21.2.3 因式分解法 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.3 因式分解法 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、因式分解法的概念 1. 定义：通过将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的乘积，右边化为0，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，叫做因式分解法。 2. 核心思想：降次，即将二次方程转化为一次方程求解。 二、因式分解法的适用条件 1. 方程右边必须为0 2. 方程左边可以分解为两个一次因式的乘积 三、因式分解法的解题步骤 1. 移项 将方程化为一般形式，使右边为0： 2. 分解因式 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积： 常见分解方法： 提公因式法 3. 转化求解 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程： 解这两个方程，得到原方程的根： 四、典型例题解析 例1：用因式分解法解方程 解： 1. 分解左边： 例2：用因式分解法解方程 解： 五、易错点提醒 1. 必须先移项使右边为0： 2. 分解要彻底：确保左边分解为两个一次因式，避免出现高次因式。 3. 符号问题： 4. 检验根的合理性：解实际问题时，需检验根是否符合题意（如长度、人数等不能为负）。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【解析】【解答】解：， 即， 解得：，， 故选：C． 【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案. 2．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　） A． B．3或 C．3 D．或1 【答案】C 【解析】【解答】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义即可求出的值． 3．根据图中的程序，当输入一元二次方程 的根x时，输出结果y的值为（　　）． A．－4或－1 B．－4 C．2 D．－4或1 【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ， 解得 ， ， 当 时， ， 当 时， ， ∴输出结果y的值为 或 ． 故答案为：A 【分析】先求出 ，再求出 ， ，最后求解即可。 4．关于 的方程 的一个根是 ，则它的另一个根 和 的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】将 代入原方程得： ，解得： ， 即原方程为： ，即 ， 解得： ， 故答案为：D． 【分析】将 x1=-1 代入方程可得m=-2，再利用因式分解法解方程即可。 5．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或 C．48或 D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 三角形第三边的长是一元二次方程的一个实数根 ∴ 解方程，得x1=10，x2=6 ∵ 三角形两边的长分别是6和8， ∴ 三角形的三边为6，8，10或6，6，8 （1）当三角形三边为6，8，10，则此时三角形为直角三角形， 该三角形的面积是=24； （2）当三角形三边为6，6，8，则此时三角形为等腰三角形， 则高为， 该三角形的面积是； 综上，该三角形的面积是24或； 故答案为B 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键。 解方程，得x1=10，x2=6；则 三角形的三边为6，8，10或6，6，8，分别计算面积即可。 6．菱形 的一条对角线长为6，边 的长为方程 的一个根，则菱形 的周长为（　　） A．8 B．20 C．8或20 D．以上答案都不对 【答案】B 【解析】【解答】 解方程 得： 或5 对角线长为6， ，不能构成三角形； 菱形的边长为5． 菱形 的周长为 ． 故答案为：B． 【分析】边AB的长是方程 的一个根，解方程求得y的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长． 7．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程： 小逸 小明 小琛 两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ． 下列选项中说法正确的是（　　） A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确 C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的 【答案】C 【解析】【解答】解：只有小逸的解法错误，方程两边同时除以（x+5），这样会导致方程漏解，小明，小琛分别用配方法、因式分解解方程，计算皆正确， 故答案为：C. 【分析】分别运用解一元二次方法的常用方法：配方法，因式分解法进行解方程即可. 8．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如：把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6 现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（　　） A．3 B．-1 C．-3或1 D．3或-1 【答案】D 【解析】【分析】当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，即，解得或 选D 【点评】本题考查一元二次方程，解答本题需要考生掌握一元二次方程解法，会求一元二次方程的解，本题在常规题型上属创新题 二、填空题 9．一元二次方程x2=4x的解是　 　. 【答案】x1=0，x2=4 【解析】【解答】解：x2=4x 移项可得：x2-4x=0 解方程可得：x1=0，x2=4 故答案为：x1=0，x2=4 【分析】移项，提公因式再解方程即可求出答案. 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是　 　． 