21.2.1 配方法 暑期衔接讲义2025-2026学年九年级上册数学人教版

21.2.1 配方法 暑期衔接讲义2025-2026学年九年级上册数学人教版 思维导图 知识梳理 一、配方法的定义 配方法是指通过变形将一元二次方程转化为的形式，再利用直接开平方法求解的方法。其核心思想是构造完全平方式。 二、配方法解一元二次方程的步骤 1. 移项 将常数项移到方程右边，使方程变为 ▶ 示例： 2. 化1（若需） 若二次项系数 ▶ 示例：方程 3. 配方 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， ▶ 示例： 4. 变形为完全平方形式 左边写成 ▶ 示例： 5. 开平方求解 若右边为非负数，两边开平方得 ▶ 示例： 三、注意事项 等式平衡：配方时两边必须同时加相同的数，否则会破坏等式。 非负性要求：若开平方后右边为负数方程无实数根。 符号细节：一次项系数为负数时，配方后括号内为 四、典型例题 例1：用配方法解方程 解： 1. 移项： 2. 配方： 例2：用配方法解方程 解： 五、配方法的应用 推导一元二次方程求根公式的基础。 求二次函数的顶点坐标（后续学习内容）。 巩固练习 一、选择题 1．方程的所有整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 3．把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10 4．如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是（　　） A．2 B． C． D．3 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 6．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5 8．老师出示问题：“解方程”，四位同学给出了以下答案：小琪：；子航：；一帆：；萱萱：其中答案正确的是（　　） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 二、填空题 9．一元二次方程 的解为　 　． 10．已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是　 　． 11．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=　 　. 12． 如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为 　 　． 13．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是　 　 14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成　 　． 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 16．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值． 17．小颖在解方程 2x2 -8x＋3 =0 时出现了错误，解答过程如图所示： （1）小颖的解答过程从第 ▲ 步开始出错，其错误的原因是 ▲ ； （2）请你写出此题正确的解题过程。 18．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1 配方法 暑期衔接讲义2025-2026学年九年级上册数学人教版 思维导图 知识梳理 一、配方法的定义 配方法是指通过变形将一元二次方程转化为的形式，再利用直接开平方法求解的方法。其核心思想是构造完全平方式。 二、配方法解一元二次方程的步骤 1. 移项 将常数项移到方程右边，使方程变为 ▶ 示例： 2. 化1（若需） 若二次项系数 ▶ 示例：方程 3. 配方 方程两边同时加上一次项系数一半的平方， ▶ 示例： 4. 变形为完全平方形式 左边写成 ▶ 示例： 5. 开平方求解 若右边为非负数，两边开平方得 ▶ 示例： 三、注意事项 等式平衡：配方时两边必须同时加相同的数，否则会破坏等式。 非负性要求：若开平方后右边为负数方程无实数根。 符号细节：一次项系数为负数时，配方后括号内为 四、典型例题 例1：用配方法解方程 解： 1. 移项： 2. 配方： 例2：用配方法解方程 解： 五、配方法的应用 推导一元二次方程求根公式的基础。 求二次函数的顶点坐标（后续学习内容）。 巩固练习 一、选择题 1．方程的所有整数解的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x-1≠0时，解得x=-3；（2）当x2+x-1=1时，解得x=-2或1． （3）当x2+x-1=-1，x+3为偶数时，解得x=-1 因而原方程所有整数解是-3，-2，1，-1共4个． 故答案为C． 【分析】分为指数为0，底数不为0；底数为-1，指数为偶数三种情况，列方程解题即可． 2．用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解． 3．把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10 【答案】D 【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=1， 配方得：x2-6x+9=10，即（x-3）2=10， ∵方程x2-6x-1=0转化成（x+m）2=n的形式， ∴m=-3，n=10． 故答案为：D． 【分析】此方程二次项系数为1，故将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可. 4．如果方程是关于x的一元二次方程，则P的值是（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p-2≠0，， ∴p=-2， 故答案为：B 【分析】根据一元二次方程的定义结合题意即可得到p-2≠0，，进而解一元二次方程即可求解。 