22.1.1 二次函数 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的概念 1. 定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 注意事项： 自变量 x 的最高次数是2。 等式右边必须是整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。 二、二次函数的一般形式 1. 标准形式： 2. 特殊形式： 三、二次函数的自变量取值范围 1. 一般情况：自变量 x 可取全体实数。 2. 实际问题：根据具体情境确定取值范围（如时间、长度、面积等不能为负数）。 例：用长为20m的篱笆围矩形场地，设矩形一边长为 x ，面积为 y ，则 ，自变量 x 的取值范围是 四、二次函数的函数值 1. 定义：对于二次函数值称为函数值。 2. 计算方法：将自变量 x 的值代入函数解析式，求出 y 的值。 例：已知二次函数 。 五、典型例题解析 题型一：二次函数的识别 例1：下列函数中，是二次函数的是（ ） 解： 。答案：B 题型二：确定二次函数的系数 例2：已知二次函数，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是_ _。 解：二次项系数为 -2 ，一次项系数为 3 ，常数项为 -1 。答案：-2，3，-1 六、易错点提醒 1. 忽略 的条件：。 2. 混淆函数类型：二次函数必须满足“二次项系数不为0”且“自变量最高次数为2”，与一次函数、反比例函数严格区分。 3. 实际问题中自变量取值范围：解决实际问题时，需根据题意限制自变量取值（如长度不能为负，人数为正整数等）。 巩固练习 一、选择题 1．下列函数关系中，属于二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【解析】【解答】解：A、由题意得y=kx+b，是一次函数，A不符合题意； B、由题意得，是反比例函数，B不符合题意； C、由题意得，是正比例函数，C不符合题意； D、由题意得，是二次函数，D符合题意． 故答案为：D 【分析】根据二次函数的定义结合题意列二次函数即可求解。 2．函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 【答案】A 【解析】【解答】解：y=3x2-6x+1的一次项系数为-6. 故答案为：A. 【分析】此函数解析式的一次项为-6x，可得到一次项的系数. 3．下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A、y=4x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； B、y=2x-1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意； C、y=x2-3，y是x的二次函数，故此选项符合题意； D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可. 4．二次函数中，的取值范围是（　　） A． B． C． D．一切实数 【答案】C 【解析】【解答】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不能等于零即可解答. 5．现有一根长为50cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm 2 ，一边长为xcm，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y=x(50-x) B．y=x(50-2x) C．y=x(25-2x) D．y=x(25-x) 【答案】D 【解析】【解答】解：∵矩形的周长为50cm，一条边长为xcm ∴矩形的另一条边长为（-x）cm，即（25-x）cm ∴矩形的面积y=x（25-x） 故答案为：D. 【分析】根据矩形的周长=2（长+宽），已知周长和一条边，可以求出另一条边；根据矩形面积=长宽，可以求出函数表达式. 6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得 即． 故选：A． 【分析】 因为每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意得． 7．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设苹果单价提高x元，则销售量为千克， 由题意得，， 故答案为：D． 【分析】设苹果单价提高x元，由题意单价每提高1元，销售量减少6千克，即可得到销售额y关于x的函数表达式. 8．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 【答案】A 【解析】【解答】∵每涨价1元，每星期要少卖出5件，每件涨价x元， ∴销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件， ∴每星期售出商品的利润y＝（200﹣5x）（40﹣20+x）． 故答案为：A． 【分析】由于每件涨价x元，可得每星期销售每件的利润为（40﹣20+x）元，每星期的销售量为（200﹣5x）件，根据每星期的利润=销售每件的利润×每星期的销售量，即可求解. 二、填空题 9．当　 　时是二次函数 【答案】0 【解析】【解答】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 【分析】根据二次函数的定义即可求出答案. 10．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r的函数关系式为　　 　 　． 【答案】S=4πr2 【解析】【解答】解：圆柱的表面积S与底面半径r的函数关系式为S=2πr2+2πr•r=4πr2． 故答案为：S=4πr2． 【分析】根据圆柱的表面积公式：圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积，可得答案． 11．二次函数y=x(x-1)+4x-3中，二次项系数为　 　，一次项系数为　 　，常数项为　 　。 【答案】1；3；-3 【解析】【解答】解：先把二次函数整理成一般形式为： 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3， 故答案为：1，3，-3. 【分析】把二次函数化为一般式，然后解答即可. 12． 某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则菅业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：二月份的营业额为 三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x为 则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为： 故答案为： 【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额×(1+增长率) =三月份的营业额，等量关系为： 一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相应数值代入即可求解. 13．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为　 　． 【答案】 【解析】【解答】，解：由题意得：， 故答案为：． 【分析】此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可建立出y关于x的函数关系式. 14．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是　 　(不用写出x的取值范围) 【答案】y=16-x2 【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4， ∴AB=AD=4， ∵ BE=DF =x， ∴AE=4-x，AF=4+x， ∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2. 【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案. 三、解答题 15．已知函数y=（k﹣2）xk2﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】解：（1）函数y=（k﹣2）xk2﹣4k+5+2x是关于x的二次函数，得 ， 解得k=1或k=3； （2）当k=1时，函数y=﹣x2+2x有最高点； y=﹣（x﹣1）2+1， 最高点的坐标为（1，1）， 当x＜1时，y随x的增大而增大． 【解析】【分析】（1）根据二次函数的指数是二，可得方程，根据解方程，可得答案； （2）根据函数有最大值，可得二次项系数是负数，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案；根据a＜0时，对称轴的左侧y随x的增大而增大，可得答案． 16．已知：y=y1+y2，y1与x2成正比，y2与x﹣2成正比，当x=1时，y=1；当x=﹣1时，y=﹣5． （1）求y与x的函数关系式． （2）求x=0时，y的值． 