精品解析：上海市杨浦高级中学2024-2025学年高二下学期3月摸底考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期高二数学摸底试卷 时间 120分钟满分150分 2025.3 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12 题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 【答案】135° 【解析】 【详解】试题分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角． 解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1， ∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°． 故答案为135°． 考点：直线的一般式方程． 2. 空间两条异面直线与所成的角的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】由异面直线所成的角的定义可得： 过空间任意一点，分别作相应直线与的平行线与， 两条相交直线与所成的锐角或直角为异面直线与所成的角， 所以空间两条异面直线与所成角的取值范围是. 故答案为：. 3. 与两平行直线，等距离的直线方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设与直线和等距离的直线方程为，由，即可求出答案. 【详解】设与直线和等距离的直线方程为， 则，解得； 直线方程为 故答案为：. 【点睛】本题考查两直线间的距离，利用待定系数法设直线方程，解题的关键是熟练掌握两平行线间的距离公式. 4. 焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据离心率公式计算求参即可. 【详解】由，故离心率为，解得. 故答案为：4. 5. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示椭圆，则，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 6. 某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是__________. 【答案】51 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】因为， 所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第个数，即为. 故答案为：. 7. 若直线平分圆，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可求出圆心坐标，根据圆心在直线上即可求解. 【详解】化为： ， 所以的圆心为， 因为直线平分圆， 所以经过的圆心， 则，解得,经检验符合题意. 故答案为：2. 8. 若圆与圆相交，则的范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆 的圆心与半径，由题意可得两圆圆心距小于半径之和且大于半径之差，列出关系式，即可解得的取值范围． 【详解】由圆可得圆心为，半径为. ∵圆与圆 相交 ∴ ∴ 故答案为. 【点睛】本题主要考圆的标准方程，考查两圆的位置关系，解答本题时，利用了两圆相交时，圆心距小于两圆的半径之和、且大于半径之差，属于中档题． 9. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据线面角的定义，可得圆锥的母线与底面半径的等量关系，利用扇形面积公式以及圆的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 在圆锥中，易知，且为母线与底面所成的角， 由母线与底面所成的角的余弦值为，则， 在中，，可得，则， 圆锥的体积，解得，则， 圆的周长为，则圆锥侧面展开图的面积， 圆锥底面面积，所以圆锥的表面积. 故答案为：. 10. 已知直线与直线的夹角为，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】设两直线夹角为，可得，分和两种情况，结合直线的夹角公式运算求解即可. 【详解】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解 【详解】设椭圆的半焦距为， 如图，延长，与椭圆交于点L，连接， 由，所以根据对称性可知，， 设，则，， 从而，故， 在中，，所以， 在中，，即， 所以，所以，所以离心率， 故答案为： 12. 已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量模的意义及数量积的运算律求得，进而求出范围. 【详解】由空间向量两两垂直，得 又，， 则 ，而， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得或. 故选：C. 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案. 【详解】①由题意作图如下： 由图易知为等腰直角三角形，则直线与的夹角为； ②由题意作图如下： 由图易知为等边三角形，则直线与的夹角为； ③由题意作图如下： 由图易知，因为，则直线与的夹角为. 而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为. 故选：A. 15. 假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 16. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（ ）个． A. 3 B. 6 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设，分到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且，两种情况，结合对称性，列举出满足题设的所有点，即可得答案. 【详解】设，情况如下： ①到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且， 由具有对称性，不妨讨论，， 满足题意的应同时在线段的中垂线面和三棱锥表面上， 即为其中垂面交线与三棱锥表面的交点，如图两点， 同理，，和，也各有2个满足题意点，故共6个； ②到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且， 若到的距离一样，即，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图和（舍）； 若到和中的两个距离一样，由具有对称性， 不妨讨论，则为过外心的垂线与三棱锥表面的交点，如图， 同理，和也各有1个满足题意的点，共4个； 综上，共有10个满足题意的点. 故选：D 【点睛】关键点点睛：依据题意将问题分成到两个顶点的距离一样，到另外两个顶点的距离一样，且，和到其中三个顶点的距离一样，到另一个顶点的距离为，且两类为关键. 三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【小问1详解】 直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. 【小问2详解】 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 18. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意得，求解即可求得圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【小问1详解】 由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即， 解得， 即圆心坐标为， 所以半径， 所以圆C方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长， 所以. 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 【答案】（1）100 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，该公司一天所生产产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. 【小问2详解】 设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得， 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为 【小问3详解】 由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 . 20. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】 【分析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明； （2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且. 【详解】（1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，. 所以，又为的中点，所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 故所求角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 设，则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以 令， 整理得.解得. 所以线段上存在点适合题意，且. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 21. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定、，利用解出即可求解； （2）设直线的方程，直曲联立根据韦达定理得：，结合为中点解出坐标，再利用，解出，即可求解； (3)分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时，设出方程，直曲联立，利用韦达定理，结合已知条件，求出直线过定点；斜率不存在时，设出、两点坐标，根据中点坐标公式，求出、坐标，结合已知条件，求出直线过定点，两种情况综合即可求解. 【小问1详解】 由得，所以焦距，离心率 . 【小问2详解】 ，设直线的方程， 与椭圆:，联立得：， 整理得：，， 因为点与点不重合，为中点，所以， 代入方程，解得，所以可得点， 于是由得，直线的方程：. 【小问3详解】 ①当直线斜率存在时，设方程为：，与椭圆:， 联立，得：， 整理得：， 设，由韦达定理得， 且，化简得， 又，从而，， 由可得，从而， 又因为，， 所以上式化为： 整理得：， 韦达定理代入：， 化简得：. ，所以或 当时，直线为：， 直线经过点，舍去； 当时，直线为：， 此时成立，直线经过定点 ②当直线斜率不存在时，设，， 则，，， 代入，得 与联立得：解得 此时直线也经过点. 综上，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于设分斜率存在与不存在两种情况设出直线方程， 利用直曲联立得到方程，结合韦达定理解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期高二数学摸底试卷 时间 120分钟满分150分 2025.3 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12 题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 直线x+y+1=0的倾斜角是_____． 2. 空间两条异面直线与所成的角的取值范围是______________. 3. 与两平行直线，等距离的直线方程为____________. 4. 焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为__________. 5. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________. 6. 某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是__________. 7. 若直线平分圆，则__________. 8. 若圆与圆相交，则的范围为____________. 9. 若圆锥的体积为，它的母线与底面所成的角的余弦值为，则圆锥的表面积为________. 10. 已知直线与直线的夹角为，则实数______. 11. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 12. 已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 15. 假定生男生女是等可能，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 16. 已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设P为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点的点，记．若集合D中有且只有2个元素，则符合条件的点P有（ ）个． A 3 B. 6 C. 7 D. 10 三、解答题（满分76分，共有5题）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 18. 已知圆C过点和点，且圆心C直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求面积． 19. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 20. 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21. 已知椭圆:，直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点，设线段的中点为. （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若，求直线的方程； （3）过点再作一条直线与椭圆交于点，线段的中点为. 若，则直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$