21.2 解一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

Trend Design 21.2.1 解一元二次方程 配方法 第二十一章 一元二次方程 1 前 言 学习目标 1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。 2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。 重点难点 重点：用配方法解一元二次方程。 难点：用配方法解一元二次方程的步骤。 2 尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？ x2+6x+4=0 移项：把常数项移到方程的左边 x2+6x=﹣4 两边加9，即()2使左边配成x2 +2bx+b2的形式 x2+6x+9 =﹣4+9 使等式左边可以写出完全平方的形式 =5 x+3= 降次 x+3= ，x+3= 解一元一次方程 =- = 验证 x=是 两个根 为什么在方程两边同时加9？可以加其他数吗？ 探究 3 概念： 将方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 目的： 关键： 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 将方程配成完全平方形式. (若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”) 配方法概念 4 用配方法解一元二次方程 的一般步骤： （1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； （2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； （4）将原方程变成 的形式； （5）判断右边代数式的符号，若n≥0，可以直接开方求解；若n<0，原方程无解。 通过配方法解一元二次方程的步骤 5 例1：解方程: x2﹣8x+1=0 2x2+1=3x 3x2﹣6x+4=0 解：(1)移项，得: 配方，得: 由此可得: ∴ x1=4+ ，x2=4- x2﹣8x=﹣1 x2﹣8x+42=﹣1+42 （x﹣4)2=15 整理，得: x﹣4= 探究 6 例1：解方程: x2﹣8x+1=0 2x2+1=3x 3x2﹣6x+4=0 解：(2)移项，得: 系数化为1，得: 2x2﹣3x=﹣1 x2﹣x=- 配方，得: ∴ x1=1，x2= x2﹣x+=- 整理，得: （x﹣ )2= 由此可得: x﹣ 探究 7 例1：解方程: x2﹣8x+1=0 2x2+1=3x 3x2﹣6x+4=0 你可以通过今天学到的方法，求出第三个方程的解吗？ 解：(3)移项，得: 系数化为1，得: 3x2﹣6x=﹣4 x2﹣x=- 配方，得: x2﹣2x+=- 整理，得: （x﹣ )2=- 因为实数的平方不会是负数，所以无论x取何值时，(x﹣ ) 2都是非负数，因此方程不成立，原方程无实数根。 探究 8 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： (1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1=﹣n﹣ ，x2=﹣n﹢ ； (2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=﹣n; (3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根. 小结 9 1.在下列等式内填上适当的数,使等式成立 x-2 x+6 (3)x2 + 2x+ = (x+ )2; (4)x2﹣6x+ = (x﹣ )2; (5)x2 +3x+ = (x+ )2; (6)x2﹣ x+ = (x﹣ )2. 12 1 32 3 3 2 ( )2 3 2 7 4 ( )2 7 4 62 22 课堂测试 10 2.下列配方有错误的是（ ） 【解题过程】 课堂测试 11 3.已知 ，求a，b，c的值。 【解题过程】 解：∵ 此类问题解题的关键在于通过配方法使等式两边结构相同 课堂测试 12 4.二次三项式 的值（ ） A.小于1 B.大于1 C.大于等于1 D.不大于1 【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。 【解题过程】 解：∵ 课堂测试 13 Trend Design 感谢各位的仔细聆听 14 21.2.2 解一元二次方程 公式法 第二十一章 一元二次方程 15 前 言 学习目标 1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。 2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。 3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程 重点难点 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。 难点：求根公式的推导。 16 此时可以直接开平方吗？需要注意什么？ 用配方法解一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0) 你还记得 配方法的步骤吗？ 二次项系数化为1，得 配方，得 整理后，得 解：移项，得 探究 17 因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论： （1）若b2﹣4ac＞0 =± 方程有两个不相等的实数根 则 >0 将①直接开平方，得 探究 18 （2）若b2﹣4ac=0 则 =0 将①直接开平方，得 因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论： =0 此时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=﹣ 探究 19 （3）若b2﹣4ac<0 则 <0 因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论： 而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 探究 20 一般地,式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式。 概念： 表示： 通常用希腊字母“Δ”表示（音译为“德尔塔” ），即Δ=b2－4ac. 判别式的概念 21 = 由前面的推导过程，可知： 1）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根。 2）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根。 3）若0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根 。 当时，你可以写出一元二次方程根的表达式吗？ 