【答案】（1）解：（1）∵y=y1+y2，y1与x2成正比，y2与x﹣2成正比， ∴设，y2=k2（x﹣2）． ∴． ∵当x=1时，y=1；当x=﹣1时，y=﹣5， ∴ 解得k1=4，k2=3．∴y=4x2+3（x﹣2）=4x2+3x﹣6．即y与x的函数关系式是：y=4x2+3x﹣6． （2）当x=0时，y=4×02+3×0﹣6=﹣6． 即x=0时，y的值是﹣6． 【解析】【分析】（1）根据题意可以设y1，y2的函数解析式，从而得到y关于x的函数解析式，根据当x=1时，y=1；当x=﹣1时，y=﹣5，可以求得y关于x的函数解析式，从而解答本题； （2）将x=0代入第一问中的函数解析式，从而可以求得y的值． 17．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】解：乙的说法对， 理由如下：， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 【解析】【分析】先求出，再利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）分析求解即可. 18．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现，该产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系： ．若这种产品每天的销售利润为 (元).求 与 之间的函数关系式． 【答案】解：由题意 ． 【解析】【分析】通过实际应用问题列出函数解析式，并化简成二次函数的标准形式． 19．已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【答案】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． 故答案为：或. （2）解：∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 故答案为：. 【解析】【分析】（1）利用二次函数的定义（我们把形如y=ax2+bx+c，且a≠0的解析式称为二次函数）可得：，再求解即可； （2）利用二次函数的性质与系数的关系（①当二次函数的图象开口向上时，离对称轴越远的点的函数值越大；②当二次函数的图象开口向下时，离对称轴越远的点的函数值越小）可得，再求出m的值即可. （1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 20．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． （1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值； （2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】（1）解：根据题意把点代入解析式， 得，化简得：， 解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， ∴有，化简得，， 关于的方程有实数解， ， 解得：． 【解析】【分析】（1）将点（-1，-1）代入可得，再化简求解即可； （2）设点是函数的一个不动点，可得，再利用“关于的方程有实数解”可得，最后求出b的取值范围即可. （1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.1 二次函数 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、二次函数的概念 1. 定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中， 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 2. 注意事项： 自变量 x 的最高次数是2。 等式右边必须是整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。 二、二次函数的一般形式 1. 标准形式： 2. 特殊形式： 三、二次函数的自变量取值范围 1. 一般情况：自变量 x 可取全体实数。 2. 实际问题：根据具体情境确定取值范围（如时间、长度、面积等不能为负数）。 例：用长为20m的篱笆围矩形场地，设矩形一边长为 x ，面积为 y ，则 ，自变量 x 的取值范围是 四、二次函数的函数值 1. 定义：对于二次函数值称为函数值。 2. 计算方法：将自变量 x 的值代入函数解析式，求出 y 的值。 例：已知二次函数 。 五、典型例题解析 题型一：二次函数的识别 例1：下列函数中，是二次函数的是（ ） 解： 。答案：B 题型二：确定二次函数的系数 例2：已知二次函数，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是_ _。 解：二次项系数为 -2 ，一次项系数为 3 ，常数项为 -1 。答案：-2，3，-1 六、易错点提醒 1. 忽略 的条件：。 2. 混淆函数类型：二次函数必须满足“二次项系数不为0”且“自变量最高次数为2”，与一次函数、反比例函数严格区分。 3. 实际问题中自变量取值范围：解决实际问题时，需根据题意限制自变量取值（如长度不能为负，人数为正整数等）。 巩固练习 一、选择题 1．下列函数关系中，属于二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 2．函数的一次项系数是（　　） A． B．1 C．3 D．6 3．下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数中，的取值范围是（　　） A． B． C． D．一切实数 5．现有一根长为50cm的铁丝，把它弯成一个矩形，设矩形的面积为ycm 2 ，一边长为xcm，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y=x(50-x) B．y=x(50-2x) C．y=x(25-2x) D．y=x(25-x) 6．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有人感染，则与的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 7．某水果销售商有100千克苹果，当苹果单价为15元/千克时，能全部销售完，市场调查表明苹果单价每提高1元，销售量减少6千克，若苹果单价提高x元，则苹果销售额y关于x的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 8．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（　　） A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x） C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x 二、填空题 9．当　 　时是二次函数 10．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与底面半径r的函数关系式为　　 　 　． 11．二次函数y=x(x-1)+4x-3中，二次项系数为　 　，一次项系数为　 　，常数项为　 　。 12． 某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 万元，如果平均每月增长率为 ， 则菅业额 与月平均增长率 之间的函数关系式为　 　. 13．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为　 　． 14．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是　 　(不用写出x的取值范围) 三、解答题 15．已知函数y=（k﹣2）xk2﹣4k+5+2x是关于x的二次函数．求： （1）满足条件的k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？ 16．已知：y=y1+y2，y1与x2成正比，y2与x﹣2成正比，当x=1时，y=1；当x=﹣1时，y=﹣5． （1）求y与x的函数关系式． （2）求x=0时，y的值． 17．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 18．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现，该产品每天的销售量 (千克)与销售价 (元/千克)有如下关系： ．若这种产品每天的销售利润为 (元).求 与 之间的函数关系式． 19．已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 20．定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． （1）若点是该二次函数的一个不动点，求的值； （2）若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$