21.1 一元二次方程 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式：，其中： 3. 注意事项： 二、一元二次方程的解（根） 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 2. 判断方法：将数值代入方程中，能使方程左右两边相等的便是根。 3. 重要结论： 巩固练习 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A．，是一元二次方程，故此选项符合题意； ．，是二元二次方程，故此选项不合题意； ．，是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意； ．，未知数的最高次数是3次，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故答案为：A． 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案. 2．已知是方程的根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： ， ∵是方程的根， ∴a2=2(a+1)， ∴原式=， 故答案为：B. 【分析】首先将代数式 化为最简分式，然后根据是方程的根，得到a2-2a-2=0，整体代入即可. 3．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵当时，方程可化为； ∴方程必有一根为． 故选：B. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 4．一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（　　） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【解析】【解答】解：， 移项得，， 则二次项系数、常数项分别为：2、， 故答案为：D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项.先移项可得：，据此可找出方程的二次项系数、常数项. 5．关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A．a≠1 B．a≥－1且a≠1 C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1 【答案】B 【解析】【解答】解：∵关于x的方程（a-1）x2+x+2=0是一元二次方程， ∴a-1≠0，a+1≥0， 解得：a≥-1，且a≠1． 故答案为：B． 【分析】利用一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件可得a-1≠0，a+1≥0，再求出a的取值范围即可. 6．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 A．2018 B．2008 C．2014 D．2012 【答案】A 【解析】【分析】∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根， ∴a•12+b•1+5=0，即a+b=﹣5。 ∴2013﹣a﹣b=2013﹣（a+b）=2013﹣（﹣5）=2018。 故选A。 7．若为实数，方程的一个根的相反数是方程的一个根，那么方程的根是（　　） A．1，2 B．0，3 C．-1，-2 D．0，-3 【答案】B 【解析】【解答】根据题意 它的一个根是x，x的相反数是-x 将-x代入方程 得 方程的根 即 的根 故选：B 【分析】根据方程的根的意义，将第一个方程的一个根的相反数代入第二个方程，根据得到的等式恒定变形，易由等量代换推导出c=0，将c=0代入原方程后即可求出根。 8．八年级（1）班部分学生去春游时，每个人都和同行的其他每一人合照一张双人1照，共照了双人照片36张，如果同去春游的有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设同去春游的有x名学生，由题意得， 故答案为：D 【分析】设同去春游的有x名学生，根据“每个人都和同行的其他每一人合照一张双人1照，共照了双人照片36张”即可列出一元二次方程，进而即可求解。 二、填空题 9．方程的一次项系数是　 　． 【答案】-1 【解析】【解答】解：方程左边的一次项为−x，其系数为−1 故答案为：−1 【分析】根据一元二次方程的一次项的系数的定义求解即可。 10．当　 　时，方程是关于的一元二次方程． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意得 ， ∴， 解得． 故答案为：． 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（）。据此求解。 11．若是方程的一个根，则的值为　 　． 【答案】2024 【解析】【解答】∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2024. 【分析】先利用一元二次方程的根可得，再将其代入计算即可. 12．若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　. 【答案】1 【解析】【解答】解：把 代入得： ， 解得： ， 又因为： 为一元二次方程， 所以： ， 所以： . 故答案为： . 【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值. 13．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　． 【答案】﹣1 【解析】【解答】解：设方程的两个根为a、b， ∴a+b＝﹣3， ∵方程的一根a＝﹣2， ∴b＝﹣1． 故答案为：﹣1 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出另一个根的值。 14．2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，得列出的方程为：， 故答案为：． 【分析】设人均可支配年收入的平均增长率为x，由“2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元“即可列出关于x的一元二次方程. 三、解答题 15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值． 【答案】解：∵a、b满足b＝+3， ∴a-2≥0，a-2≤0， ∴a=2， ∴b=3， ∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1， ∴a+b+c=0， ∴2+3+c=0， ∴c=-5． 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得a-2≥0，a-2≤0，则a=2，b=3，根据方程的一个根是1可得a+b+c=0，据此求解可得c的值. 16．关于x的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x2-3x-1＝0，试求b，c的值． 【答案】解：2（x2-2x+1）+bx-b+c＝0， 2x2+（b-4）x+2-b+c＝0， 所以b-4＝-3，2-b+c＝-1， 解得b＝1，c＝-2． 【解析】【分析】将一元二次方程化为2x2+（b-4）x+2-b+c＝0，再利用待定系数法可得b-4＝-3，2-b+c＝-1，最后求出b、c的值即可。 17．已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 答：当时，该方程是一元二次方程； （2）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 答：当时，该方程是一元一次方程． 【解析】【分析】（）根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解； （）根据一元一次方程的“含有一个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m的不等式，解不等式即可求解. （1）解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； （2）解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 18．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0 （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程． 【答案】（1）解：由已知得： △=[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2=﹣4k+1≥0， 解得：k≤ ． （2）解： ∴若原方程有实数根，k的取值范围为k≤ ． 当k=﹣2时，原方程为x2﹣5x+4=（x﹣1）（x﹣4）=0， 解得：x1=1，x2=4． 【解析】【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据（1）的结论，选k=﹣2，将其代入原方程，利用分解因式法解方程，此题得解． 19．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得； 化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式； （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】（1）解：设所求方程的根为，则， 把代入方程得， 即所求方程为； （2）解：设所求方程的根为，则， 把代入方程得， 整理得， 即所求方程为， 【解析】【分析】（1）根据题意设所求方程的根y，列出x=-y关系式，再代入原方程化简即可； （2）根据题意设所求方程的根y，列出关系式，再代入原方程，方程左右两边同时乘以y2化简即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、一元二次方程的概念 1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2. 一般形式：，其中： 3. 注意事项： 二、一元二次方程的解（根） 1. 定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 2. 判断方法：将数值代入方程中，能使方程左右两边相等的便是根。 3. 重要结论： 巩固练习 一、选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是方程的根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，常数项是（　　） A．2 B．1 C．3 D． 5．关于x的方程（a﹣1）x2＋x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( ) A．a≠1 B．a≥－1且a≠1 C．a＞－1且a≠1 D．a≠±1 6．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是 A．2018 B．2008 C．2014 D．2012 7．若为实数，方程的一个根的相反数是方程的一个根，那么方程的根是（　　） A．1，2 B．0，3 C．-1，-2 D．0，-3 8．八年级（1）班部分学生去春游时，每个人都和同行的其他每一人合照一张双人1照，共照了双人照片36张，如果同去春游的有x名学生，根据题意，列出方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．方程的一次项系数是　 　． 10．当　 　时，方程是关于的一元二次方程． 11．若是方程的一个根，则的值为　 　． 12．若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　. 13．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为　 　． 14．2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58万元增长至7.96万元．设人均可支配年收入的平均增长率为x，根据题意列出方程得 　 　． 三、解答题 15．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值． 16．关于x的一元二次方程2（x-1）2+b（x-1）+c＝0化为一般形式后为2x2-3x-1＝0，试求b，c的值． 17．已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 18．已知关于x的方程 x2﹣（2k﹣1）x+k2=0 （1）若原方程有实数根，求k的取值范围？ （2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程． 19．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得； 化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程要求：把所求方程化为一般形式； （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 学科网（北京）股份有限公司 $$