当时，方程有两个实数根 小结 22 求根公式概念： 公式法概念： 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 公式法的概念 23 ③如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： ①把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); ②求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; ④最后求出x1，x2 公式法解一元二次方程的步骤 24 例：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解:(1)a=1,b=-4,c=-7 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0 方程有两个不等的实数根 即x1=,x2= = 注意a，b，c的符号 公式法的应用 25 例：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解:(2)a=2,b=- ,c=1 Δ=b2-4ac=(- )2-4×2×(1)=0 方程有两个相等的实数根 即x1=x2= = 注意a，b，c的符号 公式法的应用 26 例：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0 a=5,b=- ,c=-1 Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0 方程有两个不相等的实数根 = 注意a，b，c的符号 即x1=,x2=- 公式法的应用 27 例：用公式法解下列方程: (1)x2-4x-7=0; (2)2x2-x+1=0 (3)5x2-3x=x+1 (4)x2+17=8x 解:(4)移项得， x2-8x+17=0 a=1,b=- ,c=17 Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4 < 0 方程无实数根 注意a，b，c的符号 公式法的应用 28 1.用公式法解下列方程: 课堂测试 29 2.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是_________ . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根的两种情况。 解： 则 课堂测试 30 3.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是 （ ） A.k>-1 B. k>-1 且k≠ 0 C. k<1 D. k<1 且k≠0 解: ∵＞0 ∴ k＞-1 而kx2-2x-1=0是一元二次 ∴ k≠0 则 k＞-1且k≠0 课堂测试 31 21.2.3 解一元二次方程 因式分解法 第二十一章 一元二次方程 前 言 学习目标 1.会用因式分解法解一元二次方程。 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。 重点难点 重点：运用因式分解法求解一元二次方程。 难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。 我们已经学过对一个多项式进行因式分解的方法为： ① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c) ② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) ③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 ④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q) 回顾 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 根据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 设物体经过x秒落回地面, 即 10x-4.9x2=0 ① 小球最终回到地面， 此时离地高度为0 尝试用 配方法和公式法 求方程的解？ 情景思考 配方法 10x-4.9x2=0 解：移项得， 4.9x2 -10x=0 系数化为1得，x2 -x=0 配方得，x2 -x+= 整理得， = 由此可得， =± 则= ≈2.04 公式法 10x-4.9x2=0 解：移项得， 4.9x2 -10x=0 a=4.9,b=-10,c=0 Δ=b2-4ac=100>0 方程有两个不等的实数根 = 即x1=,x2=≈2.04 情景思考 除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①? 10x-4.9x2=0 ① 观察方程结构，其右边为0,左边可以因式分解, 整理，得x(10-4.9x)=0 若ab=0，则a=0或b=0 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0；反之,如果两个因式中任何一个为0,那么它们的积也等于0. ∴x=0或10﹣4.9x=0. ② ∴方程①的两个根是x1=0, x2= ≈2.04 这两个根中,x2≈2.04表示物体约在2.04s落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即在0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0m. 思考 解方程①时，二次方程是如何降为一次的? 通过因式分解,将一元二次方程转化为两个一元一次方程相乘，并且乘积等于0。 思考 上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法概念 ①移项,使一元二次方程等式右边为0; ②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积; ③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; ④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。 归纳：右化零，左分解，两因式，各求解. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 例1解下列方程: (1) x(x﹣2)+x﹣2=0; (2) 5x2﹣2x﹣ =x2﹣2x+ 1)解: 因式分解，得 (x﹣2)(x+1)=0 2)解：移项、合并同类项， 得 4x2﹣1=0 ∴x-2=0或x+1=0 x1=2, x2=﹣1 因式分解， 得 (2x+1)(2x-1)=0 ∴2x+1=0或2x﹣1=0 x1=0.5,x2=﹣0.5 尝试用 配方法和公式法 求方程的解？ 思考 解一元二次方程过程 适用范围 配方法 先配方，再降次 所有一元二次方程 公式法 利用求根公式 所有一元二次方程 因式分解法 右化零，左分解，两因式，各求解 仅部分 解一元二次方程的基本思路是:将二次方程化为一次方程，即降次。 小结 1.方程x(x+3)=0的根是( ) A.x=3 B.x=0 C.x1=0,x2=﹣3 D.x1=0,x2=3 2.方程(x-4)(x+3)=0的解是( ) A.x=4 B.x=﹣3 C.x1=-4,x2=3 D.x1=4,x2=﹣3 3.方程2x2=3x的解为( ) A.0 B.1.5 C.﹣1.5 D.0或1.5 课堂测试 4.解下列方程: 尽可能用多种方法解方程 课堂测试 5．解方程 ，最简便的方法是（ ） A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．直接开平方法 【详解】 ∵方程中有公因式（x-1），故可采用因式分解法求解， 故选C. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法. 课堂测试 6．若等腰三角形的底和腰是方程 的两个 根，则这个三角形的周长为（ ） A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定 【分析】 先求出这个方程，再根据等腰三角形及三角形的构成即可求出周长. 【详解】 解方程 得x1=2,x2=5, ∵三角形为等腰三角形 ∴腰为5，底为2,（腰为2，底为5舍去） 故周长为12。 课堂测试 感谢各位的仔细聆听 $$