5．若是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】【解答】解：∵x=﹣1方程的一根，代入方程可得： ∴， 解得， 即k的值为-1. 故答案为：A． 【分析】把x=-1代入已知方程可得关于k的方程，解方程即可求出k，进而可得答案． 6．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，可得，解得， 将代入关于的方程，可得，解得． 故选：B． 【分析】根据题意，将代入方程，求得的值，再将代入关于的方程，进而求得y的值，得到答案. 7．一元二次方程（x﹣1）2＝25可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣1＝5，则另一个一元一次方程是（　　） A．x+1＝﹣5 B．x+1＝5 C．x﹣1＝﹣5 D．x﹣1＝5 【答案】C 【解析】【解答】解：∵（x﹣1）2＝25， ∴x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5， 即另一个方程是x﹣1＝﹣5. 故答案为：C. 【分析】两边同时开平方可得x-1＝5或x-1＝-5，据此解答. 8．老师出示问题：“解方程”，四位同学给出了以下答案：小琪：；子航：；一帆：；萱萱：其中答案正确的是（　　） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 【答案】D 【解析】【解答】解：， ， ， 故答案为：D． 【分析】利用直接开平方法解方程即可. 二、填空题 9．一元二次方程 的解为　 　． 【答案】 【解析】【解答】 故答案为： ． 【分析】利用直接开平方法求解即可。 10．已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意，3是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 可得，解得， ∴该方程为， 解该方程，可得，， ∴该方程的另一根是． 故答案为：． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．根据一元二次方程的解可将代入方程，通过计算可求出的值，进而可得方程：，利用开平方法可求出该一元二次方程的解，进而可求出该方程的另一根． 11．已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=　 　. 【答案】-2 【解析】【解答】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0， 解得：m=2或m=-2， 又∵m-2≠0，即m≠2， ∴m= -2， 故答案为：-2. 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值. 12． 如图是一个计算程序，当输出值y＝100时，输入x的值为 　 　． 【答案】11或﹣9 【解析】【解答】解：根据题意得：， 当时，， ，解得或． 故答案为：11或． 【分析】根据题意可得（x-1）2=100，利用直接开方法解一元二次方程即可。． 13．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt△ABC的两直角边的长，则Rt△ABC的面积是　 　 【答案】4 【解析】【解答】解：∵（x-3）2=1， ∴x-3=1或x-3=-1， ∴x1=4，x2=2， ∴Rt△ABC的两条直角边为4和2， ∴Rt△ABC的面积=×4×2=4. 故答案为：4. 【分析】先求出一元二次方程的根，得出Rt△ABC的两条直角边的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算，即可得出答案. 14．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵方程， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴9-q=7， 解得：q=2， ∵方程 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 【分析】掌握配方法解题的步骤是关键，先求出q=2，再求出，最后配方求解即可。 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： 解得， （2）解： 解得，． 【解析】【分析】（1）根据直接开方法解方程即可； （2）运用配方法解方程即可． （1） 解得，； （2） 解得，． 16．若 为方程 的一个正根， 为方程 的一个负根，求a+b的值． 【答案】解： ， ， ， 为方程 的一个正根， ， ， ， ， ， 为方程 的一个负根， ， ． 【解析】【分析】利用直接开平方及配方法求出a、b的值，再代入计算即可。 17．小颖在解方程 2x2 -8x＋3 =0 时出现了错误，解答过程如图所示： （1）小颖的解答过程从第 ▲ 步开始出错，其错误的原因是 ▲ ； （2）请你写出此题正确的解题过程。 【答案】（1）②；等式右边没有除以2 （2）解： 【解析】【解答】解：(1) 小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2， 故填：②；等式右边没有除以2 【分析】(1)根据解方程--配方法的步骤每个步骤判定即可； (2)利用配方法求解即可. 18．将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如，该方程变形为，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题： 已知：，且，求的值． 【答案】解：由可变形为，， ∴ ， 解方程得：， ∵， ∴， ∴原式． 【解析】【分析】变形已知为，，把变形后的代数式代入要求值的代数式． 学科网（北京）股份有限公司 $$