22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、表达式与结构特征 1. 顶点式表达式 对称轴： 二、图象性质 1. 开口方向与对称性 开口方向：的符号决定（同表达式部分） 对称性：在抛物线上， 也在抛物线上 2. 顶点与最值 顶点坐标： 3. 增减性（单调性） a 的符号 对称轴左侧（ x < h ） 对称轴右侧（ x > h ） a > 0 y 随 x 增大而减小 y 随 x 增大而增大 a < 0 y 随 x 增大而增大 y 随 x 增大而减小 三、平移规律（由 ） 1. 左右平移（ h 的影响） 2. 上下平移（ k 的影响） 示例： 抛物线 四、与坐标轴交点 1. 与 y 轴交点： 2. 与 x 轴交点： 五、典型例题解析 例1：确定二次函数表达式及性质 已知抛物线顶点为 ，求函数解析式并判断开口方向和最值。 解： 例2：平移变换 将抛物线 解： 六、易错点提示 1. 的符号： 2. 平移顺序： 3. 最值条件： 解题策略： 利用顶点坐标快速定位函数最值 涉及平移时，紧扣“左加右减、上加下减”口诀 实际应用题中，通过建立坐标系转化为二次函数最值问题 巩固练习 一、选择题 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【解析】【解答】解：由抛物线可知对称轴是直线； 故答案为：A． 【分析】根据二次函数的顶点式直接求出对称轴即可。 2．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=(x-1)2+2， ∴该函数图象的顶点坐标为(1，2)， 故答案为：B. 【分析】根据二次函数y=(x-1)2+2符合顶点式形式，直接得出顶点坐标即可. 3．关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3 C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小 【答案】C 【解析】【解答】解： A、y=2（x﹣3）2+2 顶点坐标为（3,2），不符合题意； B、对称轴为x=3, 不符合题意； CD、 当x≥3时，y随x增大而增大，C符合题意, D不符合题意； 故答案为：C. 【分析】 二次函数求顶点坐标和对称轴，用配方法，当a>0时，在对称轴右方y随x增大而增大，在对称轴右方，y随x的增大而减小. 4．二次函数图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】【解答】解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的性质．根据题意可得：抛物线解析式为顶点式，据此可以写出该抛物线的顶点坐标，再根据顶点坐标可判断其所在第几象限． 5．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴顶点坐标为：， ∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方， 由图可知，坐标原点只可能是点； 故答案为：A 【分析】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象.先根据二次函数的解析式，可得顶点坐标为：，据此可推出顶点坐标在第四象限，进而可得原点在函数顶点的左上方，据此确定顶点的位置. 6．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2 【答案】A 【解析】【解答】根据题意得， 平移后的解析式为：， 即． 故选：A． 【分析】 根据平移抛物线解析式的变化原则：“上加下减，左加右减”． 7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 而离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故答案为：A． 【分析】 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小，由此即可解答． 8．已知二次函数，当时， 函数值为；当时， 函数值为，若，则下列结论正确的是（　　） A． B．若，则，时 C．若，则时， D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A.D由题意得，二次函数对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点的距离， ∴当时，，当时，， ∴，故A结论错误，D结论正确； B.当时，则， 若，则，则，故B结论错误； C.当时，此时满足，则， 若，则，则，故C结论错误； 故答案为：D 【分析】本题考查二次函数的增减性.根据二次函数的解析式可得：二次函数对称轴为直线，再由可推出：到对称轴的距离大于点的距离，则当时，，当时，，利用符号法则可得：，据此可判断A选项和D选项； 当时，据此可推出，再根据，利用符号法则可得：，则，据此可判断B选项.当时，可推出：，再结合，利用符号法则可得：，则，据此可判断C选项； 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：二次函数， 该函数的顶点坐标是， 故答案为：． 【分析】根据二次函数的顶点坐标为即可求解． 10．二次函数的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为　 　． 【答案】0 【解析】【解答】解：∵二次函数y=(x−1)2+b的图象过点(0，1)， ∴(0−1)2+b=1， 解得：b=0. 故答案为：0. 【分析】将点 （0，1） 代入二次函数y=(x−1)2+b，求出b. 11．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式为， 故答案为：． 【分析】根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可求出答案， 12．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据二次函数可得：对称轴为直线，且开口向上，离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴ 故答案为：． 【分析】利用二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 13．如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是　 　（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵， ∴． 故答案为：． 【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴距离越大其函数值就越小；当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴距离越大其函数值就越大，据此求解即可. 14．如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为　 　平方单位． 【答案】20 【解析】【解答】解：如图， 抛物线 是 向上平移4个单位长度得到的， 即 当直线l向右平移5个单位时，阴影部分的面积是 故答案为：20. 【分析】由于抛物线 是 向上平移4个单位长度得到的，平行于y轴的直线l与2个函数图象的交点纵坐标差是个定值2，通过截补法可得阴影部分的面积. 三、解答题 15．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1） （2） 【答案】（1）解：∵a=2>0 开口方向：向上 对称轴：直线 顶点：. （2）解：∵a=-3<0 开口方向：向下 对称轴：直线 顶点：. 【解析】【分析】（1）对于，当a>0时，开口方向向上，当a<0时，开口方向向下，对称轴为直线x=-h，顶点坐标为（-h，k），根据公式得出结论即可. （2）同（1）可得. （1）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为：直线；顶点坐标是：； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线；顶点坐标是：． 16．已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）. （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求的面积. 【答案】（1）解：设y=a(x+1)2-4， 把点(0，-3)代入得：a=1， ∴函数解析式y=(x+1)2-4=y=x2+2x-3 （2）解：∵x2+2x-3=0， 解得x1=1，x2=-3， ∴A(-3，0)，B(1，0)，C(0，-3)， ∴ 【解析】【分析】(1)先设所求函数解析式是y=a(x+1)2-4，再把(0，-3)代入，即可求a，进而可得函数解析式； (2)令函数等于0，解关于x一元二次方程，即可求A、B两点的坐标，进而即可求出△ABC的面积. 