精品解析：北京市海淀区清华大学附属中学上地学校2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试卷

2024-2025学年北京市清华附中上地学校九年级（下） 开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子符号，有理数的加减计算，根据a，b在数轴上对应的点结合绝对值的意义、有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，，，， 故选：B． 3. 如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平角的定义，对顶角的定义及角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键，先由邻补角的定义得出，再根据角平分线的定义得出，最后对顶角的定义得到，由计算即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据根的判别式计算即可．注意二次项系数不为0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∴且； 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 5. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，正确画图解题的关键．画出树状图，用符合情况的情况数除以等可能发生的情况数即可． 【详解】解：画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中恰好抽中内含纸和笔的可能性有2种， 故恰好抽中纸和笔的盲盒的概率是， 故选：A． 6. 我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：由题意得，工作一分钟可达到的运算次数为． 故选：C． 7. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，A．根据作图的过程可以判定是的角平分线；B．利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C．利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D．利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则． 【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则，故D错误，符合题意， 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接、，为的中点，连接分别与、交于点、.则下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质可得∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，继而可得四边形CEFM是矩形，∠AGF=90°，由此可得AH=FG，再根据∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，可得△ANH≌△GNF(AAS)，由此可判断①正确；由AF≠AH，判断出∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，由此可判断②错误；证明△AHK∽△MFK，根据相似三角形的性质可对③进行判断；分别求出S△ANF、S△AMD的值即可对④作出判断. 【详解】∵四边形ABCD、BEFG是正方形， ∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC， ∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90° ∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC， ∴AD//FM，DM=2， ∵H为AD中点，AD=4， ∴AH=2， ∵FG=2， ∴AH=FG， ∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF， ∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①正确； ∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG， ∵AF>FG， ∴AF≠AH， ∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵EC=BC+BE=4+2=6， ∴FM=6， ∵AD//FM， ∴△AHK∽△MFK， ∴， ∴FK=3HK， ∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH， ∴FN=2NK，故③正确； ∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2， ∴AN=1， ∴S△ANF=，S△AMD=， ∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④正确， 故选 C. 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关内容是解题的关键.注意数形结合思想的应用. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 10. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正弦函数，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，利用勾股定理，正弦函数的定义解答即可． 【详解】解：设每个网格正方形的边长为1，且，交的延长线于点D，根据题意，得， 故， 故， 故答案为：． 11. 如图，是的内接四边形，，则的大小是________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质．首先根据圆内接四边形的对角互补，得．再根据圆周角定理，得，由，推出计算即可解答． 【详解】解：∵是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．连接，先利用垂径定理得出的长，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理求出r的值，进而得出的长，据此得出结论． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于点E，， ， 设的半径为r，则， 在中，，即， 解得， ， 故答案为： 13. 已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数图象与性质，掌握待定系数法是关键．根据解析式判断出对称轴和开口方向，随后判断当，时，对称轴h的取值范围，即可得出解析式． 【详解】解， 对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数抛物线开口向上， A点的横坐标为，B点的横坐标为2，， 第一种情况： 当对称轴直线时，A点B点均在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 则， 第二种情况： A、B两点分别在对称轴两侧，且， 即时，则， 写出一个符合上述条件的二次函数解析式为： 故答案为：（答案不唯一）． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：熟悉增长率模型列方程是解决问题的关键．利用增长率模型列出一元二次方程即可． 【详解】解：设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x， 根据题意得： 故答案为： 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米．（） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知于D，交圆弧于C，由题意得米，解得米，再求出，最后由勾股定理得到，由垂径定理求出即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意可知， ，，（米）， ， （米） （米） （米） （米） 弧田面积 （平方米） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天． 【答案】 ①. 4 ②. 13 【解析】 【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果． （1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数； （2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间． 【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）； 故答案为：4； （2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）； 故答案为为：13． 三、计算题：本大题共1小题，共5分． 17. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，合并解题即可． 【详解】解： 故答案为：． 四、解答题：本题共11小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组： 【答案】． 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式解集的确定规律：大小小大中间找，确定不等式组的解集． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 19. 