【答案】24或 【解析】【解答】由x2-16x+60=0，可解得x的值为6或10，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【分析】利用因式分解法求出x2-16x+60=0的根为6或10，从而可得第三边长为6或10，分别解答即可. 11．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形． 【答案】2或11 【解析】【解答】解： x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0， 则x2-（2k+3）x+（k+1）（k+2）=0 则[x-(k+1)][x-(k+2)]=0， 解得x1=k+1，x2=k+2， ∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根， ∴AB、AC的长分别为（k+1）、（k+2）， ∵BC=5， ①当BC为直角三角形斜边时，根据勾股定理得， ，即， 解得k1=2，k2=-5（舍去）， ②当BC为直角三角形直角边时，根据勾股定理得， 或， 即 解得k3=11， 则当k=2或k=11时，△ABC是直角三角形. 故答案为：2或11. 【分析】先用因式分解法解出一元二次方程，即将AB、AC用含k的式子表示，再分①BC为直角三角形斜边时，②BC为直角三角形直角边时，两种情况，分别根据勾股定理列出关于k的方程，解出k的值即可. 12．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，那么m的值为　 　． 【答案】1或-9 【解析】【解答】解：， 分解因式，得 x(x-2)=0，解得x1=0，x2=2， 当x=0时，将x=0代入，得m-1=0，解得m=1； 当x=2时，将x=2代入，得4+6+m-1=0，解得m=-9. 故答案为：1或-9. 【分析】先求出的根，再分别代入，求出m的值. 13．用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是　 　，一元二次方程的解是　 　． 【答案】x-1-2=0；， 【解析】【解答】解：∵， ∴要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是； 由得，由得， 故一元二次方程的解是，， 故答案为：x-1-2=0，， 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程的计算方法求解即可。 三、解答题 14．解下列一元二次方程： （1） x2+2x-1=0； （2） 2x2-x-3=0． 【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-1， ∴b2-4ac=22-4×1×(-1)=8， ∴x=， ∴x1=-1+，x2=-1-； （2）解：∵（2x-3）（x+1）=0， ∴2x-3=0，x+1=0， 解得：x1=，x2=-1. 【解析】【分析】（1）由题意根据一元二次方程的求根公式可求解； （2）由题意将二次三项式分解因式后，原方程可化为两个一元一次方程，解这两个方程即可求解. 15．已知关于x 的一元二次方程 （1）求证：不论m 为何值时，方程总有实数根. （2）当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根? 【答案】（1）证明：Δ=(m+2)2-8m=(m-2)2≥0 ∵m≠0， ∴当m取任何值时，方程总有实数根 （2）解：mx2-(m+2)x+2=0， ∴(x-1)(mx-2)=0， ∴x=1或 由题意可知：m≠2且m≠0且m≠-1， 由题意可知：m=1 【解析】【分析】(1)根据根的判别式即可求出答案； (2)根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出m的值. 16．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． （1）化简：； （2）解关于x的方程：． 【答案】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【解析】【分析】（1）根据新定义列式计算即可求出答案. （2）根据新定义可得，解方程即可求出答案. （1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 17．在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目 解方程：． 佳琪同学的解答过程如下： 方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为． （1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由． （2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【答案】（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴方程的解为，． 【解析】【分析】（1）根据解一元二次方程的解法，可以发现第一步出现错误，方程两边不能同时除以. （2）根据因式分解法解方程即可求出答案. （1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴方程的解为，． 18．已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）解：由题意，即， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意可设，， 原方程化为， ∴ 解得或， ∴当时， 由题得， 当时， 由题得，（不合题意，舍去）， ∴． 【解析】【分析】（1）方程有实数根，则，得到，再结合，得到，从而得到结果； （2）设，，代入原方程解得两根，结合进行分类讨论，求出后即可得到结果． （1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，整理可得， 又∵， ∴，， ∴； （2）∵， ∴可设，， ∴可得， ∴ 解得或， 又∵， ∴当时，可得，解得， 当时，可得，解得（不合题意，舍去）， ∴． 19．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示． （1）若所捂的部分为，求的值； （2）若所捂的部分为，求的值． 【答案】（1）解：由已知得，， ∴， 解得或； （2）解：由已知得，， ∴， 解得或． 【解析】【分析】()根据题意可得，利用因式分解法解答，即可求出答案. ()根据题意可得，再利用因式分解法解答，即可求出答案. （1）由已知得，， ∴， 解得或； （2）由已知得，， ∴， 解得或． 