22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的定义 形如 。 二、二次函数y = 的图象 1. 图象形状 2. 图象画法（以为例） 1. 列表：选取自变量x的一些值（通常取0、±1、±2等），计算对应的y值： x -2 -1 0 1 2 4 2 0 1 4 2. 描点：在平面直角坐标系中描出点(-2,4)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4)。 3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到抛物线 三、二次函数的性质 1. 开口方向与开口宽窄 开口方向： 时，抛物线开口 向上； 时，抛物线开口 向下。 开口宽窄： 窄； 宽。 ▶ 例如：。 2. 顶点坐标与对称轴 顶点坐标：抛物线的顶点是图象的最高点或最低点，坐标为 (0, 0)。 对称轴：抛物线的对称轴是 y轴（直线x = 0）。 3. 增减性（单调性） 当 a > 0 时： 在对称轴左侧（x < 0），y 随 x 的增大而 减小； 在对称轴右侧（x > 0），y 随 x 的增大而 增大。 当 a < 0 时： 在对称轴左侧（x < 0），y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴右侧（x > 0），y 随 x 的增大而 减小。 4. 最值 当 a > 0 时：抛物线开口向上，顶点为最低点，当 x = 0 时，y 有 最小值，最小值为 0。 当 a < 0 时：抛物线开口向下，顶点为最高点，当 x = 0 时，y 有 最大值，最大值为 0。 四、典型例题 例1：判断抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴 写出二次函数 的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而增大。 解： 向下； 顶点坐标为 (0, 0)，对称轴为 y轴（直线x = 0）； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而 增大。 例2：根据图象特征确定a的取值范围 已知二次函数 的图象经过点(1, -2)，求a的值，并判断其开口方向。 解： 将点，得： ∵，∴抛物线开口 向下。 五、注意事项 1. 二次函数的定义条件：常数函数，不是二次函数）。 2. 符号的重要性：a 的符号直接决定开口方向和增减性，计算时需注意符号不要遗漏。 3. 顶点的特殊性：顶点(0,0)既是抛物线的对称中心，也是函数最值点，在解决最值问题时常用。 4. 图象的对称性：利用抛物线的对称性，可以简化作图步骤（只需描出一侧点，对称到另一侧）。 巩固练习 一、选择题 1．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．有最低点 D．对称轴是轴 2．对于二次函数y＝﹣2x2，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象关于直线x＝0对称 C．图象开口向上 D．无论x取何值，y的值总是负数 3．下列函数对应的抛物线中，形状与拋物线 相同的是（　　） A． B． C． D． 4．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　) A． B． C． D． 5．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线的图象经过点，则大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．已知A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是，则点 B横坐标为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．点是抛物线上的一点，则　 　； 10．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式　 　． 11．二次函数的图像开口方向是 　 　（填“向上”或“向下”）． 12．二次函数的图象如图所示，则的取值范围是　 　 ． 13．如图，已知抛物线经过点，且轴，，则线段的长为　 　． 14．已知点P(2，3)在抛物线y=ax2上，则点M(2，-3)　 　(填“在”或“不在”)该抛物线上，点N(-2，3)　 　(填“在”或“不在”)该抛物线上． 三、解答题 15．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大. （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴. 16．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上 在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． （1）求A点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． 17．已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）． （1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当-6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 18．已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象的一部分(如图)． （1）利用轴对称，将函数y=ax2(a≠0)的图象补画完整． （2）利用轴对称，画出函数y=-ax2的图象． 19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B． （1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）； （2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值； （3）当时，若．求m的值； （4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的定义 形如 。 二、二次函数y = 的图象 1. 图象形状 2. 图象画法（以为例） 1. 列表：选取自变量x的一些值（通常取0、±1、±2等），计算对应的y值： x -2 -1 0 1 2 4 2 0 1 4 2. 描点：在平面直角坐标系中描出点(-2,4)、(-1,1)、(0,0)、(1,1)、(2,4)。 3. 连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到抛物线 三、二次函数的性质 1. 开口方向与开口宽窄 开口方向： 时，抛物线开口 向上； 时，抛物线开口 向下。 开口宽窄： 窄； 宽。 ▶ 例如：。 2. 顶点坐标与对称轴 顶点坐标：抛物线的顶点是图象的最高点或最低点，坐标为 (0, 0)。 对称轴：抛物线的对称轴是 y轴（直线x = 0）。 3. 增减性（单调性） 当 a > 0 时： 在对称轴左侧（x < 0），y 随 x 的增大而 减小； 在对称轴右侧（x > 0），y 随 x 的增大而 增大。 当 a < 0 时： 在对称轴左侧（x < 0），y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴右侧（x > 0），y 随 x 的增大而 减小。 4. 最值 当 a > 0 时：抛物线开口向上，顶点为最低点，当 x = 0 时，y 有 最小值，最小值为 0。 当 a < 0 时：抛物线开口向下，顶点为最高点，当 x = 0 时，y 有 最大值，最大值为 0。 