已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：是方程的根， ， ， ． 20. 如图，在中，，交于点，，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、菱形的性质判断和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、菱形的性质判断和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到．则，由已知得到，则，即可得到结论； （2）由四边形是菱形得到，，．证明．再得到．．在△中，，．则，即可得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，，． ∴． ∴． 21. 为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表： 北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水 类型 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 水费 水资源费 污水处理费 自来水 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量． 【答案】这户居民2023年的用水量为立方米 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关系，设这户居民2023年的用水量为立方米．判定，再列方程解题即可． 【详解】解：设这户居民2023年的用水量为立方米． ∵，， ∴， ∴． 根据题意列方程，得 ． 解这个方程，得 ． 答：这户居民2023年的用水量为立方米． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将点和代入得到关于，的方程组，求解即可； （2）根据函数图象得出当时，对于的每一个值，函数，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知：当时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，函数， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 23. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息： 信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图 信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表： 统计量类别 平均数 中位数 方差 教育支出 520.7 m 社会保障和就业支出 448.3 466.5 交通运输支出 292.3 282.0 （以上数据来源于《中国统计年鉴》） 根据以上信息解决下列问题： （1） ； （填＞，＜号）； （2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号） ①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长； ②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长； ③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多． （3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年． 【答案】（1）562.7， （2）② （3）2014 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图与统计表的运用．读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了平均数、极差与中位数． （1）根据信息一即可解答； （2）根据折线统计图即可解答； （3）根据5年教育支出的平均数大于520.7亿元，可知该小组去掉的年份教育支出费用小于520.7亿元，又因为计算的是连续5年教育支出的平均数，即可得到该小组去掉的年份． 【小问1详解】 根据折线统计图可知，， ，， ， ， 故答案为：562.7，； 【小问2详解】 由折线图可知， 2015年与2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出分别是278.2亿元，219.2亿元，所以与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出下降了，故结论①错误，不符合题意； 年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长，故结论②正确，符合题意； 2019年甘肃省在社会保障和就业的支出为529.1亿元，交通运输的支出为360.4亿元，所以2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的1倍还多168.7亿元，故结论③错误，不符合题意． 故答案为：②； 【小问3详解】 年这6年中甘肃省在教育支出的平均数为520.7亿元，高于2014与2015年的平均数， 又连续5年教育支出的平均数大于520.7亿元， 不是去掉的2015年的教育支出， 该小组去掉的年份是2014年． 故答案为：2014． 24. 如图，以为直径作，过点A作的切线，连接，交于点D，点E是边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的切线， ∴． ∵点E是边的中点， ∴． ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，切线的性质，三角函数的应用，关键是根据切线性质和三角函数的定义解答． （1）根据切线的性质证明即可； （2）连接，根据三角函数解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵为直径， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴． ∴． 25. 依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 （1）设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象； （2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： （3）若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 【答案】（1）如图所示，即为所求 （2） （3）甲； 【解析】 【分析】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息： （1）先描点，再连线画出对应的函数图象即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）根据表格中的数据可知当浸泡时长不超过，只有乙的P含量可能低于20，则经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为乙，再结合函数图象求出浸泡时间即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可知：当浸泡时长为时，甲、乙两类衣物中P的含量的差约为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由表格中的数据结合函数图象可知，当浸泡时长不超过时，乙含P的最低量大于20，甲的最低含量可以小于20， ∴经过浸泡处理后可能达到A级标准的衣物为甲， 观察函数图象可知，该类衣物达到A级标准至少需要浸泡， 故答案为：甲；． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 （1）当，时，求抛物线的对称轴； （2）若对于，，存在，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）利用二次函数性质存在点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离的情况即可解答． 【小问1详解】 解：当，，，， 点和抛物线与y轴的交点关于直线对称， ， ， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：，， 则，， ， ，， ，， 在的左侧，且点N在对称轴的右侧， 、是抛物线上任意两点，存在， ， ， 27. 在中，过点A作于点D，且． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） ①根据题意作图如下所示： ②，证明如下： 延长使，过点M作的垂线交于点H，连接和 根据旋转的性质，， ，， 在和中，根据勾股定理 又，， ≌ ， 在四边形中，， ，， 在和中，，，， ， 在中，根据作法可知为边上的垂直平分线，则， ，， 根据两点关于对称，则， 又， 在和中，， ， ， 故的数量关系为： 【解析】 【分析】在内构造等腰直角，根据题意可得为等腰三角形，进而得出，然后由求出的长度． ①根据题干描述作图即可； ②先通过构造得出，再构造结合平行线分线段成比例得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，， ， 过A作交于E， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故线段长度为 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形和等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识点，构造和是解答本题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的关联弦． （1）如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点的关联弦是______； （2）如图2，已知点，在上，弦是点的关联弦，直接写出长度的取值范围______； （3）直线分别与轴和轴交于点，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的关联弦；对于点，将其对应的关联弦的长度的最大值记为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）和； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题为圆的新定义题型，考查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，特殊角三角函数的计算等知识点，对新定义的准确理解及找出定点最大关联弦的方法是解答本题的关键． （1）分别计算三条弦的端点和点A的距离，然后依据勾股定理的逆定理进行判定是否为直角三角形的斜边即可． （2）根据定弦定角模型确定点A的轨迹是在以为直径的部分圆弧上，由，可得的取值范围． （3）首先根据点S的关联弦BC的定义，得出其点S的关联弦最大值是以为斜边且为直角平分线的等腰直角三角形的斜边长度，然后由点S到原点O的距离远近判定出d的最大值为直径，d的最小值为，最后确定d的取值范围． 