17．若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点(-3，0)． （1）求该二次函数的表达式． （2）将已知二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求平移后的图象对应的函数表达式． 【答案】（1）解：∵二次函数图象的对称轴是直线x==-2， ∴该二次函数图象的顶点坐标为(-2，4)． 设该二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4． 把点(-3，0)代入， 得a(-3+2)2+4=0，解得a=-4， ∴该二次函数的表达式为y=-4(x+2)2+4． （2）解：根据题意该图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后的表达式变为：y=-4(x+2-1)2+4+3， 整理后可得：y=-4(x+1)2+7． 【解析】【分析】（1） 二次函数的对称轴可以通过公式求出，然后将顶点坐标代入二次函数的表达式中，设该二次函数的表达式为y=a(x+2)2+4，把点(-3，0)代入，可以求出a的值，进而得出二次函数表达式； （2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”来求解平移后的函数表达式. 18．已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ 【答案】解：小明说法正确；理由如下： 因为 所以顶点是， 所以 所以， ∴顶点在直线上． 故小明说法正确． 【解析】【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标为（2m，3-m），然后代入y=x+3中进行验证即可. 19．如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1，0)及点B. （1）求的值，点的坐标。 （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围. （3）点是图像上一点，到轴距离小于3，根据图像，直接写出的取值。 【答案】（1）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴点坐标， ∵对称轴，、关于对称轴对称， ∴点坐标， （2）由图象可知，满足的的取值范围为或． （3）∵点 是图像上一点，到轴距离小于3， ∴ 当时，解得： 当时，解得：或 根据图像可知， 点是图像上一点，到x轴距离小于3， 所以x的取值为： 【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质、不等式、轴对称和待定系数法等知识，熟悉相关性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法先求出，进而可以求出点坐标． （2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量的取值范围． （3）先确定的取值范围，再根据二次函数的关系式可求出的取值范围即可. 20．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4）. （1）求该抛物线的对称轴； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）解：∵CD⊥y轴，∴C，D两点关于抛物线对称轴对称 D（6，4），∴C（0，4） ∴此抛物线的对称轴为：，即x=3 （2）解：连接AC，∵A，B关于对称轴对称，B（8，0）， 抛物线的对称轴为：x=3，∴A（－2，0）． ∴AB=8－（－2）=10， ∴△ABC的面积===20 【解析】【分析】（1）首先可根据点D(6，4)，求得点C的坐标为（0，4），然后根据抛物线的对称性，根据C，D的坐标，即可得出抛物线的对称轴； （2）首先根据对称轴和点B的坐标，可求出点A的坐标，然后可根据三角形的面积计算公式，根据A，B，C三点的坐标，可求得△ABC的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、表达式与结构特征 1. 顶点式表达式 对称轴： 二、图象性质 1. 开口方向与对称性 开口方向：的符号决定（同表达式部分） 对称性：在抛物线上， 也在抛物线上 2. 顶点与最值 顶点坐标： 3. 增减性（单调性） a 的符号 对称轴左侧（ x < h ） 对称轴右侧（ x > h ） a > 0 y 随 x 增大而减小 y 随 x 增大而增大 a < 0 y 随 x 增大而增大 y 随 x 增大而减小 三、平移规律（由 ） 1. 左右平移（ h 的影响） 2. 上下平移（ k 的影响） 示例： 抛物线 四、与坐标轴交点 1. 与 y 轴交点： 2. 与 x 轴交点： 五、典型例题解析 例1：确定二次函数表达式及性质 已知抛物线顶点为 ，求函数解析式并判断开口方向和最值。 解： 例2：平移变换 将抛物线 解： 六、易错点提示 1. 的符号： 2. 平移顺序： 3. 最值条件： 解题策略： 利用顶点坐标快速定位函数最值 涉及平移时，紧扣“左加右减、上加下减”口诀 实际应用题中，通过建立坐标系转化为二次函数最值问题 巩固练习 一、选择题 1．抛物线的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 3．关于y=2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（　　） A．顶点坐标为（﹣3，2） B．对称轴为直线y=3 C．当x≥3时，y随x增大而增大 D．当x≥3时，y随x增大而减小 4．二次函数图象的顶点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．若二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 6．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2 7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数，当时， 函数值为；当时， 函数值为，若，则下列结论正确的是（　　） A． B．若，则，时 C．若，则时， D． 二、填空题 9．二次函数的顶点坐标是　 　． 10．二次函数的图象与y轴交于点（0，1），则b的值为　 　． 11．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　． 12．已知二次函数，当自变量分别取时，对应的函数值分别为，则关于的大小关系是　 　． 13．如果点、是抛物线上的两个点．那么和的大小关系是　 　（填“>”或“<”或“=”）． 14．如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为　 　平方单位． 三、解答题 15．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1） （2） 16．已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）. （1）求该二次函数的解析式； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，求的面积. 17．若二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点(-3，0)． （1）求该二次函数的表达式． （2）将已知二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，求平移后的图象对应的函数表达式． 18．已知是关于的二次函数（是实数）．小明说该二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？ 19．如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1，0)及点B. （1）求的值，点的坐标。 （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围. （3）点是图像上一点，到轴距离小于3，根据图像，直接写出的取值。 20．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4）. （1）求该抛物线的对称轴； （2）求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$