四、典型例题 例1：判断抛物线的开口方向、顶点坐标及对称轴 写出二次函数 的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而增大。 解： 向下； 顶点坐标为 (0, 0)，对称轴为 y轴（直线x = 0）； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而 增大。 例2：根据图象特征确定a的取值范围 已知二次函数 的图象经过点(1, -2)，求a的值，并判断其开口方向。 解： 将点，得： ∵，∴抛物线开口 向下。 五、注意事项 1. 二次函数的定义条件：常数函数，不是二次函数）。 2. 符号的重要性：a 的符号直接决定开口方向和增减性，计算时需注意符号不要遗漏。 3. 顶点的特殊性：顶点(0,0)既是抛物线的对称中心，也是函数最值点，在解决最值问题时常用。 4. 图象的对称性：利用抛物线的对称性，可以简化作图步骤（只需描出一侧点，对称到另一侧）。 巩固练习 一、选择题 1．抛物线与相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是轴 C．有最低点 D．对称轴是轴 【答案】B 【解析】【解答】解：对于抛物线， ∵， ∴其开口向上，有最低点，其对称轴为， 而抛物线， ∵， ∴其开口向下，有最高点，其对称轴为， ∴选项A、C、D错误，不符合题意，选项B正确，符合题意． 故答案为：B． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图像与性质可得：抛物线， ，其开口向上，有最低点，其对称轴为；抛物线，，其开口向下，有最高点，其对称轴为，再结合选项可选出答案. 2．对于二次函数y＝﹣2x2，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 B．图象关于直线x＝0对称 C．图象开口向上 D．无论x取何值，y的值总是负数 【答案】B 【解析】【解答】解：∵a＝﹣2＜0，b=0， ∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小， 故A，C不符合题意，B符合题意， 当x=0时，y=0，故D不符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D. 3．下列函数对应的抛物线中，形状与拋物线 相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：∵抛物线图象的形状只与的大小有关， 与抛物线 的形状形同. 故答案为： A. 【分析】对于二次函数 图象的形状只与|a|的大小有关，据此即可求得答案. 4．在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵， ∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口， 故答案为：D． 【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可. 5．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵二次函数，当时，y随x增大而减小， ∴a-1>0， ∴， 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的性质即可解答. 6．抛物线的图象经过点，则大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：当=-3时， 当x=1时， 当x=4时， 则 故答案为：C. 【分析】将点的坐标代入抛物线解析式可求出的值，再进行有理数之间的比较即可求出答案. 7．已知A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是，则点 B横坐标为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】【解答】解：∵A、B是抛物线上关于对称轴对称的两点， ∴抛物线对称轴为， ∴点B横坐标为， 故答案为：A． 【分析】根据二次函数的图象得到抛物线对称轴为，进而根据对称性即可得到点B的横坐标。 8．关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当－1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若(m，p)、(n，p)是该抛物线上两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：∵y＝－x2 ∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确； ②对称轴为x=0，当x>0时，y随x的增大而减少，故该项正确； ③当-1<x<2时，-4<y<0，故该项错误； ④若(m，p)、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确. 故答案为：C. 【分析】由抛物线的解析式可判断开口方向、顶点坐标、对称轴；由对称轴和a的符号和解析式可确定函数图象的增减性. 二、填空题 9．点是抛物线上的一点，则　 　； 【答案】 【解析】【解答】解：把代入得：， 故答案为：． 【分析】 根据二次函数图象上点的坐标特点，利用待定系数法把代入可得的值，解答即可. 10．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式　 　． 【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：当顶点为原点时，二次函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】由一次函数图象上点的坐标特征，写出一个顶点在原点的二次函数表达式，即可得解． 11．二次函数的图像开口方向是 　 　（填“向上”或“向下”）． 【答案】向下 【解析】【解答】解：∵， ∴二次函数的图像开口向下， 故答案为：向下． 【分析】a>0时，抛物线的开口向上，a<0时，抛物线的开口向下，据此求解． 12．二次函数的图象如图所示，则的取值范围是　 　 ． 【答案】 【解析】【解答】根据题意 故答案为： 【分析】根据二次函数图象的性质，二次项系数大于0时开口向上，故可求k的取值范围。 13．如图，已知抛物线经过点，且轴，，则线段的长为　 　． 【答案】2 【解析】【解答】解：如图所示： ∵抛物线经过点，且轴， ∴对称轴为y轴，OD⊥AB， ∴DA=DB=AB， ∴∠AOB=90°， ∴， 设OD=m（m＞0），则AB=2m，A（-m，-m），B（m，-m）， ∴， ∴m=1， ∴AB=2， 即线段AB的长为2， 故答案为：2. 【分析】根据题意先求出对称轴为y轴，OD⊥AB，再求出，最后计算求解即可。 14．已知点P(2，3)在抛物线y=ax2上，则点M(2，-3)　 　(填“在”或“不在”)该抛物线上，点N(-2，3)　 　(填“在”或“不在”)该抛物线上． 【答案】不在；在 【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2的对称轴为y轴，点P（2，3）与点M（2，-3）关于x轴对称，与点N（-2，3）关于y轴对称， ∴点M不在该抛物线上，点N在该抛物线上， 故答案为：不在；在. 【分析】根据抛物线y=ax2的对称轴为y轴，得出关于y轴对称的点在该抛物线上，即可得出答案. 三、解答题 15．已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大. （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴. 【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时， y随x的增大而增大，得 解得k＝2； （2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴. 