【小问1详解】 解：从图中可以看出，， ， 弦，都是点A的关联弦． 对于弦，，， ，， ， 弦不是点A的关联弦． 故答案为：和 【小问2详解】 如图，连接，当弦是点A的关联弦时，， 故点A在以为直径的圆上， 由于，所以点A的轨迹不包括、两个端点． 弦的中点为E，作直线交于F、G两点，则弦，是等腰直角三角形． 当点A在圆上运动时，或，即或 由于， ， 故答案为：或 【小问3详解】 对于直线， 令，；令， 故点M坐标为，点N坐标为 ， 如图，直线与的另一个交点为L，与x轴交于于点P和点Q，点D为点S的关联弦的中点，连接 当点S在线段上运动时，， ∴ 由于，最大值取，此时D、O、S三点共线， ∴，即是的垂直平分线． 点S的关联弦最大值为以S顶点的等腰直角三角形的斜边的长度，而且点S离圆心O越近，越小，的也越小． ①当点S在点N处时，点S的关联弦的最大值为的长度，此时为的直径，则d最大值为：； ②当点S位于点K时，此时，为的最小值，为d的最小值． ∵， ∴ ∴ ∵ 当时取得等于号，此时是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 的最小值为 综合①②可知d的取值范围为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年北京市清华附中上地学校九年级（下） 开学数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线交于点平分，若，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 5. 文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同，内含对应文房四宝之一的卡片．若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）机选两个，则恰好抽中笔和纸的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 8. 如图，正方形的边长为4，延长至使，以为边在上方作正方形，延长交于，连接、，为的中点，连接分别与、交于点、.则下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 10. 如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为______ 11. 如图，是的内接四边形，，则的大小是________． 12. 如图，是的直径，弦于点E，若，则的长为______． 13. 已知二次函数，点，都在该函数的图象上，且．写出一个符合上述条件的二次函数解析式为______． 14. 2024年7月27日，“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”被正式列入《世界遗产名录》．中轴线上的故宫博物院是深受大众喜爱的旅游景点之一，据统计2024年国庆假期共接待观众万人次，2026年国庆假期接待的观众预期达到58万人次，求国庆假期接待观众人次的年平均增长率．设国庆假期接待观众人次的年平均增长率为x，则可列方程为______． 15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米．（） 16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天． 三、计算题：本大题共1小题，共5分． 17. 计算：________． 四、解答题：本题共11小题，共63分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解不等式组： 19. 已知m是方程的根，求代数式的值． 20. 如图，在中，，交于点，，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 为了保护水资源，提倡节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表： 北京市居民用水阶梯水价表（单位：元/立方米） 供水 类型 阶梯 户年用水量 （立方米） 水价 其中 水费 水资源费 污水处理费 自来水 第一阶梯 0—180（含） 5 第二阶梯 181—260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 某户居民2023年用水共缴纳1040元，求这户居民2023年的用水量． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求该函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 财政支出的结构关系到国家的发展前景和老百姓的生活质量．近年来，各级政府注重民生问题，加大了对教育社会保障和就业、交通运输方面的投入．某数学兴趣小组为了解近几年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输方面财政支出的情况，该组成员通过查阅资料，将这三个领域财政支出的数据进行收集、整理描述，下面给出部分信息： 信息一：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出统计图 信息二：2014﹣2019年甘肃省在教育、社会保障和就业、交通运输支出的统计量如表： 统计量类别 平均数 中位数 方差 教育支出 520.7 m 社会保障和就业支出 448.3 466.5 交通运输支出 292.3 282.0 （以上数据来源于《中国统计年鉴》） 根据以上信息解决下列问题： （1） ； （填＞，＜号）； （2）根据以上信息，判断下列结论正确的是 ；（只填序号） ①与2015年相比2016年甘肃省在交通运输方面的财政支出有所增长； ②2014﹣2019年，甘肃省在教育、社会保障和就业支出方面逐年增长； ③2019年甘肃省在社会保障和就业的支出比交通运输的2倍还多． （3）该数学兴趣小组成员又计算了连续5年教育支出的平均数，发现计算的平均数比信息二中6年的平均数大，你认为该小组去掉的年份是 年． 24. 如图，以为直径作，过点A作的切线，连接，交于点D，点E是边的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A、B、C三个类别． A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指身高以下的儿童．包括了婴幼使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别．其甲醛含量必须低于． B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等．其甲醛含量高于，但必须低于． C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等．其甲醛含量高于，但必须低于． 为了去除衣物上的甲醛（记作“P”），某小组研究了衣物上P的含量（单位：）与浸泡时长（单位：h）的关系．该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中P的含量．所得数据如下： 浸泡时长（h） 甲类衣物中P的含量（） 乙类衣物中P的含量（） 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 （1）设浸泡时间为x，甲，乙两类衣物中P的含量分别为，，在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，，并画出，的图象； （2）结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为_________（精确到1）： （3）若浸泡时长不超过，则经过浸泡处理后可能达到A类标准的衣物为_________（填“甲类”或“乙类”），该类衣物达到A类标准至少需要浸泡_________h（精确到1）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 （1）当，时，求抛物线的对称轴； （2）若对于，，存在，求t的取值范围． 27. 在中，过点A作于点D，且． （1）如图1，若，，求线段的长； （2）如图2，以点C为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，过点E作的垂线，交直线于点F，M是的中点，N在线段上，且． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的关联弦． （1）如图1，已知点，，，，，在上，在弦，，中，点的关联弦是______； （2）如图2，已知点，在上，弦是点的关联弦，直接写出长度的取值范围______； （3）直线分别与轴和轴交于点，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的关联弦；对于点，将其对应的关联弦的长度的最大值记为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $