的光滑圆弧轨道，与水平轨道AB相切于A点，小车右端B点固定一个竖直弹性挡板，A、B间距为2R。质量为m的小物块从圆弧轨道最高点以的速度滑下，已知小物块与A、B间轨道的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。 （1）若将小车固定，求物块经过圆弧轨道最低点时受到支持力的大小； （2）若小车不固定，求物块第一次滑过A点时小车的速度大小； （3）若小车不固定，求物块最终静止的位置与A点的距离. 【答案】（1）7mg；（2）；（3）2R 【详解】（1）若将小车固定，物块滑到圆弧轨道最低点的过程中，根据机械能守恒有 在最低点由牛顿第二定律有 联立解得 （2）若小车不固定，物块与小车在水平方向动量守恒，且同时满足能量守恒，则有 联立解得 ， 可知物块第一次滑过A点时小车的速度大小为。 （3）由于圆弧轨道最左端的切线在竖直方向，物块若飞出小车其水平速度必然与小车一致，还会回到小车，该系统水平方向总动量为零，经过水平轨道的循环摩擦后物块与小车最终静止。设物块相对AB段滑行的总路程为，则由能量守恒有 解得 则可知物块最终将停在B点，距A点2R。 8.某打桩机在重锤与桩碰撞的过程中，使桩向下运动，锤向上运动。现把打桩机和打桩过程简化如下：如图所示，打桩机重锤的质量为，由牵引机械把重锤牵引到距钢桩顶上高处自由下落，打在质量为的钢桩上，已知重锤与钢桩的碰撞可视为弹性碰撞，重锤反弹后再多次与钢桩发生碰撞，且每次碰撞时间极短。已知钢桩在下陷过程中泥土对木桩的阻力恒为，式中为重力加速度，不计空气阻力。求： （1）重锤第1次与钢桩碰撞以后钢桩的深度变化； （2）重锤第2次与钢桩碰撞以后钢桩的深度变化； （3）重锤很多次与钢桩碰撞以后钢桩深入泥土的总深度. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）重锤自由下落运动过程，设重锤刚与桩接触时的速度为，则根据机械能守恒定律得 解得 重锤与桩的弹性碰撞过程，取向下为正方向，由于作用时间极短，内力远大于外力，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律有 解得 ， 对桩在深入泥土的过程中根据动能定理得 解得 （2）设重锤第2次与桩接触时的速度为，则据机械能守恒定律得 解得 同理，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得 ， 对桩在深入泥土的过程中，根据动能定理得 解得 （3）根据功能关系有 解得 9.如图所示，光滑水平地面上放置一块木板，其左端放有一个质量为的小木块，木板质量为，两者初速度均为0，且它们之间动摩擦因数。一颗质量为的子弹，以的初速度水平射入小木块（未穿出），入射时间极短，取。 （1）求子弹瞬间射入小木块后两者的共同速度v的大小； （2）若最终小木块和木板相对静止，求整个过程中产生的总热量Q多大； （3）若木板的质量与长度L成正比，即（），求当L大小满足什么条件时，不管k取何值小木块都不会从木板上掉落。 【答案】（1）10 （2）990J （3） 【解析】 【小问1详解】 子弹射入小木块过程中，子弹与小木块组成的系统动量守恒，有 解得 【小问2详解】 子弹打入小木块过程产生的热量为 小木块在木板上滑动过程中，子弹、小木块与木板组成的系统动量守恒，有 ① 求得 该过程中产生的热量为 ② 所以，整个过程中产生的总热量为 【小问3详解】 将由代入第（2）问中方程①②，得 ③ 又因为摩擦生热 ④ 联立③④得 ⑤ 木块不掉落的条件为 ⑥ 联立⑤⑥得 由数学知识，当k取无穷大时，有 因此当时，⑥式恒成立，小木块必定不会从木板上掉落。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$