【解析】【分析】(1)根据二次函数y=ax2（a≠0）的次数是2，列出关于k的方程，结合二次函数图象的性质，得出k+2>0，即可； (2)根据二次函数y=ax2（a≠0）图象的性质，可得顶点坐标、对称轴，即可解答. 16．已知点A（2，a）在抛物线y=x2上 在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． （1）求A点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）解：∵点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4， ∴A点的坐标为：（2，4）； （2）解：如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2 或AO=AP2=2 ∴点P坐标：（2 ，0），（﹣2 ，0），以A为顶点时，AO=OP， ∴点P坐标：（4，0）；以P为顶点时，OP′=AP′， ∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，∴点P坐标：（5，0）， 综上所述使△OAP是等腰三角形则P点坐标为：（2 ，0），（﹣2 ，0），（4，0），（5，0）． 【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入函数解析式，建立方程求解即可。 （2）分别根据以O为顶点时，以A为顶点时及以P为顶点时，分别求出符合题意的点的坐标即可。 17．已知函数y＝x2+bx+3b（b为常数）． （1）若图象经过点（﹣2，4），判断图象经过点（2，4）吗？请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求m与n的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当-6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值． 【答案】（1）解：把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得： 4﹣8b+3b＝4， 解得b＝2， ∴此函数表达式为：y＝x2， 时，y＝8， ∴图象经过点（2，4）； （2）解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n）， ∴﹣＝m，， ∴b＝﹣2m， 把b＝﹣2m代入＝n得n＝=-m2﹣6m． 即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m． （3）解：把x＝0代入y＝x2+bx+7b得y＝3b， ∵抛物线不经过第三象限， ∴3b≥0，即b≥0， ∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b， ∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b）， ∵﹣≤0， ∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限， 解得b≤12， ∴0≤b≤12，﹣6≤﹣， ∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣， 把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b， 把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b， 当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时， 解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4． 当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时， 解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）． 综上所述，b＝4或6． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后把x＝2代入计算出y即可作出判断； （2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，联立之后消去b可得答案； （3）由抛物线不经过第三象限求出0≤b≤12，然后分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值，根据 函数的最大值与最小值之差为16 求解即可． 18．已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象的一部分(如图)． （1）利用轴对称，将函数y=ax2(a≠0)的图象补画完整． （2）利用轴对称，画出函数y=-ax2的图象． 【答案】（1）解：图象如图所示； （2）解： 【解析】【分析】（1）利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象关于y轴对称，再将图象补画完整. （2）利用二次函数y=ax2(a≠0)的图象关于y轴对称，再将图象补画完整即可. 19．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B． （1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）； （2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值； （3）当时，若．求m的值； （4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）m2 （2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2． 解得m1=-3，m2=1； （3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2． ①-2m+3-m2=2， 解得m1=，m2=， ∵m＜0， ∴m=，符合题意； ②-2m+3-m2=-2， 解得m1=，m2=， ∵m＜0， ∴m=，符合题意． 综上所述，m的值为或； （4）-3＜m≤-1或m＞1 【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m， ∴将x=m代入y=x2，得y=m2． 即点B的纵坐标为m2． 故答案为：m2； （4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）． 设AB=d， 当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下， ∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1． 当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1． 综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1． 【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标； （2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可； （3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值； （4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$