20．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 【答案】（1）② （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 【解析】【解答】解：（1）①的两根是和，不是整数根，不是“差1方程”；②原方程可化为（x+3）（x+4）=0，两根为-3和-4，|-3-（-4）|=1，是“差1方程”；③方程的两根不是整数根，不是“差1方程”；因此是“差1方程”的只有②； 故答案为：②. 【分析】（1）根据新的定义，分别求出一元二次方程的两根，根据两根是否是整数根以及两根差的绝对值是否为1进行判定即可； （2）将方程因式分解成两个多项式相乘的形式，根据新定义列含绝对值的一元一次方程，解方程即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3 因式分解法 暑期衔接讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、因式分解法的概念 1. 定义：通过将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的乘积，右边化为0，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法，叫做因式分解法。 2. 核心思想：降次，即将二次方程转化为一次方程求解。 二、因式分解法的适用条件 1. 方程右边必须为0 2. 方程左边可以分解为两个一次因式的乘积 三、因式分解法的解题步骤 1. 移项 将方程化为一般形式，使右边为0： 2. 分解因式 将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积： 常见分解方法： 提公因式法 3. 转化求解 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程： 解这两个方程，得到原方程的根： 四、典型例题解析 例1：用因式分解法解方程 解： 1. 分解左边： 例2：用因式分解法解方程 解： 五、易错点提醒 1. 必须先移项使右边为0： 2. 分解要彻底：确保左边分解为两个一次因式，避免出现高次因式。 3. 符号问题： 4. 检验根的合理性：解实际问题时，需检验根是否符合题意（如长度、人数等不能为负）。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程的根为（　　） A． B． C．， D．， 2．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（　　） A． B．3或 C．3 D．或1 3．根据图中的程序，当输入一元二次方程 的根x时，输出结果y的值为（　　）． A．－4或－1 B．－4 C．2 D．－4或1 4．关于 的方程 的一个根是 ，则它的另一个根 和 的值分别是（　　） A． B． C． D． 5．三角形两边的长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或 C．48或 D． 6．菱形 的一条对角线长为6，边 的长为方程 的一个根，则菱形 的周长为（　　） A．8 B．20 C．8或20 D．以上答案都不对 7．某节数学课上，老师让学生解关于的方程，下面是三位同学的解答过程： 小逸 小明 小琛 两边同时除以，得． 整理得， 配方得， ， ， ，． 移项得， ， 或， ． 下列选项中说法正确的是（　　） A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确 C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的 8．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如：把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6 现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（　　） A．3 B．-1 C．-3或1 D．3或-1 二、填空题 9．一元二次方程x2=4x的解是　 　. 10．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个实数根，则该三角形的面积是　 　． 11．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝　 　时，△ABC是直角三角形． 12．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，那么m的值为　 　． 13．用因式分解法解一元二次方程时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的一个方程是，则另一个方程是　 　，一元二次方程的解是　 　． 三、解答题 14．解下列一元二次方程： （1） x2+2x-1=0； （2） 2x2-x-3=0． 15．已知关于x 的一元二次方程 （1）求证：不论m 为何值时，方程总有实数根. （2）当m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根? 16．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． （1）化简：； （2）解关于x的方程：． 17．在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目 解方程：． 佳琪同学的解答过程如下： 方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为． （1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由． （2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 18．已知关于的一元二次方程，． （1）若方程有实数根，试确定之间的大小关系； （2）若，和是原方程的两个实数根，且，求的值． 19．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一部分，如图所示． （1）若所捂的部分为，求的值； （2）若所捂的部分为，求的值． 20．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$